2017年高考新课标全国I卷数学(理)试题及答案

1、第1页共18页绝密绝密启用前启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()AA1000和n=n+1BA1000和n=n+2CA1000和n=n+1DA1000和n=n+29已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+23)，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得

2、到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C210已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为()A16B14C12D1011设x、y、z为正数，且235xyz，则()A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是(

3、)A440B330C220D110二、填空题：本题共二、填空题：本题共44小题，每小题小题，每小题55分，共分，共2020分分.13已知向量aa，bb的夹角为60，|aa|=2，|bb|=1，则|aa+2bb|=.14设x，y满足约束条件21210 xyxyxy，则32zxy的最小值为.15已知双曲线C：22221xyab（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若MAN=60，则C的离心率为.16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA

4、，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为.三、解答题：共三、解答题：共7070分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第17211721题为必考题，每个试题考生都必须作题为必考题，每个试题考生都必须作答答.第第2222、2323题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA.

5、（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.第4页共18页18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AB/CD，且90BAPCDP.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角APBC的余弦值.19（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，学+科网检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求(1)PX及X的数学期

6、望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx，16162221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,16i用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计

7、值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则(33)0.9974PZ，160.99740.9592，0.0080.09第5页共18页20（12分）已知椭圆C：2222=1xyab（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.21（12分）已知函数2()e(2)exxfxaax.（1）讨论()fx的单调性；（2）若()f

8、x有两个零点，求a的取值范围.第6页共18页（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xy（为参数），直线l的参数方程为4,1,xattyt（为参数）.（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a.23选修45：不等式选讲（10分）已知函数24()xaxfx，11()xxgx|.（1）当a=1时，求不等式()()fxgx的解集；（2）若不等式()()fxgx的解集包含1，1，求a的取值范围.第7页共18页绝密绝

9、密启用前启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共一、选择题：本题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1A2B【解析】试题分析：设正方形边长为a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为24a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248aa，选B.秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p满足1142p

10、，故选B.3B4C【解析】第8页共18页5D【解析】试题分析：因为()fx为奇函数且在(,)单调递减，要使1()1fx成立，则x满足11x，从而由121x得13x，即满足1(2)1fx成立的x的取值范围为1,3，选D.【考点】函数的奇偶性、单调性【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()fx在R上为单调递增的奇函数，且12()()0fxfx，则120 xx，反之亦成立.6C【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)xxxxx，则6(1)x展开式中含2x的项为22261C15xx，621(1)xx展开式中含2x的项

11、为442621C15xxx，故2x的系数为151530，选C.7B【解析】试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122，故选B.8D9D【解析】试题分析：因为12,CC函数名不同，所以先将2C利用诱导公式转化成与1C相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326Cyxxx，则由1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos2yx，再将曲线向左平移12个单位长度得到2C，故选D.第9页共18页10A11D12A【解析】试题分析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,

12、1,2,4,2k则该数列的前(1)122kkk项和为11(1)1(12)(122)222kkkkSk，要使(1)1002kk，有14k，此时122kk，所以2k是第1k组等比数列1,2,2k的部分和，设1212221ttk，所以2314tk，则5t，此时52329k，所以对应满足条件的最小整数293054402N，故选A.第10页共18页二、填空题：本题共二、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分.1323【解析】试题分析：222|2|44|4421cos60412abaabb，所以|2|1223ab.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2ab的模长是以2为边长，一夹角为

13、60的菱形的对角线的长度，则为23.145【解析】试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333ABC，由32zxy得322zyx在y轴上的截距越大，z就越小，所以，当直线32zxy过点A时，z取得最小值，所以z的最小值为3(1)215.第11页共18页16233【解析】试题分析：如图所示，作APMN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线byxa上的点，且(,0)Aa，|AMANb，而APMN，所以30PAN，点(,0)Aa到直线byxa的距离22|1bAPba，在RtPAN中，|cos|PAPANNA，代入计算得223

