平面与平面垂直的判定定理

1、2.3.2平面与平面垂直的判定定理,1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a/a，b/b，我们把相交直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角.,2.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.,范围：(0o,90o,范围：0o,90o,复习引入,空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.,在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维空间的

2、角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.,两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的,在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.,(1)半平面的定义,1.二面角的概念,平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面,半平面,半平面,(2)二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面,棱,面,面,平卧式：,

3、直立式：,(3)二面角的画法和记法：,1.二面角的概念,面1棱面2,点1棱点2,二面角l,二面角AB,二面角CABD,A,O,l,B,(4)二面角的平面角,A,B,O,1.二面角的概念,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,如图，则AOB成为二面角的平面角.它的大小与点O的选取无关.,二面角的平面角必须满足：,角的边都要垂直于二面角的棱,角的顶点在棱上,角的两边分别在两个面内,A,B,0。，180。,(4)二面角的平面角,1.二面角的概念,二面角的范围为：,注1：当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180；平面角

4、是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.,定义法垂线法作棱的垂面法,一个平面垂直于二面角-l-的棱l，且与两半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，则AOB为二面角-l-的平面角,(5)二面角的平面角的作法：,1.二面角的概念,A,B,补充,例正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_，二面角B-AA1-D的大小为_，二面角C1-BD-C的正切值是_.,45,90,练习,练如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二面角EBDC的大小,思路分析：,找基面,平面BCD,作基面的垂线,过E作E

5、FCD于F,F,作平面角,作FGBD于G，连结EG,G,解：过E作EFCD于F，,于是，EGF为二面角EBDC的平面角,BC=1，CD=2，,而EF=1，在EFG中,ABCDA1B1C1D1是长方体，EF平面BCD，且F为CD中点，,过F作FGBD于G，连结EG，则EGBD（三垂线定理）,M,练习,求证:,例如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.,C,D,H,G,600,300,例如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?,A,B,练习,如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？,思考,2.平面与平面垂直的判定,(1)定

6、义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作,(2)面面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直,该定理作用：“线面垂直面面垂直”,注2：,应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.,练在正方体ABCDA1B1C1D1中,(1)求证：平面A1C平面B1D,A,C,D,A1,C1,D1,E,F,B1,(2)E、F分别是AB、BC的中点，求证：平面A1C1FE平面B1D,(3)G是BB1的中点，求证：平面A1C1G平面B1D,总结:直线A1C1平面B1D，则过直线A1C1的平面都垂直于平面B1D,练习,证明：由AB是圆O

7、的直径，可得ACBC,平面PAC平面PBC,例如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.求证：平面PAC平面PBC,练习,P,A,B,C,外,垂,中,练习：P79B组2(2),E,F,分析,E,F,或者考虑二面角定义法,G,E,G,E,练习,二、平面与平面垂直,(1)定义：两平面所成二面角为直二面角,(2)判定定理：,(3)性质定理：,一、直线与平面垂直,(1)定义：,(2)判定定理：,(3)线线垂直的常用证明方法：,a.平面内的两直线,b.空间内的两直线,(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.,三、角度问题,直线a、b是

8、异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得.,2.方法：,3.步骤：,b.求直线与平面所成的角：,a.求异面直线所成的角：,c.求二面角的大小：,作（找）,证,点,算,1.数学思想：,定义法或者垂线法,即找面的垂线，找出垂足,找平行线方

9、法：中位线，平行四边形，线段成比例，线面平行的性质定理等,O,A,B,O,P,A,B,back,练习：二面角的平面角为,PA于A点，PB于B点，PA=a，PB=b，求点P到棱的距离.,back,练如图，在三棱锥P-ABC中，ACBC=2，PA=PB=AB，ACB90o，PCAC.(1)求证：PCAB；(2)求二面角BAPC的大小.,练2在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为C1D1的中点，求二面角E-BD-C的大小.,A,A1,B,B1,C,C1,D,D1,E,M,F,back,在正方体AC1中，E，F分别是中点，求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大

10、小.,E,F,back,练1如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB的中点，求二面角A1MCA的正切值,N,H,思路分析：,找基面,找基面的垂线,AA1,作平面角,作AHCM交CM的延长线于H，连结A1H,平面ABCD,解：作AHCM交CM的延长线于H，连结A1HA1A平面AC，AH是A1H在平面AC内的射影，A1HCM，,A1HA为二面角A1CMA的平面角,设正方体的棱长为1M是AB的中点，且AMCD，则在直角AMN中，AM=0.5，AN=1，MN=,back,如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.(1)求四棱锥S

11、-ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.,(2)提示：因所求二面角无“棱”，故先延长BA、CD以确定棱SE，然后证明BSC为平面角.,back,A.,O,解：,则ADl.,sinADO=,ADO=60.,即二面角l的大小为60.,在RtADO中，,AOAD,练已知二面角l，A为面内一点，A到的距离为，到l的距离为4.求二面角l的大小.,D,过A作AO于O，过O作ODl于D，连AD，,就是二面角l的平面角.,back,练在二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它与棱l所成的角为45，与平面所成的角为30，则这个二面角的大小是_.,45或135,证明：,C,D,A,B,

12、在平面内过B点作直线BECD，则ABE就是二面角-CD-的平面角，,设=CD，则BCD.,a,back,练习,1.过平面的一条垂线可作_个平面与平面垂直.,2.过一点可作_个平面与已知平面垂直.,3.过平面的一条斜线，可作_个平面与平面垂直.,4.过平面的一条平行线可作_个平面与垂直.,一,无数,无数,一,back,练正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：,back,E,F,back,思路分析：,找基面,找基面的垂线,作平面角,平面ABC,取AB的中点M，连结PM,M,由己知AB2=AC2+BC2，ACB是直角,N,取AC的中点N，连结MN、PN,MNBC，ACBC，MNAC，由三垂线定理知PNAC,MNP就是二面角PACB的平面角,PA=PB=PC，PAMPCMPMAM，PMCM，PM平面ABC,连结CM，AM=BM=CM，,已知ABC,AB=10,BC=6,P是平面ABC外一点,且PA=PB=PC=AC=8,求二面角PACB的平面角的正切值.,back,练求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？,练如图，过点S作三条不共面的直线，使BSC=900，ASB=ASC=600，截取SA=SB