2015年高考数学全国卷1(理)试卷解析版

1、FunshineMFunshineMathsaths峰行数学峰行数学资料整理资料整理sh-maths2015年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷数学试卷（理科理科）一一.选择题选择题（本大题满分本大题满分60分分，共共12小题小题，每小题每小题5分分）1.设复数z满足11ziz，则|z（）A.1B.2C.3D.2【解析解析】11|11iziizzizi【答案答案】A2.sin20cos10cos160sin10（）A.32B.32C.12D.12【解析解析】sin20cos10cos160sin10sin20cos10cos20sin10sin30【答案答案】D

2、3.设命题P：nN，22nn，则P为（）A.nN，22nnB.nN，22nnC.nN，22nnD.nN，22nn【解析解析】考查命题的否定【答案答案】C4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析解析】“至少投中2次”包括“投中2次”和“投中3次”两种情况；投中2次的概率为2230.60.4C，投中3次的概率为30.6，22330.60.40.60.648C【答案答案】A5.已知00(,)Mxy是双曲线22:12xCy上的一点，1F

3、、2F是C上的两个焦点，若120MFMF，则0y的取值范围是（）A.33(,)33B.33(,)66C.2222(,)33D.2323(,)33【解析解析】先计算120MFMF时的0y，根据焦点三角形面积公式20cot451Sbcy，3c，033y【答案答案】AFunshineMFunshineMathsaths峰行数学峰行数学资料整理资料整理sh-maths6.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放

4、的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【解析解析】316823lrrr，2111163203()533439VSh（立方尺）【答案答案】B7.设D为ABC所在平面内一点，3BCCD，则（）A.1433ADABACB.1433ADABACC.4133ADABACD.4133ADABAC【解析解析】1114()3333ADACCDACBCACACABABAC【答案答案】A8.函数()cos()fxx的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为（）A.13(,)44kk，kZB.13(2,2)44kk，kZC

5、.13(,)44kk，kZD.13(2,2)44kk，kZ【解析解析】根据图像所示，511244T，2T，即选D【答案答案】D9.执行下面的程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n（）A.5B.6C.7D.8【解析解析】根据题意，1111111110.01248163264128128，有7次循环运算【答案答案】CFunshineMFunshineMathsaths峰行数学峰行数学资料整理资料整理sh-maths10.25()xxy的展开式中，52xy的系数为（）A.10B.20C.30D.60【解析解析】2515()rrrrTCxxy，2r，22322332355()(1)TCxxyCxx

6、y，即需要在3(1)x中求出2x的系数，显然为3，52xy的系数为25330C【答案答案】C11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r（）A.1B.2C.4D.8【解析解析】该几何体为一个半球加半个圆柱，正视图中有一条实横线，圆柱必是被轴截面截去一半；调整角度后，几何体如图所示，22451620Srr表，2r【答案答案】B12.设函数()(21)xfxexaxa，其中1a，若存在唯一的整数0 x，使得0()0fx，则a的取值范围是（）A.3,1)2eB.33,)24eC.33,)24eD.3,1

7、)2e【解析解析】(0)10fa，(1)0fe，3(1)20fae，解得3,1)2ae【答案答案】DFunshineMFunshineMathsaths峰行数学峰行数学资料整理资料整理sh-maths二二.填空题填空题（本本大大题满分题满分20分分，共共4小题小题，每题每题5分分）13.若函数2()ln()fxxxax为偶函数，则a；【解析解析】根据(1)(1)ff，可求出1a【答案答案】114.一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为；【解析解析】如图所示，设圆心为(,0)x，根据半径相等，2222(4)xx，解得1.5x，根据对称性，1.5x也符合，此时

8、2.5r，所以圆的标准方程为222(1.5)2.5xy【答案答案】22325()24xy15.若x、y满足约束条件10040 xxyxy，则yx的最大值为；【解析解析】可行域如图所示，yx的几何意义是动点与原点的斜率的大小，结合图像可知，当1x，3y时，yx有最大值3【答案答案】316.在平面四边形ABCD中，75ABC，2BC，则AB的取值范围是；【解析解析】如图所示，当点D与点A接近于重合时，AB最大，621cos754AB，此时解得62AB；当点D与点C接近于重合时，此时AB最小，根据62cos7544AB，解得62AB，平面四边形ABCD，都取不到等号，即(62,62)AB【答案答案】

9、(62,62)FunshineMFunshineMathsaths峰行数学峰行数学资料整理资料整理sh-maths三三.解答题解答题（本大题满分本大题满分70分分，第第17题题第第21题为必考题题为必考题，第第22题题第第24题为选考题题为选考题）17.（本小题满分12分）nS为数列na的前n项和，已知0na，2243nnnaaS（1）求na的通项公式；（2）设11nnnbaa，求数列nb的前n项和；【解析解析】（1）作差法，可得12nnaa，求出13a，21nan（2）裂项法，12111.3557(21)(23)nbbbnn1111111111(.)()235572123232369nnnn

