离散化原理及要求和常用的几种数值积分法

1、第三章 连续系统数值积分仿真方法学,系统仿真,2,3.1 离散化原理及要求,（1）离散化原理 （2）离散化建模方法的要求,系统仿真,3,（1）离散化原理,“数字”计算，引入舍入误差； 按指令一步一步进行，必须将时间离散化。,在数字计算机上对连续系统进行仿真时，首先遇到的问题是：数字计算机的数值及时间均具有离散性，而被仿真系统的数值及时间均具有连续性，后者如何用前者来实现。,系统仿真,4,连续系统仿真： 从时间、数值两个方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算，由此得到离散模型来近似原连续模型。,系统仿真,5,相似原理,设系统模型为：,离散后的输入变量：,系统变量：,如果：

2、,即：,仿真时间间隔为：h,两模型等价。,系统仿真,6,u(t),图2.1 相 似 原理,原连续模型,仿真模型,h,y(t),+,系统仿真,7,（2）离散化建模方法的要求,稳定性 准确性： 最基本的准则是： 绝对误差准则：,相对误差准则：,系统时间间隔hk=tk+1-tk 计算每一步间隔tk 若hk tk ，实时仿真 若tkhk ，离线仿真,快速性,系统仿真,8,明确几个概念,系统仿真,9,差分方程,已知表示某系统一阶向量微分方程及初值为：,对上式两边积分，则,系统仿真,10,在 时的连续解为：,令,则,或表示为,系统仿真,11,数值解法,相邻两个离散点的间距,常用的基本方法有三类： 单步法、

3、多步法、预估校正法。 并可分为显式公式和隐式公式。,称为计算步长或步距,系统仿真,12,单步法与多步法,单步法 只由前一时刻的数值 ym就可求得后一时刻的数值ym+1 能自动启动 多步法 计算ym+1需要用到 tm,tm-1,tm-2,时刻y的数据 不能自动启动,系统仿真,13,显式与隐式,显式 计算 ym+1时所用数值均已计算出来 隐式 计算中隐含有未知量 预估校正法 使用隐式公式时，需用另一显式公式估计一个初值，然后再用隐式公式进行迭代运算。,系统仿真,14,截断误差,假设前一步得到的结果ym是准确的,则用泰勒级数求得tm+1处的精确解为,若从以上精确解中取前两项之和来近似计算ym+1,由

4、这种方法单独引进的附加误差通常称作局部截断误差.,系统仿真,15,舍入误差,舍入误差与h成反比,若计算步长小，计算次数就多,则舍入误差就大。,系统仿真,16,3.2 常用的几种数值积分法,建立系统数学模型的目的是研究系统的运动规律,系统仿真,17,（一）单步法,系统仿真,18,（1）欧拉法（一阶龙格库塔法）,taylor级数展开 矩形近似解法 切线近似,系统仿真,19,（a)taylor展开,假定,为其解析解,将y(t)展开成taylor级数,从而,将上式写成差分方程,系统仿真,20,（b）矩形近似解法,在区间tn,tn+1上积分，得,于是,系统仿真,21,（c)切线近似,y(t)在tn处得切

5、线方程为,则得,系统仿真,22,例1 设系统方程为：,试用欧拉法求其数值解（取步长h=0.1，0t1）,解：原方程为：,递推公式为：,系统仿真,23,已知方程的解析解为,精确解与数值解比较,误差在102数量级,系统仿真,24,（2）改进的欧拉法（梯形法）,又称二阶龙格库塔法,直边梯形的面积,当h比较小时，以直边梯形代替曲边梯形的面积，可得,其差分方程,或,曲边梯形的面积,系统仿真,25,3.然后用梯形法求出修正后的,系统仿真,26,1.用欧拉法预估一个初值,2.用下式求出,如此反复下去直到,迭代运算：,系统仿真,27,预估校正法,系统仿真,28,(3)龙格库塔法,基本思想 间接利用泰勒展开式，

6、即用几个点上的y(t)的一阶导函数值的线性组合来近似代替y(t)在某一点的各阶导数，然后用泰勒级数展开式确定线性组合中各加权系数,系统仿真,29,（a)龙格库塔数值积分公式推导,一阶微分方程：,假定y(t)是上式的解析解。将y(t)展开成泰勒级数,其中：,系统仿真,30,将y(t+h)写成线性组合形式,其中r称为阶数，bi待定系数，ki由下式决定,且定义c1=0,系统仿真,31,r=1，此时c1=0，a1=0，k1=f(t,y)，则,取b1=1，即得一阶龙格库塔法,r=2,将,在点(t,y)展开泰勒级数,系统仿真,32,所以,改进欧拉法,系统仿真,33,r=4,其中：,四阶龙格库塔法,系统仿真,34,为方便，将上式具体列为：,其中：,系统仿真,35,龙格库塔法的特点,在计算yn+1时只用到yn，而不直接用yn-1,yn-2等项; 步长h在整个计算中并不要求固定； 精度取决于步长h的大小及方法的阶次 一阶龙格库塔公式欧拉公式,系统仿真,36,优点,编制程序容易 改变步长方便 稳定性较好 是一种自启动的数值积分法,系统仿真,37,(4)单步法的特点,需要存