二元多项式环

1、二元多项式环李蕊彤（数学与统计学院 2012级函授数学与应用数学）摘要 本文讨论了二元多项式的概念、运算及其矩阵表示方式，并由其矩阵表示方式证明了交换环上的二元多项式关于定义的加法、乘法构成了一个含幺交换环，并利用以上结论讨论了二元多项式的一些性质.关键词 二元多项式， 矩阵， 交换环一、引言多项式是代数学中所研究的基本对象之一,它不但与高次方程的讨论有关,而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也都会碰到.但我们以前在初高中阶段对多项式的讨论,主要局限在一元多项式.随着数学的发展，多元多项式的研究也在不断深入.同时随着代数学的发展，群环域的概念应运而生将多项式的研究推向更高的方向.矩阵是高等代

2、数中的一个非常重要的工具，它在数学的各个方面都有很重要的用处.由此,我们利用矩阵这一工具，通过适当的定义，讨论了二元多项式，及二元多项式环，并讨论了二元多项式的一些性质.在本文中,二元多项式环集中的讨论了二元多项式的加法与乘法，通过矩阵这一工具给二元多项式以新的表达形式，并根据多项式的加法乘法发展出二元多项式矩阵间的针对于多项式的加法与乘法，根据给出的加法和乘法验证了二元多项式可以构成一个环.二、二元多项式环1.二元多项式的定义及矩阵表示定义2.1 设是一个交换环,是两个文字.形式称为环上的一个单项式，称为这个单项式的系数.当时，称此单项式中各文字的指数之和为这个单项式的次数.若两个单项式中相

3、同文字的指数对应相等，则称它们为同类项.即单项式和为同类项当且仅当.如果中一项为0 ，那么或可以不写，约定.因此，1个文字的单项式总可以看成2个文字的单项式. 特别，当时，我们有.我们还约定，.一些（有限个）单项式用加号联结起来而得到的一个形式表达式（1）是非负整数，叫做上文字对应的 的一个多项式，或简称上一个二元多项式.用符号等来表示上的多项式.在一个二元多项式（1）里，组成这个多项式的单项式叫做这个多项式的项.各项的系数也叫做这个多项式的系数.二元多项式中系数不为零的单项式的最高次数称为这个多项式的次数.设为一个二元多项式，则，其中为一个行列的矩阵，其中的元素为二元多项式的每一项的系数，其

4、对应关系为：的系数处于矩阵的第行第列.由上述对应关系可见一个二元多项式总可以和一个矩阵一一对应，因此即可将一个二元多项式对应的矩阵称为这个多项式的矩阵.由二元多项式的定义可见，对于一个二元多项式总可以在其后添加若干个零，使得，其中若或，.即对于一个二元多项式的矩阵而言，若其行数与列数不相等（非方阵），总可以给其添上若干行或若干列零，使其变为方阵，所得的方阵仍是原二元多项式所对应的矩阵.以后为了叙述简单起见，我们对所有二元多项式对应的非方阵的矩阵做如上处理，使之成为方阵，以简化推理和叙述.2 二元多项式的运算、及其矩阵表达二元多项式的运算定义如下：加法：P上两个二元多项式，的和指的是把分别出现在

5、这两个多项式中对应的同类项的系数相加所得到的二元多项式，记作f + g.即设，则，其中，若.数乘： P上一个二元多项式和P上一个数的乘积指的是把这个数乘在多项式的每个项的系数上，即设，则.乘法：为了定义两个多项式的乘积，先定义两个单项式的乘积.P上两个二元单项式与的积指的是单项式.设f与g都是P上的多项式把f的每一项与g的每一项相乘，然后把这些乘积相加（合并同类项）而得到的一个二元多项式叫做f与g的积，记作 fg .即设，则，其中， .3.二元多项式环由于二元多项式可以由矩阵表示，则其运算亦可由矩阵表示，现定义其运算的矩阵表示如下：定义2.2 设为两个二元多项式的矩阵，不妨设，则此两个矩阵对应

