矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第三章条件平差-2521.ppt

1、矿业大学环境与测绘学院测绘工程测量平差第三章条件平差,由于r n，从（3-1-1）式不能计算出的唯一解，但可按最小二乘原理( )，求出的最或然值V，从而进一步计算观测量 的最或然值 （又称平差值）。,(3-1-4),将（3-1-1）式中的改写成其估值（最或然值）V，条件方程变为,(3-1-5),条件平差就是在满足r个条件方程条件下，求解满足最小二乘法（ ）的V值，在数学中就是求函数的条件极值问题。,一、条件平差原理,设在某个测量作业中，有n个观测值 ，均含有相互独立的偶然误差，相应的权阵为 ，改正数为 ，平差值为 ，表示为,式中， （i = 1,2,n）为各平差值条件方程式中的系数， 为各平差

2、值条件方程式中的常数项。 将（3-1-6）式代入(3-1-7)式，得相应的改正数条件方程式,(3-1-9),(3-1-17),将（3-1-19）式代入（3-1-14）或（3-1-15）式，可计算出V，再将V代入（3-1-6）,即可计算出所求的观测值的最或然值 。,通过观测值的平差值 ，可以进一步计算一些未知量（如待定点的高程、纵横坐标以及边的长度、某一方向的方位角等）的最或然值。,由上述推导可看出，K、V及 都是由（3-1-11）和（3-1-14）式解算出的，因此我们把（3-1-11）和(3-1-14)式合称为条件平差的基础方程。,二、精度评定,在第一个问题中已经阐述了计算未知量最或然值的原理

3、和公式，下面来论述测量平差的第二个任务,即评定测量成果的精度。精度评定包括单位权方差 和单位权中误差 的计算、平差值函数( )的协因数 及其中误差 的计算等。,在第二章中已经介绍过，当已知单位权方差 时，如果知道某量的权为p，则该量的方差为 在实际工作中，由于观测值的个数n是有限值，因此，只能求出 的估值 和 的估值 。则有,例如，已知观测值的平差值 的协因数阵 ，则 的协方差阵为,（2）由（3-1-14）和（3-1-11）式导出,式中等号右端第二项是与观测值无关的常数项阵，按协因数传播律，得Z的协因数阵为,整理后得,(3-1-29),由上式可见，平差值 与闭合差W、联系数K、改正数V是不相关

4、的统计量，又由于它们都是服从正态分布的向量，所以 与W、K、V也是相互独立的向量。,3平差值函数的协因数 在条件平差中，平差计算后，首先得到的是各个观测量的平差值。例如，水准网中的高差观测值的平差值，测角网中的观测角度的平差值，导线网中的角度观测值和各导线边长观测值的平差值等。而我们进行测量的目的，往往是要得到待定水准点的高程值、未知点的坐标值、三角网的边长值及方位角值等，并且评定其精度。这些值都是关于观测值平差值的函数。 设有平差值函数,(3-1-30),三、条件平差的计算步骤,综合以上所述，按条件平差的计算步骤可归结为以下几步： （1）根据实际问题，确定出总观测值的个数n、必要观测值的个数

5、t及多余观测个数r = n - t，进一步列出最或是值条件方程(3-1-10)或改正数条件方程（3-1-11）； （2）根据（3-1-16）式，组成法方程式； （3）依据（3-1-19）式计算出联系数K； （4）由（3-1-14）式计算出观测值改正数V；并依据（3-1-6）式计算出观测值的平差值；,（5）根据（3-1-23）和（3-1-24）计算单位权方差 和单位权中误差 ； （6）列出平差值函数关系式（3-1-30），并对其全微分，求出其线性函数的系数阵f，利用（3-1-34）式计算出平差值函数的协因数 ，代入（3-1-22）计算出平差值函数的协方差 。 为了检查平差计算的正确性，可以将平差

