2015年广东高考理科数学108分达标大题练习4

1、 2015年广东高考理科数学108分大题达标练习（4）2015.5.29 班别：_ 姓名：_ 学号：_ 成绩：_一、解答题：本大题共4小题，满分52分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤1.(本小题满分12分)已知函数(,)的最小正周期为.() 求；xyO1图3() 在图给定的平面直角坐标系中,画出函数在区间上的图像,并根据图象写出其在上的单调递减区间.17.(本小题满分12分)某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年月份(天)的空气质量指数()(单位:)资料如下:2014年11月份AQI数据日期12345678910AQ

2、I895552871247265264648日期11121314151617181920AQI583663788997747890117日期21222324252627282930AQI1371397763637764655545表120400.0100.0050.0150.0200.02560801001201402013年11月份AQI数据频率分布直方图图42014年11月份AQI数据频率分布直方图20400.0100.0050.0150.0200.0256080100120140图5分组频数频率2014年11月份AQI数据频率分布表表2() 请填好年月份数据的频率分布表并完成频率分布直方

3、图；() 该地区环保部门年月日发布的月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了多个百分点”(当时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点?18.(本小题满分14分)PABCDM图6如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且().() 求证:为直角三角形；() 试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为.19.(本小题满分14分)数列的前项和为，已知，().() 求；() 求数列的通项；()设,数列的前项和为,证明:(). 2015年广东高考理科数学108分大题达标练习（4）2015.5.29 参考答案1. 【解析】()依题意

4、得,解得,所以,2分.4分()因为,所以,列表如下: 6分8分xyO1画出函数在区间上的图像如图所示! 10分 由图象可知函数在上的单调递减区间为： ,.12分17. 【解析】() 频率分布表(3分)；频率分布直方图(6分) () 支持,理由如下:年月的优良率为:, 8分年月的优良率为:, 9分因此 11分所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了多个百分点”.12分18.【解析】()取中点,连结,依题意可知,均为正三角形, 所以,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以,PABCDMOxyz 因为,所以,即,从而为直角三角形.5分 说明:利用平面证明正确,同样满分! ()向量法由()

5、可知,又平面平面,平面平面, 平面,所以平面.6分 以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则 , 7分由可得点的坐标为,9分所以,设平面的法向量为,则,即解得,令,得,11分显然平面的一个法向量为,12分依题意,解得或(舍去),所以,当时,二面角的余弦值为.14分传统法由()可知平面,所以, 所以为二面角的平面角,即,8分PABCDMO 在中, 所以,10分 由正弦定理可得,即, 解得,12分 又,所以, 所以,当时,二面角的余弦值为.14分19. 【解析】()当时,解得； 1分 当时, 解得； 2分()方法一：当时，整理得，即 5分所以数列是首项为,公差为的等差数列. 6分所以，即 7分代入中可得.8分方法二：由()知:,猜想,4分下面用数学归纳法证明:当时，猜想成立；5分假设,猜想也成立,即,则当时,有整