求圆的轨迹方程

1、作业：作业：（11）圆c与圆关于直线对称，则圆c的方程为_22(1)1xyyx（答：）；22(1)1xy（22）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_32yx（答：或）；9)3()3(22yx1)1()1(22yx（44）如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是_ll（答：0，2）；（55）方程x2+yx+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为_（答：）；21k（66）若直线与圆切于点，则的值_30axby22410 xyx(1,2)pab（答：2）；（77）直线被曲线所截得的弦长等于20 xy2262xyxy150（答：）；45（8

2、8）一束光线从点a(1,1)出发经x轴反射到圆c:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是（答：4）；（99）已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线(,)(0)mabab222:oxyrmm，则2:laxbyra，且与圆相交b，且与圆相交/mlllmlc，且与圆相离d，且与圆相离/mlllml（答：c）；（1010）已知圆c：，直线l：。求证：对，直线l与圆22(1)5xy10mxymmrc总有两个不同的交点；设l与圆c交于a、b两点，若，求l的倾斜角；求直线l中，17ab截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.（答：或最长：，最短：）601201y1x例例11设方程，若该方程表示一个

3、圆，求m的取值22242(3)2(14)1690 xymxmym范围及这时圆心的轨迹方程。分析分析:配成圆的标准方程再求解解：配方得：2222(3)(14)167xmymmm该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为，21670mm1(,1)7m2341xmym消去m，得，由得x=m+324(3)1yx1(,1)7m20,47所求的轨迹方程是，24(3)1yx20,47x注意：注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中20,47x变式变式11方程表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的224(1)40axayaxy圆的方程。解：解：原方程可化为2222

4、2(1)24(22)()aaaxyaaa当a时，原方程表示圆。2220,aa0又22222222222(44)4(22)22aaaaaaraaa当，所以半径最小的圆方程为min2,2ar22112xy22、用待定系数法求圆的轨迹方程、用待定系数法求圆的轨迹方程例例22求过两点)4,1(a、)2,3(b且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(p与圆的关系分析：分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点p与圆的位置关系，只须看点p与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：解法一：（待

5、定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax圆心在0y上，故0b圆的方程为222)(ryax又该圆过)4,1(a、)2,3(b两点22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r所以所求圆的方程为20)1(22yx解法二：解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(a、)2,3(b两点，所以圆心c必在线段ab的垂直平分线l上，又因为13124abk，故l的斜率为1，又ab的中点为)3,2(，故ab的垂直平分线l的方程为：23xy即01yx又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(c半径204)11(22acr故所求圆的方程为20)1(22yx又点)4,2(p到圆心)0,

6、1(c的距离为rpcd254)12(22点p在圆外说明：说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例例33求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程042422yxyx0y分析：分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxc：圆与直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或c0yc)4,(1ac)4,(2ac又已知圆的圆心的坐标为，半径为3042422yxyxa)1,2(若两圆相切，则或73

7、4ca134ca(1)当时，或(无解)，故可)4,(1ac2227)14()2(a2221)14()2(a得1022a所求圆方程为，或2224)4()1022(yx2224)4()1022(yx(2)当时，或(无解)，)4,(2ac2227)14()2(a2221)14()2(a故622a所求圆的方程为，或2224)4()622(yx2224)4()622(yx说明：说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线相切且半径为4，则圆心坐标为，且方程形如0y)4,(ac2224)4()(yax又圆，即，其圆心为，半径为3042422yxyx2223)1()2(yx)1,2(a若两圆相切，则故

8、，解之得34ca2227)14()2(a1022a所以欲求圆的方程为，或2224)4()1022(yx2224)4()1022(yx上述误解只考虑了圆心在直线上述误解只考虑了圆心在直线上方的情形，而疏漏了圆心在直线上方的情形，而疏漏了圆心在直线下方的情形另外，误解下方的情形另外，误解0y0y中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的点评：点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得、或、；abrdef（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.3

9、3、用几何方法求圆的轨迹方程、用几何方法求圆的轨迹方程例例44设圆满足:截轴所得弦长为2;被轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件yx、的所有圆中,求圆心到直线的距离最小的圆的方程。02:yxl分析:注意挖掘题目的条件,充分利用圆的几何性质解决问题.解法一解法一:设圆心为,半径为,则点到轴，轴的距离分别为，。),(baprpxy|b|a由题设圆截轴所得劣弧对的圆心角为，知圆截轴的弦长为，故px90px2r222br又圆截轴所得的弦长为,所以有.从而得py2122ar1222ab又点到直线的距离为),(bap02yx|2|5abd所以当且仅当时上式等号成立,此时，从而取得最小值.ba15

10、2dd解此方程组得由于知于是,所求圆的方程是:222br2r或2)1()1(22yx2)1()1(22yx解法二解法二:同解法一得222|2|2554455abdabdabbdd得将代入上式，整理得1222ba24551022bdbd=把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即，得0)15(82d152d所以有最小值1，从而有最小值25dd55将其代入式得2b24b+2=0.解得b=1.将b=1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=1.综上a=1,b=1,r2=2.由a-2b=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是或2)1()1(22yx2)1()1(22yx点拨点拨:

11、求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程，二是代数法,即根据题意设出圆的方程,再利用条件得到有关方程系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程.44、直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系例例55在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐xoy22cyx标原点，求圆的方程。oc解：(1)设圆心坐标为(m，n)（m0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2即=42nm2nm又圆与直线切于原点，将点(0，0

12、)代入得m2+n2=8联立方程和组成方程组解得22nm故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8点拨点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用.第三部分第三部分课堂练习课堂练习1.关于x,y的方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0表示一个圆的充要条件是b=0且a=c0,d2+e2-4af02.过点p(-8，-1)，q(5，12)，r(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1)3.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点p在圆x2+y2=4的内部，则k的范围是115k4.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是22460 xyxy5.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于a、b两点，则ab的中点坐标是31,10106.方程表示的曲线是_两个半圆211(1)xy7.圆关于直线的对称圆的方程是2)4()3(22yx0yx22(4)(3)2xy8.如果实数x、y满足等式，那么的最大值是3222