第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律.ppt

1、1,热学,第三章,气体分子热运动速率和能量的统计分布律,2,热学,1. 气体分子的速率分布律,一、速率分布函数,分子速率分布图,：分子总数,分子速率分布图,3,热学,为速率在 区间的分子数.,表示速率在 区间的分子数占总数的百分比 .,分布函数,4,热学,表示速率在 区间的分子数占总分子数的百分比 .,归一化条件,速率位于 内分子数,5,热学,速率位于 区间的分子数,速率位于 区间的分子数占总数的百分比,二、麦克斯韦速率分布函数,麦氏分布函数,6,热学,反映理想气体在热动 平衡条件下，各速率区间 分子数占总分子数的百分 比的规律 .,三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值,三种统计速率,（1）最概

2、然速率,7,热学,根据分布函数求得,2）平均速率,8,热学,3）方均根速率,9,热学,10,热学,11,热学,麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831-1879),麦克斯韦是19世纪伟大的英国物理学家、数学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡，自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习，1854年以第二名的成绩获史密斯奖学金，毕业留校任职两年。1856年

3、在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。,12,热学,麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831-1879),1861年选为伦敦皇家学会会员。1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著论电和磁，并于1873年出版，1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。 麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论

4、，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。 麦克斯韦大约于1855年开始研究电磁学，在潜心研究了法拉第关于电磁学方面的新理论和思想之后，坚信法拉第的新理论包含着真理。于是他抱着给法拉第的理论“提供数学方法基础”的愿望，决心把法拉第的天才思想以清晰准确的数学形式表示出来。他在前人成就的基础上，对整个电磁现象作了系统、全面的研究，,13,热学,麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831-1879),凭借他高深的数学造诣和丰富的想象力接连发表了电磁场理论的三篇论文：论法拉第的力线（1855年12 月至1856年2月）；论物理的力线（

5、1861至1862年）；电磁场的动力学理论（1864年12月8日）。对前人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称、完美数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典电动力学主要基础的麦克斯韦方程组。据此，1865年他预言了电磁波的存在，电磁波只可能是横波，并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出结论：光是电磁波的一种形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。1888年德国物理学家赫兹用实验验证了电磁波的存在。麦克斯韦于1873年出版了科学名著电磁理论。系统、全面、完美地阐述了电磁场理论。这一理论成为经典物理学的重要支柱之一。在热力学与统计物理学方面麦克斯韦也作出了重要贡献，他是气

6、体动理论的创始人之一。1859年他首次用统计规律麦克斯韦速度分布律，从而找到了由微观两求统计平均值的更确切的途径。1866年他给出了分子按速度的分布函数的新推导方法，这种方法是以分析正向和反向碰撞为基础的。,14,热学,麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831-1879),他引入了迟豫时间的概念，发展了一般形式的输运理论，并把它应用于扩散、热传导和气体内摩擦过程。1867年引入了“统计力学”这个术语。麦克斯韦是运用数学工具分析物理问题和精确地表述科学思想的大师，他非常重视实验，由他负责建立起来的卡文迪什实验室，在他和以后几位主任的领导下，发展成为举世闻名的学术中心之一。他善于

7、从实验出发，经过敏锐的观察思考，应用娴熟的数学技巧，从缜密的分析和推理，大胆地提出有实验基础的假设，建立新的理论，再使理论及其预言的结论接受实验检验，逐渐完善，形成系统、完整的理论。特别是汤姆孙W卓有成效地运用类比的方法使麦克斯韦深受启示，使他成为建立各种模型来类比研究不同物理现象的能手。在他的电磁场理论的三篇论文中多次使用了类比研究方法，寻找到了不同现象之间的联系，从而逐步揭示了科学真理。 麦克斯韦严谨的科学态度和科学研究方法是人类极其宝贵的精神财富。,15,热学,麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念 下面哪种表述正确？ （A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） 是速率最大的速度

8、值. （C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值. （D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.,16,热学,例 计算在 时，氢气和氧气分子的方均根速率 .,氢气分子,氧气分子,17,热学,例 已知分子数 ，分子质量 ，分布函数 求 1） 速率在 间的分子数； 2）速率 在 间所有分子动能之和 .,速率在 间的分子数,2）,1）,18,热学,例 如图示两条 曲线分别表示氢气和 氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图 上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .,19,热学,( n为分子数密度),说明下列各量的物理意义：,？,思考题,20,热学,解：, 分布在速率 v 附近 v v +

9、dv 速率区间内的分子数占总分子数的比率。, 分布在速率 v 附近 v v + dv 速率区间内的分子数。, 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v v + dv 速率区间内的分子数。,21,热学, 分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分子数的比率。, 分布在有限速率区间 v1 v2 内的分子数。, 分布在 0 速率区间内的分子数占总分子数的比率。（ 归一化条件）, v2 的平均值。,22,热学,四、麦克斯韦速度分布律,设总分子数N，速度分量区间 vx vx+dvx ， 该速度分量区间内分子数 dNvx,速度分量分布函数,同理对 y、z 分量,23,热学,速度在区间 vx vx+d

