2019年江苏省南通市、泰州市、扬州市、徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市高考数学三模试卷

1、2019年江苏省南通市、泰州市、扬州市、徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分把答案填写在答题卡相应位置1（5分）已知集合u1，0，2，3，a0，3，则ua 2（5分）已知复数z（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 3（5分）如图是一个算法流程图，若输出y的值为4时，则输入的x的值为 4（5分）已知一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且xy90，则该组数据的方差为 5（5分）一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球，从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为 6（5分）已知函数f（x）则不等式f

2、（x）f（x）的解集为 7（5分）已知an是等比数列，前n项和为sn，若a3a24，a416，则s3的值为 8（5分）在平面直角坐标系xoy中，双曲线1（a0，b0）的右准线与两条渐近线分别交于a，b两点若aob的面积为，则该双曲线的离心率为 9（5分）已知直角梯形abcd中，abcd，abbc，ab3cm，bc1cm，cd2cm，将此直角梯形绕ab边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 cm310（5分）在平面直角坐标系xoy中，若曲线ysin2x与ytanx在（，）上交点的横坐标为，则sin2的值为 11（5分）如图，正六边形abcdef中，若+（，r），则+的值为 12（5分）如

3、图，有一壁画，最高点a处离地面6m，最低点b处离地面3.5m，若从离地高2m的c处观赏它，则离墙m 时，视角最大13（5分）已知函数f（x）x22x+3a，g（x），若对任意x10，3，总存在x22，3，使得|f（x1）|g（x2）成立，则实数a的值为 14（5分）在平面四边形abcd中，bad90，ab2，ad1，若+，则cb+cd的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）abc中，a，b，c分别为角a，b，c所对边的长，a（sinasinb）（cb）（sinb+sinc）（1）求角c的值；（2）若a4b，

4、求sinb的值16（14分）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，平面bpc平面dpc，bpbc，e，f分别是pc，ad的中点求证：（1）becd；（2）ef平面pab17（14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：1（ab0）的上顶点为（0，），圆o：x2+y2经过点m（0，1）（1）求椭圆c的方程；（2）过点m作直线l1交椭圆c于p，q两点，过m作直线l1的垂线l2交圆o于另一点n，若pqn的面积为3，求直线l1的斜率18（16分）南通风筝是江苏传统手工艺品之一现用一张长2m，宽1.5m的长方形牛皮纸abcd裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边ab，ad上取点e，f，将

5、三角形aef沿直线ef翻折到aef处，点a落在牛皮纸上，沿ae，af裁剪并展开，得到风筝面aeaf，如图1（1）若点e恰好与点b重合，且点a在bd上，如图2，求风筝面abaf的面积；（2）当风筝面aeaf的面积为m2时，求点a到ab距离的最大值19（16分）已知数列an满足（nan12）an（2an1）an1（n2），bnn（nn*）（1）若a13，证明：bn是等比数列；（2）若存在kn*，使得，成等差数列求数列an的通项公式；证明：lnn+anln（n+1）an+120（16分）已知函数f（x）（a0），e是自然对数的底数（1）当a0时，求f（x）的单调增区间；（2）若对任意的x，f（x）2

6、eb1（br），求实数的最大值；（3）若f（x）的极大值为2，求不等式f（x）+ex0的解集2019年江苏省南通市、泰州市、扬州市、徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分把答案填写在答题卡相应位置1（5分）已知集合u1，0，2，3，a0，3，则ua1，2【考点】1f：补集及其运算【专题】38：对应思想；4o：定义法；5j：集合【分析】根据补集的定义进行求解即可【解答】解：u1，0，2，3，a0，3，ua1，2，故答案为：1，2【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键比较基础2（5分）已知复

7、数z（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为3【考点】a5：复数的运算【专题】38：对应思想；4o：定义法；5n：数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解【解答】解：z是纯虚数，解得a3故答案为：3【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5分）如图是一个算法流程图，若输出y的值为4时，则输入的x的值为1【考点】ef：程序框图【专题】38：对应思想；4b：试验法；5k：算法和程序框图【分析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可【解答】解：程序的功能是计算y，若输出y的值为4时，则当x1时，由3x4得x1，当