6、值 代入平差值条件方程式（3-1-10），看是否满足方程关系。,试用条件平差法，计算各观测值的平差值、PC方向的方位角TPC ，及TPC的精度 。,解：本题中n = 4，t = 3，则条件方程个数为 r = n t =1 。 因为是等精度观测，取观测值权阵,由 ，列出平差值条件方程的纯量形式,根据 ，写出法方程,由 ，计算各改正数,由 = + ，计算观测值平差值,由(3-1-24)式，计算单位权中误差,计算PC边的协因数,则PC边方位角的中误差为,3-2 高程网条件平差,一、高程网条件方程的个数及条件方程式,高程网包括水准网和三角高程网。对高程网进行条件平差时，一般以已知高程点的高程值作为起算

7、数据，以各测段的观测高差值作为独立观测值，写出其满足的条件关系式，按照条件平差的原理解算各高差值的改正数和平差值，然后再计算出各待求点的高程平差值，并进行精度评定。,进行条件平差时，首先要确定条件方程的个数。从上节内容可知道，在一般情况下，条件方程式的个数与多余观测的个数r相符。而要确定多余观测个数就必须先确定必要观测个数t。 高程测量（包括三角高程测量和水准测量）的主要目的是确定未知点的高程值。如图3-2所示高程网中，有2个已知高程点A、B，3个未知高程点C、D、E和8个高差观测值。从图中可以看出，要确定3个未知点的高程值，至少需要知道其中的3个高差观测值（如h1、h2、h3，或h6 、h7

8、 、h8 ，或h2、h4 、h5 等多种选择），即必要观测个数t = 3,则多余观测个数r = n t = 8 - 3 = 5，可以写出这5个条件方程式,相对应的改正数条件方程式形式,其中,这些条件方程式（或改正数条件方程式），大体上分为两类：其一是闭合路线情况，如条件方程式中前四个条件方程式，可称为闭合条件方程式；其二是附合路线情况，如条件方程式中第五个，反应的是从A点出发后测得的B点的高程值是否与B点的已知高程值相等的问题，可称为附合条件方程式。 再如图3-3所示高程网中，有4个已知高程点、4个未知高程点和8个高差观测值，即n = 8。则必要观测个数为t = 4，多余观测个数为r = n

9、t = 4。可以写出4个最或是值条件方程式或4个改正数条件方程式，其中有1个闭合条件方程式和3个附合条件方程式。,对应的改正数条件方程式为,其中,如果高程网中没有必要的起算数据（即没有已知高程点，如图3-4所示），就不存在某点高程值的已知值与计算值的矛盾，也就不存在附合条件方程式，只能写出有关的闭合条件方程式。为确定条件方程式个数或者多余观测个数，可将高程网中一个点的高程值假定为已知值，再按上文中所述方法操作。由此不难判断图3-4所示的高程网中有4个必要观测值，4个多余观测值，可写出4个闭合条件方程式,相对应的改正数条件方程式形式,其中,二、高程网平差举例,图3-5为一水准网，A、B为两个高程

10、已知点，C、D、E、F分别为待定点。已知高程值和高差观测值如表3-1中所示，计算各待定点的高程平差值。,解：水准网中总观测个数n = 8，必要观测数t = 4，多余观测r = n t = 4。 平差值条件方程式 为,改正数条件方程式 为,由条件方程得：,令C=1，观测值的权倒数：,3-3 导线网条件平差计算,一单一附合导线条件平差,导线网，包括单一附合导线、单一闭合导线和结点导线网，是目前较为常用的控制测量布设方式之一，其观测值有长度观测值和角度观测值。在本节中我们主要讨论单一导线的平差计算，先讨论单一附合导线问题。,如图3-6所示，在这个导线中有四个已知点、n -1个未知点、n+1个水平角观

