第三节 样本频率的假设检验

1、第三节 假设检验,在生物学试验和研究中，当进行检验一种试验方法的效果、一个品种的优劣、一种药品的疗效等试验时，所得的试验数据往往存在着一定的差异，这种差异是由随机误差引起的，还是由试验处理的效应所造成的呢？ 例如：同一种饲养条件下，饲养肉鸡各20只，饲料分别为AB；在二月龄测得的平均体重分别为1.5kg和1.4kg，差值0.1kg的产生是由AB处理的效应产生的还是由随机误差造成的？ 必须通过概率计算，采用假设检验的方法，才能做出正确的判断。,假设检验（Hypothesis）,概念：又称为显著性检验，就是根据总体的理论分布和小概率原理，对未知的或不完全知道的总体提出两种彼此对立的假设，然后由样本

2、的实际结果，经过一定的计算，做出在一定概率意义上应该接受的那种假设的推断。 如果抽样结果使小概率事件发生，则拒绝假设；如果抽样结果没有使小概率事件发生，则接受假设。 生物统计学里，一般认为等于或小于0.05或0.01的概率为小概率。,假设检验（Hypothesis）,第一种假设分别与第二、三、四种假设是对立的，即有三对对立的假设，对假设进行判断，就要进行假设检验,假设检验（Hypothesis）,如何进行检验：,样本 平均数,总体 均数,推断,样本,随机抽样,总体,例如：假设我们从某种猪场随机抽取了10头猪，其平均背膘厚为8.7mm，已知该猪场100kg体重时的平均背膘厚服从N（9，2.52）

3、，试问该场长宣称的9mm是否可信？,假设检验的基本步骤,1、提出假设（成对的） H0：无效假设、原假设或零假设，被直接检验的假设，是对总体提出的一个假想目标。 所谓“无效”意指处理效应与总体参数之间没有真实的差异，试验结果中的差异乃误差所致。 否定或接受（null hypothesis） HA：备择假设，是和无效假设相反的一种假设，即认为试验结果中的差异是由于总体参数不同所引起的。 一旦否定原假设就接受备择假设。 （alternative hypothesis）,假设检验的基本步骤,2、构造并计算检验统计量（test statistic） 利用原假设所提供的信息，而且其抽样分布已知,假设检验的

4、基本步骤,3、确定显著水平，确定否定域（临界值） 根据小概率事件原理，比较检验统计量和临界值的关系，确定其落在否定域还是接收域。,接受区域 95%,否定区域 2.5%,否定区域 2.5%,0,-2.58,2.58,在进行无效假设和备择假设后，要确定一个否定H0的概率标准，这个概率标准叫显著水平，记作 a 。 a 是人为规定的小概率界限 生物统计学中常取 a = 005 和 a = 001 两个显著水平。,推断是否接受假设的原理：小概率原理 一般来说，一个小概率事件在一次观测中是不应出现的，而现在它竟然出现了，一个合理的解释就是它实际上不是一个小概率事件，我们把它当作一个小概率事件是因为我们的统

5、计假设不对，因此所算出来的它出现的概率也不对。在这种情况下，我们就应拒绝统计假设。,假设检验的基本步骤,4、对假设进行统计推断,统计学中，常把概率小于 0.05 或 0.01 作为小概率。 所以根据小概率原理作出是否接受 H0 。 如果计算的概率大于 0.05 或 0.01，则认为不是小概率事件，H0 的假设可能是正确的，应该接受H0 ，同时否定HA； 反之，所计算的概率小于 0.05 或 0.01 则否定 H0 ，接受 HA 。,把概率等于或小于 0.05 叫做差异显著标准，或差异显著水平； 等于或小于 0.01 叫做差异极显著标准，或差异极显著水平。 一般差异达到显著水平，则在资料的右上方

6、标以 “*” 差异达到极显著水平，则在资料右上方标以 “*” 。 上例中，所计算的概率为- 3.16，小于 0.05 的显著水平，应接受H。，可以推断有显著差异，其差值 0.3不是误差所致。,假设检验的基本步骤,4、对假设进行统计推断 显著水平：0.01；0.05 （1）差异不显著：接受原假设 （2）差异显著：在 0.05 水平下，否定原假设， 接受备择假设 （3）差异极显著：在 0.01 水平下，否定原假 设，接受备择假设,结论：否定原假设，接受备择假设,在实际检验时，可将上述计算简化: 已知 P（u196）= 005 P（ u 258）= 0.01 u分布进行检验时 ifu1.96，在 a