8、x1时，由3+x4得x1，此时无解，故答案为：1【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键4（5分）已知一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且xy90，则该组数据的方差为【考点】bc：极差、方差与标准差【专题】11：计算题；34：方程思想；4o：定义法；5i：概率与统计【分析】推导出x，y的值为10，9，由此能求出该组数据的方差【解答】解：一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且xy90，6+6+9+x+y85，解得x+y19，又xy90，x，y的值为10，9，该组数据的方差为：s2（68）2+（68）2+（98）2+（98）2+（108）2故答案为：【点评】

9、本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球，从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为【考点】cb：古典概型及其概率计算公式【专题】11：计算题；34：方程思想；4o：定义法；5i：概率与统计【分析】从中1次随机摸出2只球，基本事件总数n6，2只球都是白色包含的基本事件个数m3，由此能求出2只球都是白色的概率【解答】解：一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球，从中1次随机摸出2只球，基本事件总数n6，2只球都是白色包含的基本事件个数m3，2只球都是白色的概率

10、为p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）已知函数f（x）则不等式f（x）f（x）的解集为（2，0）（2，+）【考点】5b：分段函数的应用【专题】11：计算题；33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】画出函数f（x）的图象，如图所示，易知函数f（x）为奇函数，根据奇函数的性质结合图象即可求出【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图所示，易知函数f（x）为奇函数，则f（x）f（x）f（x），即f（x）0，由图象可得，不等式的解集为（2，0）（2，+），故答案为：（2，0）（2，+）【点评】本题考查了分段

11、函数和不等式的解法，考查了数形结合的思想，属于中档题7（5分）已知an是等比数列，前n项和为sn，若a3a24，a416，则s3的值为14【考点】89：等比数列的前n项和【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】根据题意，设数列an的公比为q，结合题意可得，解可得a1与q的值，由等比数列的前n项和公式分析可得答案【解答】解：根据题意，an是等比数列，设其公比为q，若a3a24，a416，则，解可得q2，a12，则s314；故答案为：14【点评】本题考查等比数列的前n项和公式以及通项公式，关键是求出数列an的公比8（5分）在平面直角坐标系xoy中，双曲

12、线1（a0，b0）的右准线与两条渐近线分别交于a，b两点若aob的面积为，则该双曲线的离心率为2【考点】kc：双曲线的性质【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5d：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的右准线方程，渐近线方程，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线1（a0，b0）的右准线与两条渐近线分别交于a，b两点可得，解得a（，），b（，），aob的面积为，可得：，e1，可得e2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查9（5分）已知直角梯形abcd中，abcd，abbc，ab3cm，bc1cm，cd2cm，将此直角梯形绕ab边所在的

13、直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为cm3【考点】lf：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5f：空间位置关系与距离【分析】几何体为圆锥和圆柱的组合体，底面半径都为1，圆柱的高为2，圆锥的高为1，代入体积公式计算即可【解答】解：直角梯形abcd中，abcd，abbc，ab3cm，bc1cm，cd2cm，将此直角梯形绕ab边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆锥和圆柱的组合体，底面半径都为1，圆柱的高为2，圆锥的高为1，由此形成的几何体的体积为：v（cm3），故答案为：【点评】本题考查旋转体的体积的求法，考查圆柱、圆锥的结构特征等基础知识，考查逻辑推理能力

14、、运算求解能力，是中档题10（5分）在平面直角坐标系xoy中，若曲线ysin2x与ytanx在（，）上交点的横坐标为，则sin2的值为【考点】h2：正弦函数的图象【专题】11：计算题；35：转化思想；4r：转化法；56：三角函数的求值【分析】由题意可得：sin2tan，（，），可得：sin0，cos0，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式可求cos，sin的值，进而可求sin2的值【解答】解：由题意可得：sin2tan，（，），可得：sin0，cos0，可得：16sincos，解得：cos2，解得：cos，sin，可得：sin22sincos故答案为：【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三

15、角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题11（5分）如图，正六边形abcdef中，若+（，r），则+的值为【考点】9h：平面向量的基本定理【专题】11：计算题；35：转化思想；5a：平面向量及应用【分析】依题意，三角形ace为等边三角形，设三角形ace的中心为o，则22，故+的值可得【解答】解：依题意，正六边形abcdef中，三角形ace为等边三角形，设三角形ace的中心为o，adceg，则g为ce中点则22，故+故填：【点评】本题考查了平面向量的分解，属于基础题12（5分）如图，有一壁画，最高点a处离地面6m，最低点b处离地面3.5m，若从离地高2m的

