第三章-线性系统的时域分析法(简).ppt

1、第三章 线性系统的时域分析法,本章主要内容: 3.I 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6,系统时间响应的性能指标 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 高阶系统的时域分析 线性系统的稳定性分析 线性系统的稳态误差计算,时间域：c(t) 复数域：G(s) 频率域：G(jw),时域分析法,在时间域内研究控制系统性能的方法,它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应的表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。,要点介绍,1、熟悉系统稳定性的定义； 2、熟练掌握判断系统稳定性的方法； 3、熟练掌握根据稳定性要求确定系统参数的方法。,3.5 线性系统的稳定性分析,

2、一、 稳定性的基本概念,控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当扰动消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态的性能。,1、稳定性的定义,注意： 系统稳定性只与内部特性有关，与输入无关,3.5 线性系统的稳定性分析,2、线性系统稳定的充要条件,系统特征方程的所有根都在S左半平面内,注意：稳定性与零点无关,3、判别稳定性的方法,1）求根法 2）代数判据（Routh） 3）根轨迹法 4）Nyquist判据 5）李雅普诺夫直接法,1、判据描述：若线性系统的特征方程表示为：,则此系统稳定的充分必要条件是：特征方程系数均为正且对应劳斯表第一列各元素均为正。,推论： 1）第一列符号改变次数 =

3、系统特征方程含有正实部根的个数； 2）特征方程系数缺项或不同号则系统不稳定。,二、 代数判据-劳思稳定判据,2、劳思表定义,劳思判据判定稳定性：,符号改变,符号改变,系统不稳定，且有两个正实部根,各项系数均为正数,解决方法：,特殊情况1：第一列出现0，而其余不全为零,3、劳思(routh)判据的特殊情况,系统不稳定：有两个正实部根,用无穷小正数代替零后继续运算。,给系统增加一个稳定根。,解决方法： 由全0行的上一行元素构 成辅助方程F(s)=0，并 对其求导后，用所得系数 代替全0行的元素。,各项系数均为正数,求导得:,例如：,特殊情况2：某一行元素全为零,注意：此时系统不为稳定系统，而是临界

4、稳定系统,劳斯表出现全零行: 系统在s平面有对称分布的根：,大小相等符号相反的实根,共轭虚根,对称于实轴的两对共轭复根,特殊情况3：多行元素全为零,Routh表出现多个全零行，系统在s平面有重共轭虚根，则系统不稳定。,参看：现代控制系统第八版 Richard C.Dorf Robert H.Bishop著,分析：1）K与系统稳定性的关系？ 2）如果要使闭环极点全部位于s=-1垂线左侧，问K值范围？（系统相对稳定性）,解：1）系统闭环传递函数为：,4、劳斯判据的应用,例1：,劳斯表：,系统稳定充要条件：,系统临界稳定时：,系统不稳定稳定时：,闭环特征方程：,2）要求闭环极点全部位于s=-1左侧，

5、则有新变量 s1=s+1，令 s=s1-1 ，代入原特征方程，整理后以s1为变量的特征方程为：,全部极点位于s=-1左侧，即新系统稳定充要条件：,劳斯表：,可见： 1）右半平面无根； 2）虚根： 3）其余根：,注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统,例2：,例 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K,x) 的范围; (2)当x=2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。,解.,(1),(2)当 x=2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。,当 x=2 时，进行平移变换：,练习：已知某单位负反馈系统，其开环零极点如下图示，求：使闭环系统稳定的开环增益K的范围？

6、,解：,问题讨论：,(1) 系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型，形式无关。,(2) 闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。,闭环零点影响系数Ci ，只会改变动态性能。,闭环极点决定稳定性，也决定模态，同时影响稳定性和动态性能。,(3) 闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系。,作业,书126页，3-10（1） 3-12,上节课内容回顾,通过求特征根如何判断系统的稳定性？ 劳斯判据: 判断稳定的充要条件？ 正实部根的个数如何判定？ 当劳斯表第一列出现0而其余项不为0如何处理？ 当劳斯表出现全0行如何处理？特殊根如何求解？,一、典型输入信号 P77,3.1 系统时间响应的性能指

