科学计算与数学建模第4章 养老保险问题-非线性方程的数值解法-4.4-弦截法与抛物法-2017-01.pptx

1、,4.4弦截法与抛物法,4.4.1弦截法与抛物法的基本思想,Newton法,每迭代一次需计算函数值,，导数值,k,f(x),k,f(x),k,k本身比较复杂时，求导数值更加困难。,x,f(x),k1,xf(xk),各一次，f当函数,如何利用已计算的函数值,避免导数值,的计算，,导出这种求根方法的基本原理是插值法。,f(xk),f(xk1),k,f(x),设xk,xk1,xkr,是f(x)0根的一组近似值，用对应的函值,f(xk),f(xk1),f(xkr)，构造插值多项式pr(x)，适当选取pr(x)0的一个根作为f(x)0的新的近似根xk1。这样就确定了一个迭代过程，记迭代函数为g，则xk1

2、g(xk,xk1,xkr)，下面具体考察r1（弦截法），r2（抛物法）两种情形。,4.4.2弦截法,设xk,xk1为f(x)0的近似根，过点(xk,f(xk)，(xk1,f(xk1)构造一次插值多式p1(x)，并用p1(x)0的根作为f(x)0的新的近似根xk1。,k,k,k,k1,k1),k1,xx,(xxf(x)f(x),1k,k,xk,p(x)f(x)f(xk)f(xk1)(xx),xk1f(xk),由,则由p1(x)0可得：,另外，上式也可以用函数,近似取,f(x)f(x),kk1xkxk1,Newton公式中的f(x)推导得到。,f(x)的差商,xkxk1,k,f(x)f(x),f(

3、x)kk1(xx)0,xkxk1,弦截法的几何意义曲线yf(x)上横坐标为xk,xk1的点分别记为pk,pk1，则弦线pkpk1的斜率等于差商f(xk)f(xk1)，其方程为：,实际上是弦线pkpk1,与x轴交的横坐标。因此这种算法称为弦截法，又称割线法。,则求得的近似根xk1,弦截法与Newton切线法都是线性化方法，但两者有本质区别。,及，而弦,Newton切线法在计算xk1时用到前一步的xk、,k,f(x),k,f(x),截法在计算xk1,时要用前面两步的结果xk,xk1,f(xk),f(xk1)，不须,计算导数。这种方法必须有两个启动值x0,x1。,且对有。又初值,，那么当邻域充分小时

4、，,内具有二阶连续导数，,x,f(x)0,01,x,x,2,定理4.4.1假设f(x)在根x*领域:xx*,)将按阶P151.618收敛到根x*。,kk,f(x),弦截法x,k1,k1,xk(xx,f(xk)f(xk1),用弦截法求解方程xg(x)与Atken加速算法的几何解释：,31,303,xxx2,xx,xx21(xx)x021,x1x0 x02x1x2,坐标（与纵坐标相等）为：,01,pp,yx,2,p,线与直线交于一点，则2的横,p,x0为xg(x)的近似根，迭代x1g(x0)，x2g(x1)在曲线上走了两点p0(x0,x1)，p1(x1,x2)。引弦,从图形上看，尽管迭代值,比和更

5、远偏离了，但按弦截,此即为Atken加速计算方法的公式。如图所示，所求的根x*是曲线yg(x)与yx的交点p*的横坐标。,x,201,xx,*,x,（Atken加速计算）法求得的x3则地扭转了这种发散的趋势。,4.4.3抛物线法,2,k,k,2fxk,x,k1,kk1k2,x,4fxfx,x,设已知f(x)0的三个近似根为xk,xk1,xk2，以这三点为节点构造二次插值多项式p2(x)，并适当选取p2(x)的一个零点xk1作为新的近似根。这样确定的迭代过程称为抛物线法（亦称密勒法）。抛物线插值多项式为：p2xfxkfxk,xk1xxkfxk,xk1,xk2xxkxxk1,有两个零点：x,其中，

6、fxk,xk1fxk,xk1,xk2xkxk1,抛物线法的几何意义就是用抛物线yp2(x)与x轴的交点xk1作为所求根x*的近似值。为了在二次插值多项式的零点中定出一个值xk1，需讨论根式前正负符号的取舍问题。,，为此，只,自然需要选定更接近所求根x*的作为x,k1,要令根式前的符号与fxk,xk1fxk,xk1,xk2xkxk1的符号相同即可。显然，抛物线法必须有三分个启动值x0,x1,x2。,例用弦截法、抛物线法求解方程f(x)xex,10,初值可分别取为x0,0.5,x10.6和x00.5,x10.6,x20.56532，,定理4.4.2若f(x)在根x*的邻域xx*内有三阶连续导数，且对x，有f(x)0。又初值x0,x1,x2，那么当领域充分小时，抛物线法将按阶p1.840收敛于根x*。,可见，抛物线法（1.840阶）比弦截法（1.618阶）的收敛性更接近于Newton法（2阶）。定理的证明略。,？,这些求解非线性方程的迭代方法可以用于方程组的情况吗？,4.4弦截法与抛物法,弹幕问题：1.用弦