7、 = 0.05 的水平上达到显著 if u2.58，在 a= 0.01 的水平上达到极显著水平,假设检验的步骤可概括为： （1）对样本所属总体提出无效假设 H0 和备择假设 HA ； （2）确定检验的显著水平 a ； （3）在 H0 正确的前提下，根据抽样分布的统计数， 进行假设检验的概 率计算； （4）根据显著水平 a 的 u 值临界值，进行差异是否显著的推断。,二、双尾检验与单尾检验,进行假设检验提出无效假设和备择假设时，其总体平均数 可能大于 0，也可能小于 0 在样本平均数的抽样分布中 当 = 0.05时，落在区间 的 有95%，落在这一区间之外的只有5%。 当 = o.o1时 ，落在

8、区间 的 有 99%，落在这一区间之外的只有 1%。 在进行假设检验时，前者相当于接受的区域，称为接受区；后者相当于否定的区域，称为否定区。,一般将接受区和否定区的两个临界值写作 当 在 内为的接受区， 和 为的两个否定区， 为左尾否定区 为右尾否定区。 假设检验的两个否定区，分别位于分布的两尾，称为双尾检验。,当假设检验 H0: = 0 HA： 0 这时备择假设就有两种可能， 0 或 0 , 在 0 的情况下，样本平均数 有可能落入左尾否定区，也有可能落入右尾否定区，这两种情况都属于 0 的情况。 例如: 检验某种新药与旧药的治病疗效是否有差别，就是说新 药疗效比旧药好还是旧药疗效比新药好，

9、两种可能性都存在，相 应的假设检验就应该用双尾检验。 在生物学研究中，双尾检验的应用是非常广泛的。,在某些情况下 例如，已经知道新药疗效不可能低于旧药 无效假设 H0： = 0 备择假设 HA： 0 这时仅有一种可能性，其否定区只有一个，相应的检验 也只能考虑一侧的概率，这种具有左尾或右尾一个否定区的检 验叫单尾检验。 单尾检验的步骤与双尾检验相同，查 u 分布表或 t 分布 表时，需将双尾概率乘以2，再进行查表。 单尾测验与双尾测验的方法与步骤非常相似，只是在如何确定小概率事件的边界问题上不同,例如: a = 0.05 的单尾检验时 对 H0： 0 ，需进行左尾检验,否定区为 对 H0： 0

10、，需进行右尾检验，否定区为 a = 0.01 的单尾检验时 对 H0： 0 ，其否定区为 对 H0： 0，其否定区为,双尾检验的临界正态离差u 大于单尾检验的u 如: a = 0.05时，双尾检验的u = 1.96，而单尾检验的u = 1.64 或 u = -1.64。 a = 0.01时，双尾检验的 u= 2.58, 而单尾检验的u = 2.33 或 u = - 2.33 所以单尾检验比双尾检验容易对 H0进行否定 因此，在采用单尾检验时，应有足够的依据。,三、假设检验中的两类错误,假设检验是根据一定概率显著水平对总体特征进行推断。否定了H。，并不等于已证明H。不真实； 接受了H。，也不等于

11、已证明H。是真实的。 第一类错误： a 错误 第二类错误： 错误,第一类错误： 如果H。是真实的，假设检验却否定了它，就犯了一个否定真实假设的错误，这类错误又称 a 错误，亦称弃真错误。,如：对样本平均数的抽样分布 a=0.05 时 落在区间 的概率为 0.95; 落在区间 之外的概率为 0.05, 当 一旦落在区间 之外，假设检验时就会否定 H0 , 接受 HA , 这样就会导致错误的结论。不过，犯这类错误的概率很小，只有 0.05 。 a = 0.01 时 落在区间 的概率为 0.9 9， 落在区间 之外的概率只有 0.01，即犯a错误的可能性更小，只有 0.01。,第二类错误 如果 H。