6、二元多项式的和所对应的矩阵为，其中.定义2.3设为两个二元多项式的矩阵，则此两个矩阵对应二元多项式的积所对应的矩阵为，其中且.定义2.4设为一个二元多项式的矩阵，,则此矩阵对应的二元多项式与数的数乘所对应的矩阵为，其中.以上定义了二元多项式的运算的矩阵表示形式，下面我们利用这些表示方式探讨这些运算的性质.定理2.1 二元多项式的加法满足交换律.证明 由定义2.2可见两者的和中的元素均为中数的加法，由为一交换环，其上的加法满足交换律，故二元多项式定义的加法满足交换律.定理2.2 二元多项式的加法满足结合律.证明 由定义2.2可见两者的和中的元素均为中数的加法，由为一交换环，其上的加法满足结合律，

7、故定义的加法满足结合律.定理2.3 二元多项式的乘法满足交换律.证明 由定义2.3可见两者的积中的元素均为中数的乘法，由为一交换环，其上的乘法满足结合律，故定义的乘法满足交换律.定理2.4 二元多项式的乘法满足结合律.证明 设为三个二元多项式的矩阵，则，其中，其中;，其中，其中;由此可见在此乘法下，二元多项式满足结合律.定理2.5 二元多项式的乘法满足左分配律.证明 设为三个二元多项式的矩阵，则，其中，而，故左分配律成立由于乘法满足交换律，故右分配律也成立.可见在二元多项式中有如下两个特殊二元多项式：0多项式，即其每项的系数均为零，记为；幺多项式，即数1，记为.将上文字二元多项式的全体记作，可

8、见其关于上述定义的加法、乘法封闭，而且关于加法满足交换律、结合律，关于乘法满足结合律、交换律，乘法对加法有分配律，以0多项式为零元，以幺多项式为幺元，综合以上，我们可以得到：定理2.6 上文字二元多项式的全体关于多项式的加法和多项式的乘法构成一个含幺交换环.三、二元多项式的性质1.二元多项式的字典排列法及相关性质任取二元多项式中的两个单项式，与，若或且时，称先于，记作，则在多项式中把写在前面，此排法为字典排列法.按字典排列法写出来的第一个系数不为零的单项式称为多项式的首项.定理3.1 当，时，、的积的首项等于的首项与的首项的积.证明 设为、这两个二元多项式的矩阵，两个矩阵对应二元多项式的积所对

9、应的矩阵为，由二元多项式的字典排列法可知的首项对应的系数为，的首项对应的系数为，、的积的首项对应的系数为，由多项式的乘法可知，由，可知，故结论成立定理3.2 数环上两个不等于零的二元多项式的乘积的次数等于这两个多项式的次数的和.证明 由多项式乘积的矩阵做法可知.2.二元多项式与二元多项式函数的关系定义3.1 给定数环上的一个二元多项式和里的任意两个数，在中，把用来代替，就得到数环的一个确定的数，称为时，二元多项式的值；可用符号来表示。若，那么数组叫做的一个零点.定义3.2 设是一个含幺的数环，给定数环上的一个二元多项式，定义一个函数，使得.将此函数称为由多项式所确定的多项式函数.可见中任意元素

10、，就是多项式在时的值. 有了上述定义，我们就可以讨论多项式函数与多项式之间的关系.定理3.3 设是数环上一个二元多项式，如果对于任意，都有，那么.证明 对于一元多项式时，此结论成立.设是数环上一个二元多项式，将含有同一次幂的放在一起，将的幂提到括号外边，那么可以写成如下形式：，这里，任取，在这每一个里，以代替，可得上的多项式.由上可见,对于任意，都有，那么取任意有.由一元多项式的结论可知，即.由于可以取遍中一切元素，可得，从而.推论3.4 设P上两个二元多项式，如果对于任意都有，那么.证明 令,由题设条件，对于任意，有，由上可知，即. 对于二元多项式而言，它的大部分结论都符合n元多项式的结论，由于其可用矩阵表示这一特殊性，给它带了更丰富的讨论方法和特有结论，但由于本人研究的时间较短，基础知识储备较少，得到的结论较少，还有待继续研究.参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）M.高等教育出版社,1988.2 刘仲奎等. 高等代数M. 北京: 高等教育出版社,2003. 3 张禾瑞，郝铟新. 高等数学M. 高等教育出版社,