复变函数解析函数

1、第二章解析函数,1.复变函数的导数定义,2.1解析函数的概念,go,2.解析函数的概念,一.复变函数的导数,(1)导数定义,如果w=f(z)在区域d内处处可导，则称f(z)在区域d内可导。,(1)z0是在平面区域上以任意方式趋于零。,(2)z=x+iy,z=x+iy,f=f(z+z)-f(z),例1,(2)求导公式与法则,常数的导数c=(a+ib)=0.(zn)=nzn-1(n是自然数).,证明对于复平面上任意一点z0，有,-实函数中求导法则的推广,设函数f(z),g(z)均可导，则f(z)g(z)=f(z)g(z)，f(z)g(z)=f(z)g(z)+f(z)g(z),复合函数的导数(fg(

2、z)=f(w)g(z)，其中w=g(z)。,反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。,思考题,例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？,例2,解,解,例4证明f(z)=zrez只在z=0处才可导。,证明,(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为z0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。,(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举。,(3)可导与连续,若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.,?,二.解析函数的概念,(1)w=f(z)在d内解析在d内可导

3、。(2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析。,例如(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；(3)w=zrez在整个复平面上处处不解析(见例4)。,定理1设w=f(z)及w=g(z)是区域d内的解析函数，则f(z)g(z)，f(z)g(z)及f(z)g(z)(g(z)0时)均是d内的解析函数。,定理2设w=f(h)在h平面上的区域g内解析,h=g(z)在z平面上的区域d内解析,h=g(z)的函数值集合g，则复合函数w=fg(z)在d内处处解析。,2.2解析函数的充要条件,1.解析函数的充要条件,2.举例,如

4、果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域d内处处可导，则函数w=f(z)在d内解析。,问题如何判断函数的解析性呢？,一.解析函数的充要条件,记忆,定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在d内有定义，则f(z)在点z=x+iyd处可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足cauchy-riemann方程,上述条件满足时,有,证明（由f(z)的可导c-r方程满足上面已证！只须证f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）。,函数w=f(z)点z可导，即,则f(z+z)-f(z)=f(z)z+(z)z(1),且,u+iv=(a+ib)(x+

5、iy)+(1+i2)(x+iy),=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y),令：f(z+z)-f(z)=u+iv，f(z)=a+ib，(z)=1+i2故（1）式可写为,因此u=ax-by+1x-2y,v=bx+ay+2x+1y,所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.,（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足c-r方程f(z)在点z=x+iy处可导）,u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：,定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在d内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在d内可微，且满足cauchy-riemann方程

6、,由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.,利用该定理可以判断哪些函数是不可导的.,使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，ii)验证c-r条件.,iii)求导数：,前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.,二.举例,例1判定下列函数在何处可导，在何处解析：,解(1)设z=x+iyw=x-iyu=x,v=-y则,解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny,仅在点z=0处满足c-r条件，故,解(3)设

7、z=x+iyw=x2+y2u=x2+y2,v=0则,例2求证函数,证明由于在z0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足c-r条件：,故函数w=f(z)在z0处解析，其导数为,例3,证明,例4如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函数，且确定,练习:,a=2,b=-1,c=-1,d=2,2.3初等函数,3.对数函数,1.指数函数,2.三角函数和双曲函数,4.幂函数,5.反三角函数,一.指数函数,它与实变指数函数有类似的性质：,定义,这个性质是实变指数函数所没有的。,例1,例2,例3,二.三角函数和双曲函数,推广到复变数情形,正弦与余弦函数的性质,思考题,由正弦和余弦函数的定义得,其它三角函数的定义(详见p51),双曲正弦和双曲余弦函数的性质,三.对数函数,(1)对数的定义,故,(2)对数函数的性质,见1-6例1,例4,四.乘幂与幂函数,乘幂ab,定义,多值,一般为多值,q支,(2)当b=1/n(n正整数)时，乘