12、不是真实的，假设检验时却接受了 H0 否定了 HA ,这样就犯了接受不真实的错误，这类错误叫第二类错误，或称错误，亦称纳伪错误。,图5-2 两类错误示意图, 1 = 0, 1 0,第一类错误和第二类错误的关系： 区别：第一类错误只有在 否定H0 时才会发生 第二类错误只有在接受 H0 时才会发生。 联系：在样本容量相同的情况下，第一类错误减少，第二类错误就会增加；反之第二类错误减少，第 一类错误就会增加 大小 犯第一类错误的大小恰好等于显著水平，而犯第二类错误的大小用表示。,如：将概率显著水平 从 0.05 提高到 0.01，就更容易接受 H0 ,因此犯 第一类错误的概率就减少，但相应地增加了

13、犯第二类错误的概率。所以显著水平如果定得太高，虽然在否定 H0 时减少了犯第一类错误的概率，但在接受 H0 时却可能增大第二类错误的概率。,如何减少犯这两类错误的概率呢？ (1) 概率显著水平的确定与犯两类错误有密切的关系 取值太高或太低都会导致某 一种错误的增加。 一般的作法是，将概率显著水平不要定得太高 以取 = 0.05 作为小概率比较合适，这样可使犯两类错误的概率都比较小。,降低 在样本容量固定时，减小第一类错误的概率必然增大犯第二类错误的概率，反之亦然. 但如果样本容量增加，则两类错误的概率都可减小。当固定时，单尾测验的小于双尾测验的。,图5-2 两类错误示意图,(3) 在计算正态离

14、差 u 时，总体平均数 和样本平均数 之间的差值不是随意能够进行主观改变，但在试验研究中， 却是可以减小的。从理论上讲，可通过精密的试验设计和增大样本容量而减小到接近 0 的程度，这样正态分布中接受区就变得十分狭窄， 和 之间的差别就比较容易发现，所以减小 是减少两类错误的关键。 因此，在试验和研究中应用假设检验时，要有合理的试验设计和正确的试验技术，尽量增加样本容量，以减小标准误。,综合起来可以归纳如下： 样本容量n固定的情况下，提高显著水平，如从5%提高到1%，则将增大第二类错误的概率 值。 在 n 和显著水平相同的情况下，真总体平均数和假设平均数0的相差越大，则犯第二类错误的概率值愈小。

15、 为了降低犯两类错误的概率，需采用一个较低的显著水平，如=0.05，同时适当增加样本容量。 改进试验技术，增加样本容量。,第二节 样本平均数的假设检验,一、大样本平均数的假设检验一 u 检验 （一）一个样本平均数的 u 检验 （二）两个样本平均数比较的 u 检验 二、小样本平均数的假设检验一 t 检验 （一）一个样本平均数的假设检验 （二）成组数据平均数比较的假设检验 (三）成对数据平均数比较的假设检验,（一）一个样本平均数的u检验,根据总体方差 是否已知，一个样本平均数的u检验分为两种情况。 1总体方差 已知时的检验 当总体方差 为已知时，检验一个样本平均数 的总体平均数 是否属于某一指定平

16、均数 0 的总体，不论其样本容量是否大于30，均可采 用 u 检验法,例4l 某鱼场按常规方法所育鲢鱼苗一月龄的平均体长7.25cm，标准差为 1.58cm，为提高鱼苗质量，现采用一新方法进行育苗，一月龄时随机抽取100尾进行测量，测得其平均体长为7.65cm，试问新育苗方法与常规方法有无显著差异？ (1) 无效假设 H0: = 0 =7.25cm，备择假设 HA： 0 （2）选取显著水平 a = 0.05； （3）检验计算：,（4）推断：u分布中，当 = 0.05 时，u o.o5=1.96。 实得 u1.96，P0.05，故在 0.05 显著水平上否定H。，接受HA，认为新育苗方法一月龄体

17、长与常规方法有显著差异。,2总体方差 未知时的检验 当总体方差 未知时，只要样本容量 n30，可用样本方差 来代替总体方差 ，仍可用 u 检验法。,例4.2 生产某种纺织品，要求棉花纤维长度平均为 30 mm 以上，现有一棉花品种以 n = 400 进行抽查，测得其纤维平均长度为 30.2 mm，标准差为 2.5 mm，问该棉花品种的纤维长度是否符合纺织品的生产？,可知，=30mm , =30.2mm , s = 2.5 mm，而 未知，但由于n=400，属于大样本，故可用 来代替 进行 u 检验； 由于棉花纤维只有大于30 mm才符合要求，故用单尾检验。 (1) 假设H0： 30 mm，即该