10、n18.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为菱形，120ABC，E、F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，2BEDF，AEEC（1）证明：平面AEC平面AFC；（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值；【解析解析】（1）联结BD，交AC于点O联结OE、OF、EF易证AEEC，OEAC同理OFAC平面AEC与平面AFC所成角即EOF易证RtEBORtODF，90EOF，即平面AEC平面AFC（或者以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，证0OEOF）（2）以O为坐标原点，射线OB为x轴，OC为y轴，OG为z轴，建立空间直角坐标系，设菱形ABCD边长为2，则点(0,3

11、,0)A，(1,0,2)E，(0,3,0)C，2(1,0,)2F，(1,3,2)AE，2(1,3,)2CF，3cos319.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费ix和年销售量iy（1,2,.,8i）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值FunshineMFunshineMathsaths峰行数学峰行数学资料整理资料整理sh-mathsxyw821()iixx821()iiww81()()iiixxyy81()()iiiwwyy46.65636.8289.

12、81.61469108.8表中iiwx，81iiww（1）根据散点图判断yabx和ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为0.2zyx，根据（2）的结果回答下列问题：年宣传费49x时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据1122(,),(,),.,(,)nnuvuvuv，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()niiiniiuuvvuu，vu【解析解析】（1）结

13、合图像形状可知ycdx更符合（2）根据所提示公式，81821()()108.8681.6()iiiiiwwyyww563686.8100.6yw，即68100.6yx（3）49x时，576.6y，0.20.2576.64966.32zyx20.20.2(68100.6)()13.620.12zyxxxxx结合二次函数图象与性质可知6.8x时取到最大值，即46.24xFunshineMFunshineMathsaths峰行数学峰行数学资料整理资料整理sh-maths20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线2:4xCy与直线:lykxa(0)a交与M、N两点（1）当0k时，分别求C在点

14、M和N处的切线方程；（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由；【解析解析】（1）24xa，(2,)Maa，(2,)Naa，2xya，M处切线方程yaxa，N处切线方程yaxa（2）假设存在，设(0,)Pp，OPMOPN，0PMPNkk即12120ypypxx，化简得1212()(4)0 xxxxp联立方程，韦达定理124xxk，124xxa，代入上式，pay轴上存在点(0,)Pa，使得当k变动时，总有OPMOPN21.（本小题满分12分）已知函数31()4fxxax，()lngxx；（1）当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；（2）用min,mn表示m、n中的最

15、小值，设函数()min(),()hxfxgx(0)x，讨论()hx零点的个数；【解析解析】（1）2()30fxxa，31()04fxxax，解得12x，34a（2）当0a时，可知2()30fxxa，()0.25fx，结合图像可知()hx只有一个零点（()hx图像为红色实线部分）当304a时，()fx在(0,)上的的最低点3()03af，结合图像可知()hx此时有一个零点(1,0)当34a时，()fx在(0,)上的最低点3()03af，结合图像可知()hx此时有两个零点FunshineMFunshineMathsaths峰行数学峰行数学资料整理资料整理sh-maths当5344a时，()fx在(

16、0,)上的最低点3()03af且产生的两个零点在区间(0,1)上，结合图像可知()hx此时有三个零点当54a时，()fx在(0,)上的最低点3()03af且产生的两个零点中有一个和(1,0)点重合，结合图像可知()hx此时有两个零点当54a时，()fx在(0,)上的最低点3()03af且产生的两个零点中有一个大于1，此时(1,0)点取不到，结合图像可知()hx此时只有一个零点综上所述：当34a或54a时，()hx有一个零点当34a或54a时，()hx有两个零点当5344a时，()hx有三个零点请考生在请考生在（22）、（）、（23）、（）、（24）三题中任选一题作答三题中任选一题作答，如果多做

17、如果多做，则按所做第一个题目计分则按所做第一个题目计分22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E（1）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（2）若3OACE，求ACB的大小；【解析解析】（1）证明：联结AE、OE、DO易证AECE，DEDA，AOEO且DODO，DAODEO90DEO，即DE是O的切线（2）AECBEABAC，AEBE，设1CE，23AB勾股定理解得3BE，30ABE，即60ACBFunshineMFunshineMathsaths峰行数学峰行数学资料整理资料整理sh-maths23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1:2Cx，圆222:(1)(2)1Cxy，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；（1）求1C，2C的极坐标方程；（2）若直线3C的极坐标方程为4()R，设2C与3C的交点为M、N，求2CMN的面积；【解析解析】（1）1:cos2C，22:2cos4sin40C（2）4即yx，圆心2(1,2)C到直线yx的距离22d，21CM，222MN，2