第5章_线性代数

1、小行星轨道计算 数值矩阵运算 特征值问题及应用 符号矩阵运算,第5章 线性代数,例1.小行星轨道问题,观察一颗绕太阳运行的小行星,测得坐标数据,a1xj2 + 2a2xjyj + a3 yj2 +2a4 xj + 2a5 yj + 1 = 0,轨道方程,( j = 1, 2, 3, 4, 5 ),a1 = ? a2 = ? a3 = ? a4 = ? a5 = ?,%-解方程组确定行星轨道 X=4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756; Y=0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265; A=X.*X,2*X.*Y,Y.*Y,2*X,2*Y;

2、 b=-1;-1;-1;-1;-1;,z=Ab; a1=z(1);a2=z(2);a3=z(3);a4=z(4);a5=z(5); syms x y F=a1*x2+2*a2*x*y+a3*y2+2*a4*x+2*a5*y+1; ezplot(F,-1,6.5,-1.5,6) hold on,plot(X,Y,ro),程序文件 mlab41.m,1. 矩阵运算一,(1) +，*，/，,(2) .*，./，.，.,注意：这四类运算表示对矩阵元素作对应运算。例如： A=1,2;3,4，则：,注意：,2、矩阵运算二,(2)矩阵的逆：inv(A) (3)矩阵的初等行变换：rref(A) (4)矩阵的秩

3、：rank(A),3、矩阵的转置、翻转与重塑,(1)矩阵转置: B = A (2)矩阵翻转: fliplr(A) 左右翻转 flipud(A) 上下翻转 (3)矩阵重塑：reshape(A,m,n),(1)矩阵的行列式：det(A),eig(A)只返回特征值 P,D=eig(A)：P保存特征向量，D保存特征值,例2. 简单迁移模型:每年A镇的人口10%迁往B镇; B镇的人口15%迁往A镇. 模型如下,A=0.9,0.15;0.1,0.85; P,D=eig(A),4、矩阵的特征值和特征向量,(1) 如何求出 n 年以后的人口分布？ (2) 当 n 趋于无穷大时, 人口分布如何？ (3) 与特征

4、值问题有无联系?,根据数学模型研究问题:,A=0.9,0.15;0.1,0.85; P,D=eig(A); alpha=P(:,1); q1=alpha(1)/sum(alpha) q2=alpha(2)/sum(alpha),q1 = 0.6000 q2 = 0.4000,例3. 对称正定矩阵线性变换实验,t=0:0.1:6.3;x=cos(t);y=sin(t); A=0.9,0.1;0.1,0.9; z=A*x;y;u=z(1,:);v=z(2,:); plot(x,y),axis equal figure,plot(u,v) Dmax=max(sqrt(u.2+v.2) Dmin=mi

5、n(sqrt(u.2+v.2) D=eig(A),Dmax = 1.0000 Dmin = 0.8000,D = 0.8000 1.0000,思考题:如果A是非对称矩阵是否仍有类似结果?,程序文件 mlab43.m,四、符号矩阵运算,1、符号矩阵的四则运算 符号矩阵的四则运算与幂运算可直接用：+、*、.*、/、./、.、.实现。, B=sym(a,b;c,d); C=sym(x,y;z,w); B*C ans = a*x+b*z, a*y+b*w c*x+d*z, c*y+d*w,2、符号矩阵的其他运算,(1)转置运算：transpose, B=sym(a,b;c,d); B conj(a),

6、 conj(c) conj(b), conj(d) transpose(B) a, c b, d,(2)行列式运算：det(A),(3)求逆运算：inv(A)或A(-1),(4)求秩运算：rank(A),(5)求特征值运算：V,D=eig(A), A=sym(1,2;3,4) eig(A) ans = 5/2+1/2*33(1/2) 5/2-1/2*33(1/2),(6)奇异值运算：svd(A), A=1,2;3,4; svd(A) ans = 5.4650 0.3660 sqrt(eig(A*A) ans = 0.3660 5.4650,(7)约当标准型运算：B,C=jordan(A),3、

7、符号代数线性方程(组)的求解, f=a*x2+b*x+c; solve(f) ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2), g1=x+y+z-1;g2=x-y+z-2;g3=2*x-y-z-1; x,y,z=solve(g1,g2,g3) x = 2/3 y = -1/2 z = 5/6,如何将椭圆方程 a1x2 + 2a2x y + a3 y2 + d = 0 化为标准方程? 说明三角形面积公式的根据,思考题与练习题,3. 二阶对称正定矩阵A将单位圆变换为椭圆,椭圆的长半轴是否是A的最大特征值？给出证明. 4. 二阶非奇异矩阵A将单位圆变换为椭圆,椭圆的长半轴是否是A的最大奇异值？给出证明.,6、试构造符号矩阵，练习四则运算与幂运算，练习常用函数。练习符号方程(组)的求解。 7、设有向量a=1,2,3,b=4,5,6,c