18、棉花品种纤维长度达不到纺织品 生产的要求。 HA： 30mm （2） 确定显著水平a=0.05； （3）检验计算：,（4）推断：当 a = 0.05 时，单尾检验临界值 u 0.05 = 1.645。 实得u1.645，P 0.05，故接受H0，否定HA，认为该棉花品种纤维长度不符合纺织品生产的要求。,（二）两个样本平均数比较的u检验,两个样本平均数比较的 u 检验是要检验两个样本平均数 和 所属的总体平均数 1 和 2 是否来自同一个总体。 在两个样本方差 和 已知,或 和 未知，但两个样本都是大样本，即在 n1 30 和 n2 30 时，可采用 u 检验。 在进行两个大样本平均数的比较时，

19、需要计算样本平均数差数的标准误 和 u 值。,当 和 已知时： 当 时： 当 时： 当 且 时：,u值：,当两样本方差 和 未知，但都是大样本，可用两个样本平均数差数的标准误 代替 其计算公式为： 在 时：,在假设 时：,例43 根据多年的资料，某杂交黑麦从播种到开花的天数的标准差为 6.9 d 现在相同试验条件下采取两种方法取样调查 A法：调查 400 株，得出从播种到开花的平均天数为 69.5 d ; B 法：调查 200 株，得出从播种到开花的平均天数为 70.3 d。试比较两种调查方法所得黑麦从播种到开花的天数有无显著差别。 已知: n1 = 400 n2 = 200 故用u 检验；

20、又事先不知A、B两法所得从播种到开花的天数是否相同，需用双尾检验。,（1）假设 H0： 1 = 2 即A、B两法所得从播种到开花的天数相同。 HA ： 1 2 （2）取显著水平 a = 0.05 （3）检验计算：,(4)推断 : u u 0.05 =1.96 P0.05 故在005显著水平上接受H0，否定HA.,例4.4 为了比较“42-67RRIM603”和“42-67PB86”两个橡胶品种的割胶产量： 两品种分别随即抽样 55 株和107 株进行割胶 割胶平均产量分别为 95.4 ml/ 株和 77.6 ml /株 割胶产量的方差分别为 936.36 ml/ 株和 800.89 ml /株

21、 试检验两个橡胶品种在割胶产量上是否有显著差别,1）假设 H0： 1 = 2 即两品种的割胶产量没有显著差别。 HA ： 1 2 （2）取显著水平 a = 0.01 （3）检验计算：,(4)推断 : u u 0.01 =2.58 P0.01 故在0.01显著水平上否定H0，接受HA.即两个橡胶品种的割胶产量存在极显著的差别,二、小样本平均数的假设检验 t 检验,当样本容量 n 30 且总体方差 未知时，就无法使用 u 检验法对样本平均数进行假设检验. 这时，要检验样本平均数 与指定总体平均数 0 的差异显著性，就必须使用 t 检验法。 事实上，在生物学研究中，由于试验条件和研究对象的限制，有许

22、多研究的样本容量都很难达到 30 ，因此，采用小样本平均数的 t 检验法在生物学研究中具有重要的意义。,（一）一个样本的假设检验 这是检验总体方差 未知，样本容量 n 30 的平均数 是否属于平均数为 0 的指定总体的一种 t 检验方法。 因为小样本的 和 相差较大，故 遵循自由度 df = n-1的 t 分布。,例4.5 某鱼塘水中的含氧量，多年平均为 4.5 mg/L.现在该鱼塘设 10 个点采集水样，测定水中含氧量分别为：433，462389，414，478，464，452 ,455，448, 4.26 mg/L，试检验该次抽样测定的水中含氧量与多年平均值有无显著差别。 此题 未知，且