11、测值和n条边长观测值，总观测值数为2n+1。从图中可以分析，要确定一个未知点的坐标，必须测一条导线边和一个水平角，即需要两个观测值；,要确定全部n -1个未知点，则需观测n -1个导线边和n -1个水平角，即必要观测值数t = 2n -2；则多余观测个数r = (2n +1) t = 3。也就是说，在单一附合导线中，只有三个条件方程。下面讨论其条件方程式及改正数条件方程式的写法。 设AB边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已知值为TCD、计算值为Tn+1,B点坐标的已知值为( , )或者(x1, y1)，C点坐标的已知值为( , )、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有一

12、个方位角附合条件、两个坐标附合条件。,1.方位角附合条件式,式中,其中Ti是第i边的近似坐标方位角,(3-3-7),则（3-3-6）式可表示为,上式代入（3-3-2）式，整理得,(3-3-9),综上所述，单一附合导线的平差计算的基本程序是： (1)计算各边近似方位角Ti和各点的近似坐标增量值xi、yi； (2)参照（3-3-4）写出方位角条件式，参照（3-3-9）、（3-3-10）、（3-3-11）、（3-3-12）或者（3-3-13）、（3-3-14）写出纵横坐标条件方程式； (3)按照条件平差计算的一般程序，计算最或是值并进行精度评定。,二单一闭合导线条件平差,单一闭合导线是单一附合导线的

13、特殊情况，只要将图3-6中的B和C、A和D分别重合，就可得到图3-7所示的闭合导线。 图中有一个已知点和n-1个待定点，观测了n个转折角和n+1条导线边。为了定向，还观测了一个连接角1。不难分析，闭合导线中也只有三个多余观测值，产生三个条件式。由于没有多余起算数据，因此没有附合条件，只有闭合条件，这一点是与单一附合导线不同的。,如果S、x、y以米为单位，w、vS、v以厘米为单位，则（3-3-20）和（3-3-21）两式可写为,三边角权的确定及单位权中误差,导线网中，既有角度又有边长，两者的量纲不同，观测精度一般情况下也不相等。在依据最小二乘法进行平差时，应合理地确定边角权之间的关系。为统一确定

14、角度和边长观测值的权，可以采用以下方法。,取角度观测值的权及中误差为：p、 ；取边长观测值的权及中误差为：pS、 ；取常数 ，则角度及边长观测值的权为,式中 以秒为单位，p无量纲。在实际计算边长的权时，为使边长观测值的权与角度观测值的权相差不至于过大，应合理选取测边中误差的单位，如果 的单位取为厘米，则pS的量纲为 / ；而在平差计算中， 的单位与改正数vS的单位要一致，均以厘米为单位。,(3-3-27),如前所述，由于在计算边角权时，通常取测角中误差作为单位权中误差（即m0 = m），所以在按（3-3-27）式算出的单位权中误差的同时，实际上也就计算出了测角中误差。测边中误差可按下式计算：,

15、(3-3-28),四例题,如图3-8所示，为一四等附合导线，测角中误差 = 2.5，测边所用测距仪的标称精度公式 = 5mm+5ppmD 。已知数据和观测值见表3-2。试按条件平差法对此导线进行平差，并评定2号点的点位精度。,表3-2,解： 未知导线点个数n 1 = 3，导线边数n = 4，观测角个数n + 1 = 5 近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表3-2中,表3-3,(1)组成改正数条件方程及第3点平差后坐标函数式 改正数条件方程闭合差项：,= 3.9,= -1.6 cm,= 1.7 cm,改正数条件方程,即,v1 + v2 + v3 + v4 + v5 3.9 = 0,0.