16、c处观赏它，则离墙m时，视角最大【考点】hu：解三角形【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质；58：解三角形【分析】直接利用解直角三角形知识，利用差角的公式和基本不等式的应用求出结果【解答】解：如图所示：过点c作cdda于点d，设cdx，g故：ad4，bd1.5，则：tantan（acdbcd），当且仅当x，即x时，视角最大故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力属于基础题型13（5分）已知函数f（x）x22x+3a，g（x），若对任意x10，3，总存在x22，3，使得|f（x1）|g（

17、x2）成立，则实数a的值为【考点】3r：函数恒成立问题【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用【分析】由g（x）在x22，3上单调递减，可求g（x）1，2，对任意x10，3，总存在x22，3，使得|f（x1）|g（x2）成立，可得|f（x1）|maxg（x2）max，结合二次函数的性质可求【解答】解：f（x）x22x+3a在x10，3上先减后增故当x1时，函数有最小值f（1）3a1，当a3时，函数有最大值f（3）3+3a故f（x1）3a1，3a+3，g（x）在x22，3上单调递减，故g（x）1，2，对任意x10，3，总存在x22，3，使得|f（x1）|g（x2）成立，|f（x1）|maxg

18、（x2）max，解可得，a故答案为：【点评】本题主要考查了函数的恒成立与函数的存在性问题的相互转化思想的应用，解题的关键是二次函数性质的应用14（5分）在平面四边形abcd中，bad90，ab2，ad1，若+，则cb+cd的最小值为【考点】9n：平面向量数量积的含义与物理意义【专题】11：计算题；35：转化思想；5a：平面向量及应用【分析】以a为坐标原点，以ab为x轴，以ad为y轴建立如图坐标系，设c（x，y）可以推出点c在圆（x1）2+y24上，然后将cb+cd的最小值的问题，根据三角形相似转化为的问题，借助三角形的两边之和大于第三边即可得到cb+cd的最小值【解答】解：以a为坐标原点，以a

19、b为x轴，以ad为y轴建立如图坐标系，设c（x，y）则（2，0），（x，y），（2，0），（2x，y），（x，y），（x，1y）+，所以2x2x+4（x22x+y2），即（x1）2+y24，即点c在以o（1，0）为圆心，以2为半径的圆上，取o（5，0），则，所以obcoco，所以，即bc，所以cb+cd取得最小值即取得最小值，根据三角形的两边之和大于第三边，od，故填：【点评】本题借助向量的数量积运算，考查了两距离和最小的问题，考查了构造相似三角形，以及围成三角形的条件难点在于构造相似三角形将距离和转化为两点间的距离本题属于难题二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答

20、时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）abc中，a，b，c分别为角a，b，c所对边的长，a（sinasinb）（cb）（sinb+sinc）（1）求角c的值；（2）若a4b，求sinb的值【考点】hp：正弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】（1）由已知a（sinasinb）（cb）（sinc+sinb）利用正弦定理，得a（ab）（cb）（c+b），即a2+b2c2ab再利用余弦定理即可得出（2）由正弦定理可得sina4sinb，利用两角差的正弦函数公式可得：sin（b）4sinb，进而可求cosbsinb，根据同角三角函数基本关系式即可解

21、得sinb的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知：a（sinasinb）（cb）（sinc+sinb），由正弦定理，得：a（ab）（cb）（c+b），（2分）即：a2+b2c2ab（3分）所以：cosc，（5分）又：c（0，），所以：c（6分）（2）因为：c，a4b，所以：sina4sinb，可得：sin（b）4sinb，可得：cosb+sinb4sinb，解得：cosbsinb，所以：（sinb）2+sin2b1，解得：sin2b，所以可得：sinb（12分）【点评】本题考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中

22、档题16（14分）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，平面bpc平面dpc，bpbc，e，f分别是pc，ad的中点求证：（1）becd；（2）ef平面pab【考点】ls：直线与平面平行；lw：直线与平面垂直【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5f：空间位置关系与距离【分析】（1）推导出bepc，be平面pcd，由此能证明becd（2）取pb中点h，连结eh，ah，推导出四边形afeh是平行四边形，从而efha，由此能证明ef平面pab【解答】证明：（1）在pbc中，bpbc，e是pc的中点，bepc，平面bpc平面dpc，平面bpc平面dpcpc，be平面