23、n =1 0，为小样本，故用 t 检验； 又该次测定的水中含氧量可能高于也可能低于多年平均值，故用双尾检验。,(1) 假设 H0: = 0 = 4.5mg/L 即该次测定的水中含氧量与多年 平均值没有显著差别 备择假设 HA： 0 （2）取显著水平 a = 0.05 （3）检验计算：,查表3，当 df = n-1 = 9时，t 0.05 = 2.262 tt o.o5 P0.05 （4）推断：接受H0，认为该次抽样测定的鱼塘水中含氧量与多年平均含氧量没有显著差别， 与 相差 0.079mg/L 属于随机误差。,（二）成组数据平均数比较的假设检验,成组数据平均数比较的假设检验和成对数据平均数比较

24、的假设检验都是检验两个样本平均数 和 所属总体平均数 1和 2 是否相等的检验方法。 它们经常用于处理生物学研究中比较不同处理效应的差异显著性。,成组数据资料的特点: 指两个样本的各个变量是从各自总体中抽取的，两个样本之间的变量没有任何关联，即两个抽样样本彼此独立。 这样，不论两样本的容量是否相同，所得数据皆为成组数据。两组数据以组平均数进行相互比较，来检验其差异的显著性。,当总体方差 和 已知，或总体方差 和 未知，但两个样本均为大样本时，采用 u 检验法检验两组平均数的差异显著性。 但当总体方差 和 未知，且两样本为小样本 （n1 30 , n2 30 ），进行两组平均数差异显著性检验的

25、t 检验法,1两样本的总体方差 和 未知，但可假设 时的 检验 首先，用样本方差 和 进行加权求出平均数差数的方差 ，为对 的估计，计算公式为,求两样本平均数的标准误：,假设 条件下：,当 时：,t值的计算：,自由度 df = (n1 - 1) + (n2 - 2) = (n1 + n2 - 2),例4.6 用高蛋白和低蛋白两种饲料饲养一月龄大白鼠，在三个 月时，测定两组大白鼠的增重量（g），两组的数据分别为： 高蛋白组：134,146,106,119,124,161,107,83,113,129,97,123 低蛋白组：70，118，101，85，107，132，94 试问两种饲料饲养的大白

26、鼠增重量是否有差别？ 本题 和 未知，且为小样本，用 t 检验； 又事先不知两种饲料饲养的大白鼠增重量孰高孰低，故用双尾检验。,（1）假设 H0 ： 1 = 2 两种饲料饲养大白鼠增重量没有差别 HA ： 1 2 （2）取显著水平 a = 0.05 （3）检验计算：,查附表3，df = 12 + 7 2 = 17, t 0.05 = 2.110 tt o.o5 P0.05 （4）推断：接受H。，认为两种饲料饲养大白鼠的增重量没有显著差别。,2两样本的总体方差 和 未知，且 （可由 F检验得知），但 时检验 这种情况仍可用 t 检验法，其计算也与可假设两总体方差 的情况一样，只是在查 t 值表时

27、，所用自由度 df = n - 1，而不是 2 ( n - 1）。,例47 两小麦品种千粒重地(g)的调查结果如下： 品种甲：50，47，42，43，39，5l，43，38，44，37； 品种乙：36，38，37，38，36，39，37，35，33，37。 试检验两品种的千粒重有无显著差异。 此题 经F检验，得知两品种千粒重的方差有显著的不同 (1) 假设 H0 ： 1 = 2 两品种千粒重没有显著差异 HA ： 1 2 （2）取显著水平 a = 0.05,（3）检验计算：,查附表3，df =10-1 = 9，t0.05 = 2.262， tt 0.05 =2.262 P0.05 （4）推断：

28、否定H0，接受HA. 认为两品种千粒重有显著差异，甲品种的千粒重显著高于乙品种。,3两样本的总体方差 和 未知，且 时的检验 这种情况所构成的统计数 t 不再服从相应的t分布，因而只能进行近似的 t 检验。 由于 ，所以两样本平均数差数的标准误不能使用加权方差，需用两个样本方差 和 分别估计总体方差 和 。,式 近似服从于t分布，其自由度为 查t值表得 临界值。,作检验时，先计算：,例4.8 测定小麦蛋白质含量（） 冬东方红3号：10次， = 14.3, = 1.621； 农大193号：5次， = 11.7 = 0.135 试检验两品种蛋白质含量是否有显著差异。 经F检验，得知两品种蛋白质含量