16、3868VS1 - 0.7857VS 2 - 0.0499VS 3 0.9959VS 4 1.8479V1 1.1887V2,- 0.7614V3 + 0.0857V4 + 1.6 = 0,0.9221VS1 +0.6186VS 2 + 0.9988VS 3 - 0.0906VS 4 1.2502V1 1.5267V2, 0.9840V3 0.9417V4 1.7 = 0,W= 3.9 -1.6 1.7 T,第3点平差后坐标函数式,全微分得,fx3 = 0.3868 0.7857 0 0 1.0865 0.4273 0 0 0 fy3 = 0.9221 0.6186 0 0 -0.2662 -

17、0.5427 0 0 0 ,(2)确定边角观测值的权,设单位权中误差,T,T,根据提供的标称精度公式 = 5 mm + 5ppmD计算测边中误差,根据(3-3-26)式，测角观测值的权为 P = 1； 为不使测边观测值的权与测角观测值的权相差过大，在计算测边观测值权时，取测边中误差和边长改正值的单位均为厘米（cm）。,( ),则可得观测值的权阵为,(3)组成法方程，计算联系数、改正数及观测值平差值，得,进一步计算各导线点的坐标平差值，得,1 (187966.644 , 29506889.663)； 2 (186847.270 , 29507771.048)； 3(186760.000, 295

18、09518.201),(4)精度评定 1）单位权中误差,2）点位中误差 权倒数：,点位中误差：,= 2.46 cm,3-4 三角网条件平差计算,三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程。因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。,如果测角三角

19、网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。 在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。,一、网中条件方程的个数,由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就

20、确定出了条件方程的个数。因此，问题的关键是判定必要观测数t。 1.网中有2个或2个以上已知点的情况 三角网中有2个或2 个以上已知三角点，就一定具备了4个必要起算数据。无论是测角网、测边网还是边角同测网，如果有2个已知点相邻，要确定一个未知点的坐标，需要观测两个观测值（2个角，或者1条边和1个角，或者2条边）。也就是说，确定1个未知点要有2个必要观测值；那么如果网中有p个未知点，必要观测数应等于未知点个数的两倍。,(3) 边角同测网 在图3-9中，如果三角网中的所有的角度值和所有的边长值都进行观测时： 总观测值个数： n = 37 必要观测数： t = 2 p =12 则多余观测数，即条件平差

21、条件方程个数： r = n t = 25,2. 网中已知点少于2个的情况 有些情况下，三角网中已知点可能少于2个，只有1个已知点、1个已知边和1个已知方位角，或者没有已知点和已知方位角只有1个已知边。,但是，不管怎样说，1条已知边是必须已知的，或者需要进行观测的。如果没有已知点，可以假定网中的1个未知点；如果没有已知方位角，可以取网中的1个方向的方位角为某一假定值。这样也就间接地等价于网中有2个相邻点的坐标是已知的。 (1) 测角网 三角网中共有p个三角点、1个已知方位角（也可以没有）、1个已知点（也可以没有已知点）和1个已知边长S（或者也是观测得到的），并观测了所有的角度。如果已知点和已知方

22、位角都没有，就要进行必要的假设。则在进行条件平差时，必要观测数为：,t = 2 ( p 2) (3-4-2),如图3-10所示，三角网中观测了所有角度值（如果没有已知边时，也观测1条边长作为起算数据）。 网中三角点个数： p = 6 角度观测值个数： n = 12 必要观测数： t = 2 ( p 2) = 8 则多余观测数,即条件平差条件方程个数:r = n t = 4,如图3-10所示，网中三角点个数：p = 6 如果是测边网，则 总观测值个数： n = 9 必要观测数： t = 2 ( p 2) +1=9 多余观测数,即条件平差条件方程个数:r = n t = 0,如果是边角同测网，则

23、总观测值个数： n = 21 必要观测数： t = 2 ( p 2) +1=9 多余观测数，即条件平差条件方程个数 : r = n t = 12 以上我们仅对几种三角网，讨论了条件平差时必要观测数及多余观测数和条件平差方程数的确定方法，还有很多情况没有涉及到。在实际平差计算中，应针对不同情况进行具体分析。,二、条件方程的形式,(3-4-4),三角网中的条件方程主要有以下几种形式： 1. 图形条件方程 图形条件，又叫三角形内角和条件，或三角形闭合差条件。在三角网中，一般对三角形的每个内角都进行了观测。根据平面几何知识，三角形的三个内角的平差值的和应为180，如图3-12中的三角形ABP，其内角平

