2018届静安区高考数学一模(含详细答案)

1、第1页静安区2017学年度第一学期教学质量检测高三数学试卷考生注意：1本场考试时间120分钟试卷共4页，满分150分另附答题纸2作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号等信息3所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位在试卷上作答一律不得分4用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有12题，满分题，满分54分，第分，第16题每题题每题4分，第分，第712题每题题每题5分）分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.计算：+lim(1)=+1nnn_2.计算行列式1i23i11

2、i的结果是_（其中i为虚数单位）3与双曲线221916xy的渐近线相同，且经过点(3,23)A的双曲线的方程是_4从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾、策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案共有_种（结果用数值表示）5已知函数()23xfxaa（aR）的反函数为1()yfx，则函数1()yfx的图像经过的定点的坐标为6在10()xa的展开式中，7x的系数是15，则实数a_7已知点(2,3)A到直线(1)30axay的距离不小于3，则实数a的取值范围是.8类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O点且单位长度相同）称为斜坐标系

3、斜坐标系在斜坐标系xOy中，若12OPxeye（其中12,ee分别为斜坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，,xyR），则点P的坐标为(,)xy.若在斜坐标系xOy中，60 xoy，点M的坐标为(1,2)，则点M到原点O的距离为.9已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为83，则该圆锥的侧面积等于.10已知函数(5)1,(1)(),(1)xaxxfxax(0,1)aa是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为11.已知函数231()sin3coscos()22fxxxx，若将函数()yfx的图像向左平移a个单位第2页(0)a，所得图像关于y轴对称，则实数a的取值集合为.12.已知函数2

4、()41fxaxx,若对任意xR，都有()0ffx恒成立，则实数a的取值范围为.二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有4题，满分题，满分20分，每题分，每题5分）分）每题有且只有一个正确选项每题有且只有一个正确选项考考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.已知无穷等比数列na的各项之和为32，首项112a，则该数列的公比为【】A13B23C13D13或2314.设全集3,log(1),11URAxyxBxx，则UAB【】A0,1B0,1C1,2D1,215两条相交直线l、m都在平面内，且都不在平面内若有甲：l和m中至少有

5、一条直线与相交；乙：平面与平面相交，则甲是乙的【】A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件16若曲线2yx与曲线22:144xyC恰有两个不同交点，则实数的取值范围为【】A,11+（，）B,1C1+（，）D1,0)1,三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有5题，满分题，满分76分）分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤必要的步骤17（本题满分（本题满分14分，第分，第1小题满分小题满分6分，第分，第2小题满分小题满分8分）分）如图，在正三棱柱111ABCABC中,41AA,异面直线1BC与1AA所成角的大小为3（

6、1）求正三棱柱111ABCABC的体积；（2）求直线1BC与平面11AACC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）B1A1C1ACB第3页18（本题满分（本题满分14分，第分，第1小题满分小题满分6分，第分，第2小题满分小题满分8分）分）在ABC中，角ABC、的对边分别是abc、，设向量(,cos),maB(,cos),nbA且/,mnmn.(1)求证：2AB；(2)若sinsinsinsinxABAB，试确定实数x的取值范围.19（本题满分（本题满分14分，第分，第1小题满分小题满分6分，第分，第2小题满分小题满分8分）分）如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可

7、转动的探照灯，其照射角PAQ始终为45(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设,tanPABt.(1)当三点CPQ、不共线时，求直角CPQ的周长；(2)设探照灯照射在正方形ABCD内部区域PAQC的面积为S(平方百米)，试求S的最大值.QCDABP45第4页ACPQMNxyOml20（本题满分（本题满分16分，第分，第1小题满分小题满分4分，第分，第2小题满分小题满分6分，第分，第3小题满分小题满分6分）分）如图,已知满足条件3i3iz（其中i为虚数单位）的复数z在复平面xOy对应点的轨迹为圆C（圆心为C）.设复平面xOy上的复数i(,)zxyxRyR对应的点为(,)xy，定直线m的方程为36

8、0 xy，过)0,1(A的一条动直线l与直线m相交于N点,与圆C相交于PQ、两点，M是弦PQ中点.（1）若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直；（2）当23PQ时，求直线l的方程；（3）设tAMAN,试问t是否为定值？若为定值，请求出t的值；若t不为定值，请说明理由.21（本题满分（本题满分18分，第分，第1小题满分小题满分4分，第分，第2小题满分小题满分7分，第分，第3小题满分小题满分7分）分）已知数列na的通项公式为annan，(,naN*)(1)若，2a，4a成等差数列，求a的值；(2)是否存在k(10k且kN*)与a，使得，3a，ka成等比数列？若存在，求出k的取值集合；若不存在，请说明