7、标,二、 动态过程与稳态过程 P78,动态过程（过渡过程、瞬态过程）： 在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程，用动态性能描述，提供稳定性、响应速度、阻尼情况的信息。 动态过程有：衰减型、发散型、等幅振荡型等。,稳态过程： 在典型输入信号作用下，当时间t趋向无穷大时，系统输出的表现形式，用稳态性能描述，提供稳态误差信息。,等幅振荡,衰减振荡,单调发散,非周期,系统阶跃响应动态过程的基本形式,三、动态性能与稳态性能 P78,注意：稳定是系统能够运行的前提条件,1、动态性能指标在阶跃函数作用下定义的,1）上升时间tr: 有振荡系统，响应从零第一次到达终值所需时间。 无振荡系

8、统，响应从终值的10%上升到90%所需 的时间。,2）峰值时间tp: 响应从零上升到第一个峰值所需时间。,3）调节时间ts: 响应到达并保持在允许误差范围（终值的2%或5%）内所需的时间。,4）最大超调量%： 响应的最大峰值与终值之差，并除以终值，通常用百分数表示：,超调量,峰值时间tp,调节时间ts,动态性能指标定义1,延迟时间td,上升时间tr,调节时间 ts,动态性能指标定义2,若 则响应无超调;,注意：,td、tr、tp：反映系统响应的初始快速性；,ts：体现系统响应的总体快速性；,：描述系统响应的平稳性或系统的阻尼程度。,2、稳态性能指标,通常用系统在阶跃、斜坡、加速度函数作用 下的

9、稳态误差来描述稳态性能；,稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动 能力； 稳态误差反映系统复现输入信号的最终精度。,3.2 一阶系统的时域分析,可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统,一、一阶系统的数学模型,1）列写其运动方程：,零初始条件下取拉氏变换：,2）传递函数为：,惯性环节,闭环极点(特征根)：-1/T，T 特征参数,二、 一阶系统的单位阶跃响应,性质：1）非周期响应，没有tp和% 2）利用初始斜率特性可以求时间常数T 3）td=0.69T, tr=2.20T, ts=3T或4T 4）一阶系统对阶跃输入无差跟踪,结论： 时间常数T 决定系统的惯性： T越小，即系统惯性越小，

10、过渡过程越快； T越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。,三、 一阶系统的单位脉冲响应,性质： 1）单调下降的指数曲线 2）利用初始斜率特性可以求时间常数T 3）ts=3T,(t0),结论： 时间常数T 决定系统的惯性： T越小，即系统惯性越小，过渡过程越快； T越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。,四、 一阶系统的单位斜坡响应,(t0),3）一阶系统对斜坡输入有差跟踪，稳态误差=T。,性质： 1）经过足够长的时间(4T)，输出增长速率近似与 输入相同；,2）输出相对于输入滞后时间T；,跟踪误差：,五、 一阶系统的单位加速度响应,性质：跟踪误差随时间推移，直至无穷大 即：一阶系统不能实现对加速度

11、输入的跟踪。,三、一阶系统的性质 P83,微 分,输入信号微分响应微分，输入信号积分响应积分 一阶系统只有一个特征参数，即：时间常数T,研究线性定常连续系统的时间响应，可以只对其中一种典型输入信号进行研究。,例3-1：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用其测量加热器内的水温，当插入水中一分钟时才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以10度/分的速度均匀上升，问温度计的稳态指示误差是多少？,解：1）一阶系统，阶跃输入，输出响应达98%，调节时间：ts=4T=1分，则T=0.25分。,2）单位斜坡信号时稳态跟踪误差是T，故当水温以10度/分作等速变换，稳

