2018年高考全国2卷理科数学(含答案)

1、理科数学试题第1页（共11页）绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12

2、小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。112i12iA43i55B43i55C34i55D34i552已知集合22(,)|3,AxyxyxyZZ，则A中元素的个数为A9B8C5D43函数2ee()xxfxx的图象大致为4已知向量a，b满足|1a，1ab，则(2)aabA4B3C2D05双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为A2yxB3yxC22yxD32yx6在ABC中，5cos25C，1BC，5AC，则ABA42B30C29D25理科数学试题第2页（共11页）7为计算11111123499100S，设计了右侧的程序框图，

3、则在空白框中应填入A1iiB2iiC3iiD4ii8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A112B114C115D1189在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A15B56C55D2210若()cossinfxxx在,aa是减函数，则a的最大值是A4B2C34D11已知()fx是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffffA50

4、B0C2D5012已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PFF为等腰三角形，12120FFP，则C的离心率为A23B12C13D14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为_14若,xy满足约束条件250,230,50,xyxyx则zxy的最大值为_15已知sincos1，cossin0，则sin()_开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否理科数学试题第3页（共11页）16已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，S

5、A与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）记nS为等差数列na的前n项和，已知17a，315S（1）求na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值18（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,1

6、7）建立模型：30.413.5yt；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,7）建立模型：9917.5yt（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19（12分）设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，|8AB（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程理科数学试题第4页（共11页）20（12分）如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M

7、PAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值21（12分）已知函数2()exfxax（1）若1a，证明：当0 x时，()1fx；（2）若()fx在(0,)只有一个零点，求a（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,4sin,xy（为参数），直线l的参数方程为1cos,2sin,xtyt（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率23选修45：不等式选讲（10分）设函数()5|2|fxxax（

8、1）当1a时，求不等式()0fx的解集；（2）若()1fx，求a的取值范围PAOCBM理科数学试题第5页（共11页）绝密绝密启用前启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1D2A3B4B5A6A7B8C9C10A11C12D二、填空题132yx149151216402三、解答题17解：（1）设na的公差为d，由题意得13315ad由17a得d=2所以na的通项公式为29nan（2）由（1）得228(4)16nSnnn所以当n=4时，nS取得最小值，最小值为1618解：（1）利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为30.413.519226.1y

9、(亿元)利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为9917.59256.5y(亿元)（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5yt上下这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基理科数学试题第6页（共11页）础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型9917.5

10、yt可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值2261亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分19解：（1）由题意得(1,0)F，l的方程为(1)(0)ykxk设1221(,),(,)AyxyxB，由2(1),4ykxyx得2222(24)0kxkxk216160k，故122224kxkx所以122244|(1)(1)xkABAFBFkx由题设知22448k

11、k，解得1k（舍去），1k因此l的方程为1yx（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，则00220005,(1)(1)16.2yxyxx解得003,2xy或0011,6.xy因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy20解：理科数学试题第7页（共11页）（1）因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且23OP连结OB因为22ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，122OBAC由222OPOBPB知POOB由,OPOBOPAC知PO平面ABC（2）如图，

12、以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),OBACPAP取平面PAC的法向量(2,0,0)OB设(,2,0)(02)Maaa，则(,4,0)AMaa设平面PAM的法向量为(,)xyzn由0,0APAMnn得2230(4)0yzaxay，可取(3(4),3,)aaan，所以22223(4)cos,23(4)3aOBaaan由已知得3|cos,|2OBn所以22223|4|3=223(4)3aaaa解得4a（舍去），43a所以83434(,)333n又(0,2,23)

13、PC，所以3cos,4PCn所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34理科数学试题第8页（共11页）21解：（1）当1a时，()1fx等价于2(1)e10 xx设函数2()(1)e1xgxx，则22()(21)e(1)exxgxxxx当1x时，()0gx，所以()gx在(0,)单调递减而(0)0g，故当0 x时，()0gx，即()1fx（2）设函数2()1exhxax()fx在(0,)只有一个零点当且仅当()hx在(0,)只有一个零点（i）当0a时，()0hx，()hx没有零点；（ii）当0a时，()(2)exhxaxx当(0,2)x时，()0hx；当(2,)x时，()0hx所以()hx在(0,

14、2)单调递减，在(2,)单调递增故24(2)1eah是()hx在0,)的最小值理科数学试题第9页（共11页）若(2)0h，即2e4a，()hx在(0,)没有零点；若(2)0h，即2e4a，()hx在(0,)只有一个零点；若(2)0h，即2e4a，由于(0)1h，所以()hx在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0 x时，2exx，所以33342241616161(4)11110e(e)(2)aaaaahaaa故()hx在(2,4)a有一个零点，因此()hx在(0,)有两个零点综上，()fx在(0,)只有一个零点时，2e4a22解：（1）曲线C的直角坐标方程为221416xy当cos0时，l的直

15、角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程22(13cos)4(2cossin)80tt因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为1t，2t，则120tt又由得1224(2cossin)13costt，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k23解：（1）当1a时，24,1,()2,12,26,2.xxfxxxx理科数学试题第10页（共11页）可得()0fx的解集为|23xx（2）()1fx等价于|2|4xax而|2|2|xaxa，且当2x时等号成立故()1fx等价于|2|4a由|2|4a可得6a或2a，所以a的取值范围是(,62,)21（12分）已知函数2()exfxax（1）若1a，证明：当0 x时，()1fx；（2）若()fx在(0,)只有一个零点，求a解：（1）()e2xfxx，()e2xfx当ln2x时，()0fx，当ln2x时，()0fx，所以()fx在(,ln2)单调递减，在(ln2,)单调递增，故()(ln2)22ln20fxf，()fx在(,)单调递增因为0 x，所以()(0)1fxf（2）当0 x时，设2e()xgxax，则2()()fxxgx，()fx在(0,)只有一个零点等价于()gx在(0,