10、vx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvz,同理对 y、z 分量，故平均速度为零,24,热学,麦克斯韦速度分布函数,25,热学,五、误差函数,26,热学,27,热学,六、统计规律性和涨落现象,什么是统计规律性(statistical regularity),大量偶然性从整体上所体现出来的必然性,例. 扔硬币,对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法 .,28,热学,从入口投入小球,与钉碰撞,落入狭槽,为清楚起见 , 从正面来观察。,( 偶然 ),隔板,铁钉,统计规律和方法 伽尔顿板,29,热学,大量偶然事件整体所遵循的规律 统计规律。,再投入小球：,经一定段

11、时间后 , 大量小球落入狭槽。,分布情况：,中间多，两边少。,重复几次 ，结果相似。,单个小球运动是随机的 ,大量小球运动分布是确定的。,统计规律和方法 伽尔顿板,小球数按空间 位置 分布曲线,30,热学,统计的基本概念,1. 概率,如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。,概率的性质:,(1) 概率取值域为, 统计规律特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义. （2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变). (3) 大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。,31,热学,(2) 各种可能发生的事件的概率总和等于1.,几率归一化条件,(3) 二互斥事件的概

12、率等于分事件概率之和,(4) 二相容事件的概率等于分事件概率之积,32,热学,2. 概率分布函数,随机变量,在一定条件下, 变量以确定的概率取各种不相同的值。,1. 离散型随机变量,取值有限、分立,表示方式,2. 连续型随机变量,取值无限、连续,33,热学,随机变量X的概率密度,变量取值在xx+dx间隔内的概率,概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。,又称为概率分布函数（简称分布函数）。,34,热学,3. 统计平均值,算术平均值为,统计平均值为,对于离散型随机变量,随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值 乘积的总和。,对于连续型随机变量,统计平均值为,35,热学,“涨落

13、”现象,-测量值与统计值之间总有偏离,处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样， 分子数越多，涨落就越小。,布朗运动是可观测的涨落现象之一。,36,热学,可以证明 在粒子数可自由出入的某空间范围内的粒子数的相对涨落反比于系统中粒子数N的平方根。,粒子数越少，涨落现象越明显。,应用：,小镜子的小角度振荡 涨落电流的热噪声,37,热学,2. 用分子射线实验验证,麦克斯韦速度分布律,测定气体分子速率分布的实验,38,热学,39,热学,40,热学,奥地利物理学家 玻耳茨曼,（1844-1906）,41,热学,若气体分子处于恒定的外力场（如重力

14、场）中,气体分子分布规律如何,一 、 玻尔兹曼分布律,3. 玻尔兹曼分布律 重力,场中微粒按高度的分布,42,热学,如气体分子处于外力场中，分子能量 E = Ep+ Ek,在麦克斯韦速度分布律中，,因子,理想气体分子仅有动能,麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布,43,热学,玻尔兹曼将麦氏分布推广为：,在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子（经典粒子）按能量分布都与 成正比。,经典粒子按能量的分布函数为：,麦克斯韦玻尔兹曼分布,（MB分布）,44,热学,外力场中，粒子分布不仅按速率区vv+dv间分布，还应按位置区间xx+dx、 yy+dy、 zz+dz分布,该区间内的粒子数为

15、：,玻尔兹曼分布律,对速度区间积分可得分布在位置区间的分子数为：,+,45,热学,则分子数密度,粒子数按势能分布,为势能等于零处的分子数密度,+,46,热学,按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只能取一系列分立值E1 ,E2 ,Ei ,EN,处于Ei状态的粒子数,对于两个任意能级,在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。,粒子数分布服从玻尔兹曼分布,47,热学,为准确描述玻耳兹曼统计，引入一概念 - 微观状态,微观状态：一气体分子处于速度区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ，vz vz+dvz ，位置区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz，称该 分子处于一种微观状态

16、, dvx dvy dvz dxdydz 所 定的区域称为状态区间。,48,热学,玻耳兹曼统计：温度T 的平衡状态下，任何系统的 微观粒子按状态的分布，即在某一 状态区间的粒子数与该 状态区间的 一个粒子的能量 E有关，而且与 e -E /kT 成正比。,玻耳兹曼因子,其它情形，如原子 处于不同能级的 原子数目,49,热学,二、重力场中粒子按高度的分布,代入上式，归一化,分子数 dN 处于位置区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz,令 Ep =0 处 气体密度 n0,重力场中的气体分子按位置分布,50,热学,由气体状态方程,式中P0为n=0处的大气压强，P为h处的大气压强，m是大气分子

17、质量。,51,热学,大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）,两边取对数,测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。,52,热学,恒温气压公式（高度计）,设温度不随高度变化 P = P0 e - gh /RT,根据压强变化测高度，实际温度也随高度变化， 测大气温度有一定的范围，是近似测量。,53,热学,例 氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级E2=-3.4eV，求出在室温T=270C时原子处于第一激发态与基态的数目比。,解：,在室温下，氢原子几乎都处于基态。,54,热学,4. 能量按自由度均分定理,一、自由度,单原子分子平均能量,55,热学,刚性双原子分子,平均平动动能,分子平均转动动能,56,热学,分子平均能量,分子平均振动能量,