12、态指示误差为10T=2.5度。,利用传递函数的定义,例3-2：已知某系统在单位斜坡输入时的输出为： 求系统的传递函数，及单位阶跃输入时的 解：,上节课内容回顾,延迟时间td 的定义？ 上升时间tr 的定义？ 峰值时间tp 的定义？ 调节时间ts 的定义？ 最大超调量% 的定义？ 一阶系统的时间常数T如何确定？举例说明 一阶系统的调节时间ts =？,传递函数：,一、 二阶系统的数学模型,3.3 二阶系统的时域分析,无阻尼自然振荡频率,当R=0时的谐振频率,阻尼比,请注意：标准形式二阶系统：,1）结构图,2）开环传递函数：,3）闭环传递函数：,4）特征方程：,5）特征根：,1、无阻尼：=0,无阻尼

13、二阶系统单位阶跃响应性质： 1）有一对位于s平面虚轴上的共轭极点； 2）等幅振荡，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率n。,二、 二阶系统的单位阶跃响应,2、欠阻尼：0 1,阻尼振荡频率：,其中 衰减系数：,单位阶跃下的输出为：,当系统有一定阻尼时，d总是小于n,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性质： 1）有一对位于s左半平面的共轭极点； 2）衰减振荡，稳态分量为1，无稳态误差； 3）含有衰减的复指数振荡项: 振幅衰减的快慢由 和 n 决定；振荡幅值随 减小而加大。,3、临界阻尼：=1,临界阻尼二阶系统单位阶跃响应性质： 1）有两个位于s平面负实轴的相等极点； 2）无超调单调上升且稳态值为1，无稳态误差

14、；,4、过阻尼： 1,过阻尼二阶系统单位阶跃响应性质： 1）有两个位于s平面负实轴上的不相等极点； 2）无超调单调上升且稳态值为1，无稳态误差； 3）过渡过程时间比临界阻尼长。,5、负阻尼： 0,性质：1）极点实部大于零 2）响应发散，系统不稳定。,振荡发散,单调发散,二阶系统 几点结论,1、二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：,1） 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 2） = 0时，出现等幅振荡； 3）01时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快； 4） 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；,2、一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。,3、工程中

15、除了一些不允许产生振荡的应用，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.40.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。 工程上把=0.707的二阶系统称为二阶最优系统。,1、延迟时间td (delay time),c(td )为0.5,三、欠阻尼(01) 二阶系统的动态过程分析,2、上升时间tr (rise time),c(tr )为1,3、峰值时间tp (peak time),一阶求导：,4、最大超调量%(percent overshot),根据超调量的定义，并考虑到,5、调节时间ts（近似方法）,或,为了简化调节时间的计算，一般用包络线来代替 实际响应估算调节时间。,（请记住

16、）,例3-3:设系统如图所示，若要求系统具有性能指标 试确定系统的参数 和 ，并计算单位阶跃响应的特征量 解：,请自学： 二阶系统的单位斜坡响应 过阻尼二阶系统的动态过程分析,课堂练习：书125页，3-3 作业： 书126页，3-5 3-6,标准的二阶系统闭环传递函数？ 无零点欠阻尼二阶系统动态性能指标计算公式： 延迟时间td ？ 上升时间tr ？ 峰值时间tp ？ 调节时间ts ？ 最大超调量% ？,上节课内容回顾,要点介绍,作业和练习,1、了解二阶系统性能改善的方法及其应用； 2、了解三阶及高阶系统的单位阶跃响应，会利用闭环主导极点对高阶系统进行近似分析。,3.4 二阶系统的性能改善,引例

17、（比例调节）：已知系统结构如下图所示：,设系统的输入为单位阶跃，试计算： 1）当Ka=200时，系统的动态性能指标？ 2）当 Ka增大到 1500 时，系统的动态性能指标? 3）当 Ka 减小到 13.5时，系统的动态性能指标?,3.4 二阶系统的性能改善,引例（比例调节）：已知系统结构如下图所示：,解：系统的开环传递函数为：,开环增益为：,闭环传函为：,列表计算如下：,问题：比例调节的作用？,Ka,tp ,%,ts 。,仅靠调节放大器的增益，难以兼顾系统的快速性和平稳性。,为了改善系统的动态性能，可引入误差的比例微分控制或引入输出的测速反馈控制。 或采用附加闭环极点、附加闭环零点处理。,闭环