29、的方差有显著的不同，又由于 故需计算 ，作近似的t检验。使用双尾检验。,(1) 假设 H0： 1 = 2 即两品种蛋白质含量没有显著差异 HA ： 1 2 （2）取显著水平 a = 0.01 （3）检验计算：,查附表3，当 = 12时， t 0.01 = 3.056 t 0.01 P 0.01 （4）推断：否定H0，接受HA，认为两品种蛋白质含量有极显著差异,（三）成对数据平均数比较的假设检验,成对数据的比较要求: 两样本间配偶成对，每一对除随机地给予不同处理外，其他试验条件应尽量一致。 成对数据，由于同一配对内两个供试单位的实验条件非常接近，而不同配对间的条件差异又可以通过各个配对差数予以消

30、除，因而，可以控制试验误差，具有较高精确度。,设两样本的变量分别为 和 ，共配成 n对，各对的差数为,则样本差数平均数 为：,样本差数方差 为：,样本差数平均数的标准误 为：,它具有自由度 df = n - 1,若设 ，为：,t 值为：,例49 在研究饮食中缺乏维生素E与肝中维生素A的关系时，将试验动物按性别、体重等配成8对，并将每对中的两头试验动物用随机分配法分配在正常饲料组和维生素E缺乏组，然后将试验动物杀死，测定其肝中的维生素A的含量，其结果如表41，试检验两组饲料对试验动物肝中维生素A含量的作用是否有显著差异,此题为配对数据，因两组饲料对试验动物肝中维生素A含量的作用轨大孰小，事先并不

31、明确，故用双尾检验。 （1）假设 H0： 即两组饲料对试验动物肝中维生素A含量的作用没有显著差异。 对HA： （2）确定显著水平 a=001；,（3）检验计算：,查附表3，当 df = 8 l = 7 时，t 0.01 = 3.499 t t 0.01 P0.01 （4）推断： 否定 H0 ,接受 HA，即两组饲料对试验动物肝中维生素 A 含量的作用有极显著差异，用正常饲料饲养的试验动物 肝中的维生素A含量显著高于维生素E缺乏组饲养的试验 动物肝中的维生素A含量。,第三节 样本频率的假设检验,一、一个样本频率的假设检验 二、两个样本频率的假设检验,在生物学研究中，有许多试验或调查结果是用频率（

32、或百分数、成数）表示的。 比如总体或样本中的个体分属两种属性如： 药剂处理后害虫的死与活 种子的发芽与不发芽 动物的雌与雄 试验的成功与失败,这些性状组成的总体通常服从二项分布，因此叫二项总体，即由“非此即彼”组成的总体。 有些总体中的个体有多个属性，但可根据研究目的经适当的统计处理分为“目标性状”和“非目标性状”两种属性，也可看作二项总体。,在二项总体中抽样，样本中的“此”性状出现的情况可用次数表示，也可用频率表示，因此频率的假设检验可按二项分布进行，即从二项式 的展开式中求出“此”性状频率 的概率，然后作出统计推断。 如果样本容量 n 较大，0.1P0.9时, np 和 nq 又均不小于5

33、， 的分布就趋于正态，因而可将频率资料作正态分布处理，从而作出近似的检验。,一、一个样本频率的假设检验,这是检验一个样本频率 与某一理论频率 0 的差异显著性。 根据 n 和 p 的大小，其检验方法是不一样的 ： 当 np 或 nq 5 , 则由二项式 展开式直接检验。 当 np 或 nq 5时，二项分布趋近正态，可用u 检验，但需进行连续性矫正。 如 np 或 nq 均大于30 时，则可不进行连续性矫正。,样本频率的标准误 为： 不矫正时的 u 值计算式为： 矫正时的u值计算式为： p时,取“一”号，在 p时,取“”号。,例4.10 有一批蔬菜种子的平均发芽率 p0 = 0.85，现随机抽取 500 粒，用种衣剂进行浸种处理，结果有445 粒发芽，试检验种衣剂对种子发芽有无效果。 本题中， p0 = 0.85 ，n = 500，由于 np 和 nq 都大于30，故不需进行连续性矫正。,(1)假设 H0： p = 0.85，即用种衣剂浸种后的发芽率仍为 0.85。 HA： p p0 （2）确定显著水