23、bpc，be平面pcd，又cd平面dpc，becd（2）取pb中点h，连结eh，ah，在pbc中，又e是pc的中点，hebc，hebc，又底面abcd是平行四边形，f是ad的中点，afbc，afbc，heaf，heaf，四边形afeh是平行四边形，efha，ef平面pab，ha平面pab，ef平面pab【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题17（14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：1（ab0）的上顶点为（0，），圆o：x2+y2经过点m（0，1）（1）求椭圆c的方程；（2）过

24、点m作直线l1交椭圆c于p，q两点，过m作直线l1的垂线l2交圆o于另一点n，若pqn的面积为3，求直线l1的斜率【考点】kl：直线与椭圆的综合【专题】15：综合题；35：转化思想；4r：转化法；5e：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）根据由题意可得b，即可求出a2，可得椭圆方程，（2）设直线l1的方程为ykx+1，再根据韦达定理，和弦长公式，和三角形的面积公式即可求出直线的斜率【解答】解：（1）由椭圆c的上顶点为（0，），则b，又圆o：x2+y2a2，经过点m（0，1），则a2，椭圆c的方程为+1（2）若l1的斜率为0，则pq，mn2，pqn的面积为，不合题意，直线l1的斜率不为0，直

25、线l1的方程为ykx+1，由，消y可得（3+4k2）x2+8kx80，设点p（x1，y1），q（x2，y2），则x1，x2，pq|x1x2|，直线l2的方程为yx+1，即x+kyk0，|mn|2，pqn的面积spqmn3，解得k，即直线l1的斜率为【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式，属于中档题18（16分）南通风筝是江苏传统手工艺品之一现用一张长2m，宽1.5m的长方形牛皮纸abcd裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边ab，ad上取点e，f，将三角形aef沿直线ef翻折到aef处，点a落在牛皮纸上，沿ae，af裁剪并展开，得到

26、风筝面aeaf，如图1（1）若点e恰好与点b重合，且点a在bd上，如图2，求风筝面abaf的面积；（2）当风筝面aeaf的面积为m2时，求点a到ab距离的最大值【考点】6b：利用导数研究函数的单调性【专题】38：对应思想；49：综合法；58：解三角形【分析】（1）设abf，根据tan2计算tan，从而可求出af，进而求出四边形的面积；（2）过a作atae于t，设aea，aef，根据面积求出a和tan的关系，得出at关于a的函数，再利用基本不等式求出at的最大值【解答】解：（1）设abf，则abd2，tan2，即，tan或tan3（舍），af，sabf，四边形abaf的面积为2sabf（2）设a

27、ea（0a2），aef，则afatan，2saefaeafa2tan，故tan，过a作atae于t，则ataesin2asin2，又sin2，ata+4，当且仅当即a时取等号at的最大值为，即点a到ab距离的最大值为【点评】本题考查三角恒等变换，解三角形的应用，属于中档题19（16分）已知数列an满足（nan12）an（2an1）an1（n2），bnn（nn*）（1）若a13，证明：bn是等比数列；（2）若存在kn*，使得，成等差数列求数列an的通项公式；证明：lnn+anln（n+1）an+1【考点】8b：数列的应用【专题】35：转化思想；48：分析法；4r：转化法；54：等差数列与等比数列

28、【分析】（1）根据数列递推关系，利用构造法结合等比数列的定义进行证明即可（2）由（1）得bn的通项公式，结合等差数列的定义建立方程关系进行求解利用分析法，进行证明即可【解答】解：（1）由（nan12）an（2an1）an1（n2），得+2n，得n2（n1），得bn2bn1，a130，b1110，则2，（n2），则bn是以b1为首项，公比q2的等比数列（2）设1，由（1）知，bn2bn1，则bn2n1b12n1，即n2n1，则2k1+k，成等差数列，（2k1+k）+（2k+1+k+2）2（2k+k+1），2k10，得0，即n，即an要证lnn+anln（n+1）an+1即证an+an+1ln（n+1）lnn，即（an+1an）ln，即+2ln，设t，则+t1+t，且t1，从而只需要证明：当t1时，t2lnt即可，设f（x）x2lnx，（x1），则f（x）1+（1）20，f（x）在（1，+）上单调递增，f（x）f（1）0，即x