24、差值的和应满足下述关系：,此即为三角形内角和条件方程。由于三角形是组成三角网的最基本的几何图形，因此，通常称三角形内角和条件为图形条件。因此图形条件也是三角网的最基本、最常见的条件方程形式。,2. 水平条件方程 水平条件，又称圆周条件，这种条件方程一般见于中点多边形中。如图3-12所示，在中点P上设观测站时，周围的五个角度都要观测。这五个观测值的平差值之和应等于360，即,3. 极条件方程 极条件是一种边长条件，一般见于中点多边形和大地四边形中。先看中点多边形的情况。如图3-12所示，中心P点为顶点，有五条边，从其中任一条边开始依次推算其它各边的长度，最后又回到起始边，则起始边长度的平差值应与

25、推算值的长度相等。 在图3-12所示的三角网中，我们应用正弦定理，以BP边为起算边，依次推算AP、EP、DP、CP，最后回到起算边BP、，得到下式,（3-4-10）式即为平差值的极条件方程。为得到其改正数条件方程形式，可用泰勒级数对上式左边展开并取至一次项：,在大地四边形中的极条件方程与中点多边形稍有不同。如图3-11所示，可以取D点为极点，以BD为起始边，依次推算AD、CD再回到BD边。仿照中点多边形的极条件方程，由正弦定理，得大地四边形的极条件平差值方程,4. 方位角条件方程 前面讨论的三种条件方程在三角网中比较常见。如果三角网中的起始数据有了变化，起算数据不相邻，或者已知数据有冗余，还会

26、增加一些限制条件，产生其它类型的条件方程，如方位角条件方程、边长条件方程、坐标条件方程等。这些类型的条件方程常见于非自由三角网中。,如图3-13所示，为一个非自由三角网，有4个已知点、2个未知点和12个角度观测值。必要观测个数t = 2 2 = 4，多余观测数r = n t = 12 - 4 = 8，即共有8个条件方程，其中图形条件方程有4个，没有极条件，也没有水平角条件，那么另4个是什么类型的呢？由于三角网中有4个已知点，每个已知点有2个坐标值，共计8个已知数据，超过了4个必要起算数据，从而产生4个冗余的已知数据。这4个多余的已知数据必然会导致4个矛盾，进而产生4个条件方程。,方位角条件，严

27、格地说是方位角附合条件，是指从一个已知方位角出发，推算至另一个已知方位角后，所得推算值应与原已知值相等。 如从4个已知点可以反算出AB和EF两边的边长值和方位角值，这些值也可看作是已知值，作为起算数据用。,5. 边长条件方程 边长条件，严格地说是边长附合条件，是指从一个已知边长出发，推算至另一个已知边长后，所得推算值应与原已知值相等。 图3-13三角网中，设AB边的已知长度为 ，EF边的已知长度为 。如果沿图中所示的推算路线，从AB向EF推算，得EF边长推算值的最或然值为 ，近似值为SEF 。则边长附合条件方程为,6. 坐标条件方程 坐标条件方程，是指从一个已知点出发，推算至另一个已知点后，所

28、得推算值应与该点的已知坐标值相等。 图3-13三角网中，设B点的已知坐标为（ ，）,E点的已知坐标为（ ， ）。如果沿图中所示的路线，从BCE进行推算，得E点坐标推算值的最或然值为（ ， ），近似值为(XE ,yE)。则坐标条件方程为,其中,(3-4-26),(3-4-27),(3-4-28),(3-4-29),将上述(3-4-26) (3-4-29)式代入(3-4-25)式，然后用泰勒级数展开，取至一次项，整理后得：,(3-4-30),为不使闭合差项wx过大，影响平差结果的精度，在计算坐标条件方程时，可以考虑x、y以公里（km）为单位，而wx中的坐标差项以米（m）为单位。即,坐标附合条件方程