18、 传函：,典型系统开、闭环传函：,1、误差的比例-微分控制（PD控制）,开环 传函：,3.4 二阶系统的性能改善,与典型系统标准形式比较得： 不改变开环增益（不影响常值稳态误差）和无阻尼 振荡频率 n, 等效阻尼系数为：,由于 d ，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间ts变小。, 闭环传递函数有零点 ，将会给系统带来影响，为有零点的二阶系统。 原来的动态性能计算公式不再适用。,1）可增大系统阻尼，减小阶跃响应的超调量，缩短调节时间； 2）允许选取较高的开环增益，减小稳态误差； 3）微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不用比例-微分控制。,请看书例3-3 PD控制结论

19、：,2、输出的测速反馈控制,闭环传函：,典型系统开、闭环传函：,开环传函：,与典型系统标准形式比较得： 不改变无阻尼振荡频率 n, 等效阻尼系数为：,由于 t ，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间ts变小。, 降低系统的开环增益 ， 从而加大系统在斜坡输入时的稳态误差。,1）可以增加阻尼比，但不影响系统的自然频率，减小超调量，缩短调节时间； 2）不增加系统的零点，对系统性能改善的程度与PD控制是不一样的； 3）会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，可不影响原系统的稳态误差。,请看书例3-4 测速反馈控制结论：,附表： PD控制与测速反馈控制两种方案比较,3、附加闭环实零点,4、附加闭

20、环实极点,1、闭环零点的作用是减小阻尼，使系统响应速度加快，并且闭环零点越接近虚轴，效果越明显； 2、闭环非主导极点的作用是增加阻尼，使系统响应速度变缓，并且闭环极点越接近虚轴，效果越明显； 3、最接近虚轴的闭环极点，对系统响应速度影响最大，若没有对消出现，该极点称为闭环主导极点。,附加闭环零、极点之后，性能指标的计算公式不再完全适用。,基本结论（定性）,1、定义： 能用三阶或三阶以上的微分方程描述的控制系统。,2、分析方法： 1）定性分析：可看成由若干惯性和振荡合成 2）主导极点法 3）计算机分析法,3.5 高阶系统的时域分析,1、高阶系统的单位阶跃响应,3）极点的性质决定瞬态分量的类型；

21、实数极点非周期瞬态分量； 共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。,2、高阶系统的特征 1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。,2）如果所有闭环极点都在 s 平面的左半平面，则随着时间t，c()=A。，系统是稳定的。,3、主导极点与偶极子 1）主导极点 定义：在所有的闭环极点中，那些离虚轴最近、且附近又没有其它零、极点，对系统动态性能影响起主导的决定性作用的闭环极点，称之为主导极点。 主导极点法：利用主导极点代替系统全部闭环极点来估算系统性能的方法，称为主导极点法。 一般要求：,2）偶极子 定义：当一对闭环零、极点重合或它们之间的距离比较小（它们之间的距离比其本身的模值小一个数量

22、级以上）时便构成偶极子。 偶极子处理方法：对系统性能的影响可以忽略。,4、利用主导极点法估算系统性能指标 利用主导极点法可以将高阶系统化成低阶（一阶或二阶系统）来近似地对高阶系统进行等效分析。,例： 高阶系统闭环主导极点偶极子,零极点分布图,单位阶跃响应,虚线为降阶后的响应,上节课内容回顾,比例-微分控制对系统性能的影响： 最大超调量% ？ 调节时间ts？ 使用环境？ 测速反馈控制对系统性能的影响： 最大超调量% ？ 调节时间ts？ 如何弥补稳态误差的损失？ 高阶系统通常如何处理？,要点介绍,作业和练习,1、明确误差的定义； 2、熟练掌握用终值定理求稳态误差的方法； 3、熟练掌握用静态误差系数求稳态误差的方法及其适用条件； 4、了解减小和消除误差的措施。（自学）,3.7 线性系统的稳态误差计算,书127页，3-13（2） 3-1