切线的判定与性质

1、相离,相切,相交,dr,d=r,dr,d,r,d,r,d,r,没有公共点,唯一的公共点,两个公共点,位置关系,交点个数,数量关系,直线和圆的位置关系有几种？,用数量关系如何来判断？,判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?,1、 和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。,2、 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。,、切线和圆只有一个公共点。,、圆心到切线的距离等于半径。,切线具有什么性质？,定义法：,数量法（d=r ）：,问题:如图，在O中，经过半径OA的外端点A作直线l OA ，则直线l与O的位置关系怎样？为什么？,l,A,O,d,r,条件一：直线l 经过半径OA 的外端点A,条

2、件二：直线l 垂直于半径OA,d = r,相切,切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,O,l,A, OAl l是O的切线。,几何符号表达：,切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,OA是半径，,于A,判 断,1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）,利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。,判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?,有以下三种方法:,归纳,切线的判定方法

3、,1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 2、数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。 3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出,1. 当你在下雨天快速转动雨伞时,水滴顺着伞的什么方向飞出去的？ 2. 砂轮打磨零件时,溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的?,生活中的数学,改变切线判定定理的题设与结论 如果直线l是O的切线，切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？,切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径。,O,l,思考？,A,直线l切O于点，

4、,l,几何符号表达：,、圆的切线和圆只有一个公共点。,、圆心到切线的距离等于半径。,、圆的切线垂直于过切点的半径。,切线的性质,归纳,如图，AB是O的直径，直线l1、l2是O的切线，A、B是切点,直线l1、l2有怎样的位置关系？,证明:, l1是O切线，l2是O切线，,小试牛刀：,例1,已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB， CA=CB。 求证：直线AB是O的切线。,O,B,A,C,分析：由于AB过O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可。,证明：连接OC(如图)。 OAOB,CACB, OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。 ABOC。 AB是O的切线。,例2,已知：O为BA

5、C平分线上一点，ODAB于D,以O为圆心，OD为 半径作O。 求证：O与AC相切。,O,A,B,C,D,证明：过O作OEAC于E。 AO平分BAC，ODAB, OEAC OEOD OD是O的半径 AC是O的切线。,小 结,例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线与圆有公共点,则连接这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：有交点,连半径,证垂直。用判定定理证。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：无交点,作垂直,证半径。用数量法（d=r）证。,连接OC （交点C已给出）,过O作OEAC 于E（交点

6、E未给出）,E,1、如图，AOB中，OAOB10，AOB120，以O为圆心，5为半径的O与OA、OB相交。 求证：AB是O的切线。,O,B,A,2、如图,ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交边BC于P， PEAC于E。 求证:PE是O的切线。,无交点,作垂直,证半径。,有交点,连半径,证垂直,1、如图，AOB中，OAOB10，AOB120，以O为圆心，5为半径的O与OA、OB相交。 求证：AB是O的切线。,O,B,A,无交点,作垂直,证半径。,证明：过O作OCAB于C OAOB, OCAB 。 在RtAOC中, A 30, OA10 OC=5。 又 O的半径为5 PE为0的切线。,AOC=

7、 AOB 60 。,证明：连接OP。 AB=AC,B=C。 OB=OP，B=OPB， OBP=C。 OPAC。 PEAC， PEOP。 PE为0的切线。,2、如图,ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交边BC于P， PEAC于E。 求证:PE是O的切线。,O,A,B,C,E,P,有交点,连半径,证垂直,如图CB是O的切线,C是切点,OB交O于D, B30, OB =6cm,求BC,例3,解：连接OC, CB切O于C, OC BC。,在RtBOC中,B30,OB6, OC=3。,注：在已知圆的切线时，常 连接过切点的半径,如图，在直角梯形ABCD中，B=90，ADBC, C= 30 ，AD=1，AB=2. 试猜想在BC是否存在一点P，使得P与线段CD、AB都相切。如存在，请确定P的