14、ab，即3ab，由222cab得2cb，所以22333cbeab.16415【解析】试题分析：如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x0)，则1332OGx36x.356FGSGx，222233566SOhSGGOxx3553x，三棱锥的体积21133553343ABCVShxx451535123xx.设45353nxxx，x0，则3453203nxxx，令0nx，即43403xx，得43x，易知nx在43x处取得最大值.第12页共18页ma.三三、解答题解答题：共共70分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15、证明过程或演算步骤.第第1721题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin23sinaacBA，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sinsinBC的值；（2）由1coscos6BC和2sinsin3BC计算出1cos()2BC，从而求出角A，根据题设和余弦定理可以求出bc和bc的值，从而求出ABC的周长为333.第13页共18页18（12分）【解析】试题解析：（1）由已知90BAPCDP，得ABAP，C

16、DPD.由于AB/CD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.（2）在平面PAD内作PFAD，垂足为F，由（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由（1）及已知可得2(,0,0)2A，2(0,0,)2P，2(,1,0)2B，2(,1,0)2C.所以22(,1,)22PC，(2,0,0)CB，22(,0,)22PA，(0,1,0)AB.设(,)xyzn是平面PCB的法向量，则0,0,PCCBnn即220,2220,xyzx可取(0,1,2)n.

17、设(,)xyzm是平面PAB的法向量，则第14页共18页0,0,PAABmm即220,220.xzy可取(1,0,1)m.则3cos,|3nmnmnm，所以二面角APBC的余弦值为33.19（12分）【解析】试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为0.0026，故(16,0.0026)XB.因此16(1)1(0)10.99740.0408PXPX.X的数学期望为160.00260.0416EX.（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)之

18、外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii）由9.97,0.212xs，得的估计值为9.97，的估计值为0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3,3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(3,3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215，因此的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134iix，剔除(3,3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差第15页

19、共18页为221(1591.1349.221510.02)0.00815，因此的估计值为0.0080.09.20（12分）【解析】试题分析：（1）根据3P，4P两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过3P，4P两点.另外由222211134abab知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此234,PPP在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：ykxm（1m），将ykxm代入2214xy，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出12kk，根据

20、121kk列出等式表示出k和m的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134abab知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此22211,131,4bab解得224,1.ab故C的方程为2214xy.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t，且|2t，可得A，B的坐标分别为（t，242t），（t，242t）.则22124242122ttkktt，得2t，不符合题设.从而可设l：ykxm（1m）.将ykxm代入2214xy得222(41)8440kxk

21、mxm.由题设可知22=16(41)0km.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk，x1x2=224441mk.而12121211yykkxx121211kxmkxmxx1212122(1)()kxxmxxxx.第16页共18页由题设121kk，故1212(21)(1)()0kxxmxx.即222448(21)(1)04141mkmkmkk.解得12mk.当且仅当1m时，0，于是l：12myxm，即11(2)2myx，所以l过定点（2，1）.21（12分）【解析】试题分析：（1）讨论()fx单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a按0a，0a进

22、行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a，()fx至多有一个零点.若0a，当lnxa时，()fx取得最小值，求出最小值1(ln)1lnfaaa，根据1a，(1,)a，(0,1)a进行讨论，可知当(0,1)a时有2个零点.易知()fx在(,ln)a有一个零点；设正整数0n满足03ln(1)na，则00000000()e(e2)e20nnnnfnaannn.由于3ln(1)lnaa，因此()fx在(ln,)a有一个零点.从而可得a的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()fx的定义域为(,)，2()2e(2)e1(e1)(2e1)xxxxfxaaa，（）若0a，则()0fx，所以()f

23、x在(,)单调递减.（）若0a，则由()0fx得lnxa.当(,ln)xa时，()0fx；当(ln,)xa时，()0fx，所以()fx在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增.（2）（）若0a，由（1）知，()fx至多有一个零点.（）若0a，由（1）知，当lnxa时，()fx取得最小值，最小值为1(ln)1lnfaaa.当1a时，由于(ln)0fa，故()fx只有一个零点；当(1,)a时，由于11ln0aa，即(ln)0fa，故()fx没有零点；当(0,1)a时，11ln0aa，即(ln)0fa.又422(2)e(2)e22e20faa，故()fx在(,ln)a有一个零点.设正整数0n满足03ln(1)na，则00000000()e(e2)e20nnnnfnaannn.第17页共18页由于3ln(1)lnaa，因此()fx在(ln,)a有一个零点.综上，a的