29、，尤其是改正数条件方程，形式上虽然比较复杂，但也非常具有规律性。这一点，请同学们结合图3-13认真地分析，看能否总结出其概括形式。 以上八种条件方程及其改正数条件方程的类型和形式，基本上涵盖了测角型三角网条件方程的基本形式。需要说明的是，三角网布设形式极其多样，条件方程的形式也较为繁杂，但关键是要掌握其基本形式，并能融会贯通灵活运用。,三、例题,如图3-14是一个三角网，A、B、E、F是已知点，C、D是待定点，等精度观测了所有内角值，已知数据和观测数据如表3-4所示。试列出用条件平差法时的改正数条件方程。,表3-4,解：这是一个非自由测角三角网。 观测值总数 n = 12 必要观测数 t =

30、4 多余观测数 r = n t = 8 即，有8个条件方程，而网中共有：4个图形条件、4个坐标附合条件、1个方位角条件和1个边长附条件可选。由于坐标条件较为复杂，为计算方便，选4个图形条件、1个方位角条件、1个边长条件和2个坐标条件。运算线路如图中所示。 因为角度的观测精度相同，取Q = = E 首先，根据观测值，利用余切公式计算有关近似坐标：,C (181440.319 , 29503390.921) D (183084.184 , 29504111.735) E (181740.109 , 29505456.041),图形条件方程,方位角条件方程,边长条件方程,其改正数形式,纵横坐标条件方

31、程,T,T,T,计算改正数条件方程系数，并以矩阵形式表示为：,=-1.6 4.9 2.0 -6.7 2.4 -0.6 -4.3 4.9 1.9 0.9 10.4 -3.3,T,3-5 附有参数的条件平差,一、平差原理,用和 的估值v和 代替，则附有参数的条件平差法的平差值条件方程及改正数条件方程分别为,为求的极小值，将分别对V和求一阶导数，并令其为零,(3-5-14),则,(3-5-15),即可直接计算出观测值的改正数V。 再由 ， 分别计算出观测值平差值和非观测量的最或是值。,二、精度评定,(3-1-17),写出有关协因数阵：,（3-5-19）,（3-5-20）,（3-5-21）,（3-5-

32、22）,3. 平差值函数中误差计算 同条件平差一样，在附有参数的条件平差中，要评定一个量的精度，首先要将该量表达成关于观测量平差值和参数平差值的函数形式，再依据协因数传播律，计算该量的协因数，最后计算出其方差或中误差。,设:平差后一个量关于观测值与参数平差值的函数为,(3-5-23),对其全微分，得权函数式,(3-5-24),其中,式中、等，均可参照(3-5-19)、(3-5-20)、(3-5-21)、(3-5-22)等式计算。 函数的中误差为,三、例题,例3-2 如图3-15 所示三角网，A，B为已知点，其坐标为A (1000.00,0.00)，B(1000.00,1732.00)(单位：m

33、)，BD边的边长为 S BD = 1000.0 m。各角值均为等精度观测（取Q LL = E ），观测值分别为：,L 1 = 600003 L 2 = 600002 L 3 = 600004 L 4 = 595957 L 5 = 595956 L 6 = 595959,取BAD的最或是值为未知数 。 试用附有参数的条件平差法对该网进行平差，并求CAB平差后最或是值的中误差。,解：本题中，总观测数n=6，必要观测数t=4，多余已知值p=1，附加一个未知参数u=1， 则 r = n+p t = 3，c = n + u r = 4 可以写出图形条件2个、极条件1个、固定边条件1个，分列出最或是值条件