9、理由；(3)求证：数列na中的任意一项na总可以表示成数列na中的其它两项之积1a1a第5页静安区2017学年度第一学期教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有12题，满分题，满分54分，第分，第16题每题题每题4分，第分，第712题每题题每题5分）分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.0；2.6i；3.224194xy；4.60种；5(30)，；6127.3,3,7；87；942；103,5)11.75123126，；12.3，+二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有4题，满分题，满分20分，每题分，每题5分）每题有

10、且只有一个正确选项分）每题有且只有一个正确选项考考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.B；14.D；15.C；16A三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有5题，满分题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤必要的步骤17（本题满分（本题满分14分，第分，第1小题满分小题满分6分，第分，第2小题满分小题满分8分）分）解：（1）11BCB是异面直线1BC与1AA所成的角，所以11BCB=32分因为114BBAA，所以3411CB，4分于是，三棱柱体积13163

11、44834ABCVSHSAA6分（2）过B作BDAC，D为垂足，则BD平面11AACC，DBC1是直线1BC与平面11AACC所成的角，8分8,61BCBD，（127DC），所以直线1BC与平面11AACC所成的角为43arcsin14分(37arctan7，7arccos4)B1A1C1ACB第6页18（本题满分（本题满分14分，第分，第1小题满分小题满分6分，第分，第2小题满分小题满分8分）分）解：（1）(,cos),(,cos),maBnbA且/mn，coscos0aAbB2分又2sinsinabRABsincossincosAABB,即sin2sin2AB又ABC中02,22AB22A

12、B或22AB即AB或2AB5分若AB，则ab且coscosAB，mn，mn2AB6分（2）由sinsinsinsinxABAB可得sinsinsincossinsinsincosABAAxABAA8分设sincosAAt，则2sin()4tA，02A3444A12sin()24A10分212sincostAA21sincos2tAA11分22211txttt1tt在(1,2t上单调增22222111222txttt实数x的取值范围为(22,)(开区间)14分19（本题满分（本题满分14分，第分，第1小题满分小题满分6分，第分，第2小题满分小题满分8分）分）解：（1）,tanPABt，所以BPt

13、，1CPt；因为点CPQ、不共线，所以01t，1tan(45)1tDQt,111tCQt;22PQCPCQ=211tt;5分QCDABP45第7页ACPQMNxyOml直角CPQ的周长=211(1)(1)11ttttt=26分(2)11=1221ttSt8分12=2(1)2221tt12分当12t时，等号成立13分探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为22平方百米14分20（本题满分（本题满分16分，第分，第1小题满分小题满分4分，第分，第2小题满分小题满分6分，第分，第3小题满分小题满分6分）分）解:(1)由已知，圆心C)3,0(,31mk,2分则31003lk.故1lmkk.所以

14、直线l与m垂直.4分（直线l经过点（-1，0）和（0，3），所以方程为330 xy）(2)当直线l与x轴垂直时,易知1x符合题意;5分当直线与x轴不垂直时,设直线l的方程为)1(xky.6分由于32PQ,所以.1CM7分由1132kkCM,解得34k.9分故直线l的方程为1x或0434yx.10分(3)当l与x轴垂直时,易得)3,1(M,)35,1(N,又)0,1(A，则),3,0(AM)35,0(AN,故5tAMAN.11分当l的斜率存在时,设直线l的方程为)1(xky,代入圆的方程22(3)4xy得第8页056)62()1(2222kkxkkxk.则,1322221kkkxxxM2213)

15、1(kkkxkyMM,即)13,13(2222kkkkkkM,13分AM222231331(,)=1,)111kkkkkkkk（.又由,063),1(yxxky得)315,3163(kkkkN,则555(,)=(1,)131313kANkkkk.故t222221555(3)5(13)(1)5(1)(13)(1)(13)(13)(1)kkkkkkAMANkkkkkk（）.综上,t的值与直线l的斜率无关,且5tAMAN.16分（3）另解:连结CA并延长交直线m于点B,连结,CNCM由(1)知,mAC又lCM,所以四点BNCM,都在以CN为直径的圆上,由相交弦定理得5tAMANAMANACAB.16

16、分21（本题满分（本题满分18分，第分，第1小题满分小题满分4分，第分，第2小题满分小题满分7分，第分，第3小题满分小题满分7分）分）解：(1)aa111，aa222，444aa，2a，4a成等差数列，1422aaa，2分化简得22aaaN*，2a4分(2)假设存在这样的k，a满足条件，aa111，aa333，akkak，3a，ka成等比数列，231()kaaa，6分去分母,展开得229996akaakaka,化简得2(39)(9)kaka,aN*，(9)39,(3)99kakaka，当10k时,39a;当11k时,21a；等等8分一般的,设9*tkN,3*laN,则363at,369kl.9分aN*，,lt需为36的公约数,k的取值集合为1a1a第9页369,1