2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标,文科)配套课件 6.3等比数列及其前n项和

1、数学A（文）,第六章数列,6.3等比数列及其前n项和,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.等比数列的定义如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示.,从第2项起，每一项与它的前一项的比等于,同一常数(不为零),公比,q,2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an.3.等比中项若，那么G叫做a与b的等比中项.,a1qn1,G2ab(ab0),4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(n，mN*).(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则.,qnm,akalaman,

2、5.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；6.等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为.,qn,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列.()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列.(),(4)如果数列an为等比数列，则数列lnan是等差数列.()(5)等比数列an的首项为a，公比为1，前n项和为Sn，则S2n0，S

3、2n1a.(),A,D,4,22n12,解析,设等比数列的公比为q，由a2a420，a3a540.得20q40，且a1qa1q320，解得q2，且a12.,例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5等于(),题型一等比数列基本量的运算,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5等于(),题型一等比数列基本量的运算,显然公比q1，由题意得,解析,答案,思维升华,例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5等于(),题型

4、一等比数列基本量的运算,解析,答案,思维升华,例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5等于(),题型一等比数列基本量的运算,B,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.,解析,答案,思维升华,例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5等于(),题型一等比数列基本量的运算,B,解析,答案,思维升华,例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.,解析,答案,思维升华,设等比数列an的公比

5、为q(q0)，则,例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.,解析,答案,思维升华,故a34或a34.,例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.,解析,答案,思维升华,4或4,例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.,故a34或a34.,解析,答案,思维升华,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.,4或4,例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.,跟踪训练1(1)已知正项数列an为等比数列，且5

6、a2是a4与3a3的等差中项，若a22，则该数列的前5项的和为()A.B.31C.D.以上都不正确,解析设an的公比为q，q0.由已知得a43a325a2，即a2q23a2q10a2，q23q100，,跟踪训练1(1)已知正项数列an为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a22，则该数列的前5项的和为()A.B.31C.D.以上都不正确,解得q2或q5(舍去)，又a22，则a11，,B,解析因为等差数列an的前n项和为,(2)(2014天津)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_.,所以S1，S2，S4分别为a1,2a1

7、1,4a16.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a11)2a1(4a16)，解方程得,例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8_.,题型二等比数列的性质及应用,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8_.,题型二等比数列的性质及应用,解析,答案,思维升华,例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8_.,题型二等比数列的性质及应用,解析,答案,思维升华,在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，

8、利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.,例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8_.,题型二等比数列的性质及应用,解析,答案,思维升华,例2,解析,答案,思维升华,例2,由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，,解析,答案,思维升华,例2,由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，,解析,答案,思维升华,在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.,例2,

9、跟踪训练2(1)设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3_.,解析由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，,34,(2)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44_.,解析方法一a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3,a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15,(2)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44_.,又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43,(2)在等比数列

10、an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44_.,方法二由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，设T1a1a2a3a41，T4a13a14a15a168，T4T1p31p38p2.T11a41a42a43a44T1p102101024.,1024,(3)设数列an、bn都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列lgan与lgbn的前n项和，且，则_.,解析,解析,题型三等比数列的判定与证明,例3已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；,思维升华,解析,思维升华,证明anSnn，an1Sn1n1.得an1a

11、nan11，2an1an1，2(an11)an1，,题型三等比数列的判定与证明,例3已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；,解析,思维升华,题型三等比数列的判定与证明,例3已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；,an1是等比数列.,cnan1，,首项c1a11，,解析,思维升华,题型三等比数列的判定与证明,例3已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；,证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比

12、数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.,解析,思维升华,题型三等比数列的判定与证明,例3已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；,例3(2)求数列an的通项公式.,解析,思维升华,解析,思维升华,例3(2)求数列an的通项公式.,解析,思维升华,利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.,例3(2)求数列an的通项公式.,跟踪训练3设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；,证明由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.,跟踪训练3设数列a