34、方程如下：,取 ，由固定边条件可计算其近似值 = 300000,将最或是值条件方程中的非线性式线性化，并计算出改正数条件方程：,T,T,3-6 条件平差估值的统计性质,一、观测量平差值 具有无偏性,在条件平差中，根据最小二乘原理，求出了平差值（观测量的最或然值） 和单位权中误差 。本节我们用数理统计理论来讨论这些平差结果的统计性质,根据（3-1-6）、（3-1-14）和（3-1-19）式，得,二、观测值平差值的方差最小（有效性）,根据矩阵的迹的定义，要证明 具有最小方差，需要证明平差值方差的迹tr( )为最小即可。而根据方差的定义 ，也可以证明平差值协因数阵的迹tr( )为最小，即,为此，仿照

35、平差值表达式,另设函数：,(3-6-3),(3-6-7),其中,三、单位权方差的无偏性,由于( )和(AQ)都是方阵，根据矩阵的迹的性质，有： tr( ) = tr( ) = tr( ) = r 上式代入（3-6-15）式后，根据单位权中误差的计算公式，得,3-7 习 题,3.1 如图3.1所示水准网，A、B两点为高程已知，各观测高差及路线长度如表3.1所列。用条件平差法计算求知点的高程平差值及p2和p3之间平差后高差值的中误差。,表3.1,1.解 n=7,t=3,r=n-t=4.平差值条件方程为：,改正数条件方程为：,令C=1，观测值的权倒数为：,得：,下面求平差后,的中误差：,中误差为,利

36、用Matlab编写上题的代码为：（%后的内容为注释部分） clear%清除内存中的变量 A=-1 1 0 0 -1 0 0;0 0 0 0 1 1 -1;0 0 1 -1 0 -1 0;1 0 -1 0 0 0 0, a=1 1 2 2 1 1 2; Q=diag(a),%生成对角矩阵Q P=inv(Q),%inv()为矩阵求逆运算 W=7;-7;-3;4; N=A*Q*A,%A表示A的转置 K=inv(N)*W, V=Q*A*K, f=0;0;0;0;1;1;0; sigma=sqrt(V*P*V),%sqrt()为开根号运算 Qff=f*Q*f-f*Q*A*inv(N)*A*Q*f,3.2

37、 图3.2中所示的中点三边形，其内角观测值为等精度独立观测值（如表3.2所示），计算各观测角值的平差值及CD边长平差后的相对中误差,表3.2,2.解n=9,t=4.r=n-t=5.即5个条件方程， 选取网中3个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。 个图形条件方程为：,一个圆周条件方程为：,一个极条件方程为：,其改正数形式为：,将以上改正数条件方程写成矩阵形式为：AV-W=0,P为单位阵。N=AQAT,K=N-1W,两边取全微分得：,可求得该平差值函数的方差,CD边相对中误差为,3.3 如图3.3所示单一附合导线，起算数据和观测值如表3.3所示，测角中误差为3，测边标称精度为(5+5*10-6D

38、)mm，按条件平差法计算各导线点的坐标平差值，并评定3点平差后的点位精度。,表3.3,3.3.解 观测值个数n=9，必要观测数t=2*3=6, 多余观测数r=n-t=3.可以列出一个方位角附合条件 和两个坐标附合条件。解题过程如下。 (1)近似计算各个导线边的方位角和导线点的坐标 列于下表。,改正数条件方程,(2)组成改正数条件方程及第3点平差后坐标函数式改正数条件方程闭合差项：,W= 5.4 -4.9 -2.9 T,即 v1 + v2 + v3 + v4 + v5 5.4 = 0 0.9470vS1 + 0.2328vS2 -+0.9036vS3 0.5053vS 4 1.2440v1 1.4976v2 - 0.8878v3 -0.5012v4 + 4.9 = 0 -0.3212vS1 +0.9725vS 2 + 0.4284vS 3 +0.8632vS4 +1.0624v1+0.3147v2 +0.1687v3 0.3699v4 +2.9 = 0,fx3 = 0.9470 0.2328 0 0 -0.3562 -0.6099 0 0 0 T fy3 = -0.3212 0.9725 0 0 0.8936 0.1460 0 0 0 T,全微分得,第3点平差后坐标函数式,= 5 mm + 5ppmDk