微分中值定理经典题型.ppt

1、a,1,第2章 微分学中值定理及其应用-习题课(1),课堂练习,举例,主要内容,a,2,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,Fermat定理,主要内容,a,3,分析:,设,欲证:,使,只要证,亦即,证明 作辅助函数,验证,在,上,满足罗尔定理条件.,课堂练习,a,4,证明 反证法,由第1题!,若将第1题改为:,提示：,a,5,证明：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,a,6,证明 第2题的特殊情况:n = 2!,a,7,证明,不妨设,a,8,分析: 所给条件可写为,想到找一点 c , 使

2、,证明: 因 f (x) 在0, 3上连续,所以在0, 2上连续, 且在,0, 2上有最大值 M 与最小值 m,故,由介值定理, 至少存在一点,由罗尔定理知, 必存在,a,9,证明:,a,10,a,11,6. 试证至少存在一点,使,法1 令,则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,a,12,7 试证至少存在一点,使,证:,法2 用柯西中值定理 .,则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,a,13,证明: 欲证,因 f ( x ) 在 a , b 上满足L-中值定理条件,故有,将代入 , 化简得,故有,即要证,a,

3、14,证,例1,举例,a,15,两式相减,则有,a,16,a,17,例2,证明:,两式相减,得,令h0,两边取极限,利用f ( a) 的连续性得,a,18,有关中值问题的解题方法小结,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .,多用罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理 .,必须多次应用,中值定理 .,(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 多半用Taylor和lagrange公式,要 注意适当放大或缩

4、小的技巧.,有时也可考虑对导数用中值定理 .,a,19,第2章 导数应用-习题课(2),课堂练习,举例,主要内容,a,20,主要内容,1. 研究函数的性态:,增减 ,极值 ,凹凸 ,拐点 ,渐近线 .,2. 解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3. 其他应用 :,证明不等式 ;,研究方程实根等.,a,21,1. 可导函数单调性判别,在 I 上严格单调递增,在 I 上严格单调递减,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,a,22,2. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,a,23,3. 在a, b上连续的函数f(x)的最大（小）值求法,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),a,24,4.连续曲线凹凸与拐点,（1）凸（凹）函数的定义,a,25,（2）凸函数的判定,判定法则1,判定法则2,判定法则3,a,26,(3) 拐点的定义及判定法,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,过,由正变负或,过,由负变正,判定法则1,a,27,例1,证,举例,a,28