13、n的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；,又,，得an14an4an1，,跟踪训练3设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；,an12an2(an2an1).bnan12an，bn2bn1，故bn是首项b13，公比为2的等比数列.,解由(1)知bnan12an32n1，,(2)求数列an的通项公式.,得an(3n1)2n2.,(2)求数列an的通项公式.,思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用,典例：(12分)(2013天津)已知首项为的等比数列an的前n项和

14、为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；,思维点拨,规范解答,思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用,典例：(12分)(2013天津)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；,(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；,思维点拨,规范解答,思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用,典例：(12分)(2013天津)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；,解设等比数列an的公比为q

15、，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，,思维点拨,规范解答,思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用,典例：(12分)(2013天津)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；,思维点拨,规范解答,温馨提醒,又a1，所以等比数列an的通项公式为,思维点拨,规范解答,温馨提醒,(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明.,思维点拨,规范解答,温馨提醒,思维点拨,规范解答,温馨提醒,思维点拨,规范解答,温馨提醒,思维点拨,规范解答,温馨提醒,思维点拨,规范解答,温馨提醒,思维点

16、拨,规范解答,温馨提醒,思维点拨,规范解答,温馨提醒,(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况.等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论.,思维点拨,规范解答,温馨提醒,(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.,方法与技巧,1.已知等比数列an(1)数列can(c0)，|an|，也是等比数列.(2)a1ana2an1amanm1.,方法与技巧,2.判断数列为等比数列的方法,方法与技巧,3.解题中要注意选用等比数

17、列的性质，减少运算量.,失误与防范,1.注意等比数列中的分类讨论.,2.由an1qan(q0)，并不能断言an是等比数列，还要验证a10.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.(2014重庆)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列,所以a3，a6，a9成等比数列.故选D.,D,2.(2014大纲全国)等比数列an中，a42，a55，则数列lgan的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3,解析数列lgan的前8项和S8

18、lga1lga2lga8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3.(2013课标全国)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1等于()解析设等比数列an的公比为q，由S3a210a1得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,C,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,4.一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是()A.13B.12C.11D.10解析设该等比数列为

19、an，其前n项的积为Tn，则由已知得a1a2a33，an2an1an9，(a1an)33933，a1an3，又Tna1a2an1an，Tnanan1a2a1，,B,5.设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40等于()A.150B.200C.150或200D.400或50解析依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030；又S200，因此S2030，S20S1020，S30S2

20、040，故S40S3080.S40150.故选A.答案A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,6.等比数列an中，Sn表示前n项和，a32S21，a42S31，则公比q为_.解析由a32S21，a42S31得a4a32(S3S2)2a3，,3,7.等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1.若a11，则对任意的nN*，都有an2an12an0，则S5_.解析利用“特殊值”法，确定公比.由题意知a3a22a10，设公比为q，则a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍去)，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,11,3,4,5,6,7,

21、8,9,10,1,2,8.设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k_.解析设等比数列an公比为q，由已知a11，a34，,又an的各项均为正数，q2.,2k163，解得k6.,6,9.已知等差数列an满足a22，a58.(1)求an的通项公式；解设等差数列an的公差为d，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,ana1(n1)d2n2.,(2)各项均为正数的等比数列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n项和Tn.l解设等比数列bn的公比为q，则由已知得qq2a4，a46，q2或q3.等比数列bn的各项均为正数，q2.,3,4,5,6,7,8,9,

22、10,1,2,2n1.,10.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn4an3(nN*).(1)证明：数列an是等比数列；证明依题意Sn4an3(nN*)，n1时，a14a13，解得a11.因为Sn4an3，则Sn14an13(n2)，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,所以当n2时，anSnSn14an4an1，,又a110，所以an是首项为1，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,(2)若数列bn满足bn1anbn(nN*)，且b12，求数列bn的通项公式.,由bn1anbn(nN*)，,可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1),3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,当n1时也满足，当n1时也满足，,12,13,14,15,11,12,13,14,15,11,11.等比数列an的前n项和为Sn，若a1a2a3a41，a5a6a7a82，Sn15，则项数n为()A.12B.14C.15D.16,由a1a2a3a41，,12,13,14,15,11,qn16，又q42，n16.故选D.,答案D,13,14,15,11,12,12.(2013福建)已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN