勒贝格积分的计算方法

1、2005年 11月 第11 卷第4 期 安庆师范学院学报( 自然科学版) journal of anqing teachers college(natural science) nov. 2005 vol. 11 no. 4 ? ? ? ? ? ? 勒贝格积分的计算方法 周 其 生 (安庆师范学院 数学与计算科学学院, 安徽 安庆246011) 摘要: 本文讨论勒贝格积分的计算问题, 利用勒贝格积分的定义和性质, 总结出计算l 积分 的若干方法, 各种方法都举出了例子说明。 关键词: 勒贝格积分; 黎曼积分; 可积; 计算 中图分类号: o174. 1文献标识码: a文章编号: 1007- 4

2、260(2005) 04- 0089- 05 实变函数论的中心内容是勒贝格积分, 在勒贝格积分( 以下简称l 积分) 的学习中, 面临的一个问题 是它的计算。由于可积函数范围的扩大, 不象在黎曼积分( 以下简称r 积分) 中那样可积函数对连续性 的依赖( 可积必须几乎处处连续) , 尽管r 积分理论中n- l 公式可推广到l 积分中来, 但利用找原函数 的方法来解决l 积分的计算问题很难奏效。 本文讨论l 积分的几种计算方法, 有的方法不仅仅是为了解 决l 积分的计算问题, 也提供了一个计算r 积分的方法。 1. 用定义计算 直接用定义来计算积分当然不失为一个有用的方法。l 积分有多种等价的定

3、义, 为便于叙述, 我们 不妨按文献 1 来说明。 1 中定义分三部分, 简要给出: ( 1) 集合测度有限、 函数有界情形。当小和的上确界与大和的下确界相等时, 定义积分为: ef ( x) dx = infd s( d, f ) = sup d s( d. f ) 。 ( 2) 当函数非负可测( 集合测度不限) 时, 定义积分为: ef ( x) dx = limnen f ( x) ndx ( 3) 一般情形。 当 ef + ( x) dx 和 ef - ( x) dx 至少有一个有限时, 定义积分为: ef ( x) dx =ef + ( x) dx - ef - ( x ) dx。

4、例 1 设 f ( x) 为 0, 1 上的狄利克雷函数 f ( x ) = 1, x 0, 1 q 0, x 0, 1 q , 这里 q 为全体有理数所成之集, 计算 f ( x ) 在 0, 1 上的 l 积分。 解: 因为 f ( x ) 为简单函数, 在 0, 1 上有界可测, 因而可积。 可用定义( 1) 来求解。 令 e1= 0, 1 q, e2= 0, 1 q, 则d = e1, e2 是 0, 1 的一个可测分划, 对应的大、 小和数为 s( d, f ) = s( d, f ) = 0。 因而 0, 1f ( x ) dx = inf d s( d, f ) = sup d

5、s( d, f ) = 0 本例说明, 用定义( 1) 求积分时, 如果能找到可测分法 d, 使得大小和数相等, 则该和数就是所求的 ? ? ?作者简介: 周其生(1956- ) , 男, 安徽金寨人, 安庆师范学院数学与计算科学学院副教授, 主要从事算子理论的研究 和实变函数课程的教学。 基金项目: 省教育厅科研基金( 2004kj269) 资助 收稿日期: 2005- 06- 28 积分。 当然, 这样的分法 d 不见得总能找得到, 但如果能选取一列可测分划dn , 使得lim ns( dn, f ) = lim ns( dn, f ) , 则这个共同值便是所求的积分。 对于非负可测函数也

6、可以直接用定义求积分。 如下例: 例 2设在cantor 集p0上定义函数f ( x ) = 0, 而在p0的余集中长为1/ 3n的构成区间上定义为n( n = 1, 2, ) , 试证 f ( x) 可积分, 并求出积分值。 解 f ( x ) 在e = 0, 1 上非负可测不难说明, 且注意到f ( x) 不是有界函数, 所以要用定义( 2) 。 记 gn为在cantor 集的构造中第 n 次挖去的 2 n- 1 个长度为 1/ 3 n 的构成区间之和集, 则 mgn= 2 n- 1/ 3n, 而 f ( x) n= f ( x) , x p0 g1 g2 gn n, x gn+ 1 gn

7、+ 2 , 此时定义中取 en= e( n = 1, 2) , 由定义( 2) 有 ef ( x) dx = limnen f ( x) ndx = lim n n k= 1 k 2k- 1 3k + n( 1 - n k= 1 2k- 1 3k ) = lim n n k= 1 k 2k- 1 3k + n( 2 3 ) n = 3 由此便得到 f ( x ) 的可积性。 2. 利用积分性质计算 性质 1 两个几乎处处相等的函数, 有相同的可积性和相同的积分值。 这是计算勒贝格积分的一个非常有用的方法, 通常可把复杂的问题变得很简单。 例 3 在例 1 中, f ( x) = 0a. e.

8、于 0, 1 , 所以容易求得 0, 1 f ( x) dx =0 0, 1dx = 0 性质 2 若 f ( x ) 在 a, b 上 r 可积, 则它必同时 l 可积, 且有相同的积分值。 这条性质非常重要, 有了它可借助于求 r 积分的那些方法来求 l 积分, 通常与性质( 1) 结合使用。 例 4 设 f ( x) = x 3, x 0, 1 q x 2, x 0, 1 q , 计算积分( l) 1 0f ( x) dx 解 由于 f ( x) = x 2 a. e. 于 0, 1 , 由上面性质( 1) 和( 2) 得, ( l) 1 0f ( x) dx = ( l) 1 0 x

9、2dx = ( r) 1 0 x 2dx =1 3 众所周知, l 积分是通常的 r 积分的推广, 而非广义 r 积分的推广。 但下面性质是成立的。 性质 3 设 f ( x ) 是( a, b 上非负有限函数且lim xa+ f ( x ) = 。 如果f ( x) 在 a, b 上的广义r 积分 存在( 可积) , 则 f ( x) 在 a, b 上 l 可积且二者的值相同。 注 1 若 f ( x) 无非负条件, 则上面结论应为“ f ( x) 在 a, b 上 l 可积的充要条件是?f ( x) ? 在 a, b 上广义 r 可积且二者有相同的值” 。 注 2 对无穷限广义 r 积分,

10、 类似的结论同样是成立的。 注 3 对于非负连续( 瑕点除外) 函数, 广义 r 积分总与 l 积分等值( 可为 ) 。 例 5 设 f ( x) = 0, x p 1 3 x , x 0, 1 p , 其中 p 为cantor 集, 计算( l ) 1 0f ( x) dx 。 解 由于 cantor 集的测度为零, 由上面性质 1 和性质 3 得 ( l) 1 0f ( x ) dx = ( l) 1 0 1 3 x dx = ( r) 1 0 1 3 x dx = 3 2 注: 例 5 中的函数 f ( x) 不是 r 可积的, 因为它在 0, 1 上虽是几乎处处连续的, 但它在 0,

11、1 上无 界。 但 f ( x) 却是广义 r 可积的, 且积分值也为 3/ 2。 下例则不同。 例 6 设 f ( x) = - 1 3 x , x 0, 1 q 1 3 x , x 0, 1 q , 求( l) 1 0f ( x) dx。 解 因 f ( x) = 1 3 x a. e. 于 0, 1 , 故有: ( l) 1 0f ( x ) dx = ( l) 1 0 1 3 x dx = ( r) 1 0 1 3 x dx = 3 2 90 安庆师范学院学报(自然科学版)2005年 本例中 ?f ( x) ? 是广义r 可积的, 但f ( x) 却不是广义 r 可积的, 因对任意 0

12、 ? 1, f ( x ) 在 ? , 1 上不r 可积。 所以, 虽然f ( x) 为 l 可积, 并无两种积分值相等的结论。 利用l 积分性质来计算r 积分也是一个很有效的方法。 一些在数学分析中很难计算的积分, 在这里 变得相当简单。 例 7 设 f ( x) 为 riemann 函数, f ( x) = 1 q , 当 x = p q p , q 为互质整数; 1, 当x 为无理数或 0。 由 于 f ( x) 在 0, 1 上有界且几乎处处等于零, 故 r 可积, 从而 l 可积。 利用以上性质得 ( r) 1 0f ( x) dx = ( l) 1 0f ( x) dx = ( l

13、) 1 00dx = 0。 性质4( 积分的可数可加性) 设f ( x ) 在可测集e = n= 1en 上积分确定, 其中各en为互不相交的可 测集, 则 ef ( x) dx = n= 1 enf ( x) dx。 例 8f ( x) 同例 2, 记 e0= p, en= gn, n = 1, 2, 由性质( 4) 得 0, 1 f ( x) dx = n= 1 enf ( x ) dx =p0dx + n= 1 gnndx = n= 1n 2n- 1 3n = 3。 例 9 若在 cantor 集 p 上的点有f ( x) = x 10, 而在p 的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间

14、的长为直径所作的圆周的上半圆周, 试计算 l 积分 1 0f ( x) dx。 解 用( ?n, n) 表示cantor 集p 的邻接区间, 不妨设这些邻接区间按其长度减少的次序来排列( 相 同长度的按从左到右顺序) , 于是由性质 4 有 1 0f ( x) dx =pf ( x ) dx + n= 1 n ? n f ( x) dx。 由于 pf ( x ) dx = 0, 在( ? n, n) 上 f ( x) 的图形是以邻接区间为直径的上半圆周, 故半径为 rn= n- ?n 2 , 且在 ( ?n, n) 上的积 分等于 半径为 rn= n- ?n 2 的半圆 面积, 于是 1 0f

15、 ( x) dx = n= 1 1 2 ! ( n- ?n 2 ) 2 = n= 1 ! 8 ( n- ?n) 2。 由 cantor 集的构造知: 1- ?1= 1 3 ( 20个) ; 2- ?2= 3- ?3= 1 32 ( 21个) ; 4- ?4= = 7- ?7= 1 33 ( 22个) , 因此 1 0f ( x ) dx = ! 8 1 32 + 2 34 + 22 36 + + 2n- 1 32n + = ! 8 ? 1 9 1+ 2 9 + ( 2 9 ) 2 + + ( 2 9 ) n- 1 + = ! 56。 性质 4 的用法是根据函数的特点将集合划分成有限或可数个互不

16、相交的可测子集之并, 而函数在 每个子集上的积分容易算出。 不难知道, 本例的函数在 0, 1 上是 r 可积的。 此例计算虽显烦琐, 但它具 有代表性。 当 cantor 集换成正测度的 cantor 集类的疏朗完备集时, 按上面方法定义的函数不再是 r 可 积的, 但仍就可按上面方法计算出l 积分来。 性质 5( l 逐项积分定理) 设fn 是可测集 e 上一列非负可测函数, 则 e( n= 1 fn( x) ) dx = n= 1 ef n( x) dx 例 10 求 l 积分 1 0 = ln( 1- x ) x dx 解当0 x 1时, ln( 1 - x) x = - n= 1 x

17、 n- 1 n , 令fn( x ) = x n- 1 n ( n= 1, 2) , f ( x ) = - ln( 1 - x) x , 91 第4 期周其生: 勒贝格积分的计算方法 显然fn 是 0, 1 上的非负可测函数列, 且 n= 1 fn( x ) = f ( x) ( 0 x 0, y 0 dxdy ( 1 + y) ( 1 + x 2y) 解 被积函数显然在积分域上非负可测, 故由 fubini 定理得 ? x 0, y 0 dx dy ( 1 + y) ( 1 + x 2y)= 0 1 1 + ydy 0 1 1 + x 2ydy = ! 2 0 1 ( 1+ y)y dy

18、= ! 2 2 化重积分为累次积分是 fubini 定理的通常用法, 但利用 fubini 定理作为桥梁, 把某些积分当作累 次积分来看, 通过交换积分次序而使计算变得容易。 如下例: 例 13 求 i = 0 1 x ( e - ax - e - bx) sinxdx, 0 a b。 解 形式地演算得出 i = 0 sinx x dx a b( ye - x y) dy = 0 sinxdx b ae - x ydy = b ady 0 e- xysinx dx = b a dy 1 + y 2= arctanb - arctana 为了说明第三个等式的合理性, 需验证 f ( x, y )

19、 = e - x ysinx 在 d = ( 0, ) ( a, b) 上可积, 而这由 b ady 0 ?e- xysinx?dx b ady 0 e- xydx = b a dy y = ln b a 可得。 第四个等式利用了分部积分法。 性质8( 微积分基本定理) 若f( x) 是 a, b 上的绝对连续函数, 则f( x) - f( a) = x af ( t) dt, x a, b 。 这就是 r 积分中的 n - l 公式在 l 积分中的推广。 它是从下面定理推出的: 定理设 f ( x) 在 a, b 上l 可积, 则存在绝对连续函数f( x) 使f ( x ) = f ( x)

20、 a. e. 于 a, b 。 二者 结合即得: f( x) - f( a) = x af ( t) dt, x a, b 。 92 安庆师范学院学报(自然科学版)2005年 例 14 计算积分 1 0f ( x) dx , 其中 f ( x) = sinx, x e1= 0, 1 q cosx, x e2= 0, 1 q 解 因f( x) = sinx 在 0, 1 上导函数有界, 故为绝对连续函数, 且f ( x ) = f ( x) a. e于 0, 1 , 所 以由性质 8得 1 0f ( x) dx = sin1- sin0 = sin1 注 在利用 n - l 公式计算l 积分时,

21、 一定要验证f( x) 是绝对连续函数, 否则容易出错。 如熟知 的 ( x) ( 见 1 , p153。 ) 在 0, 1 上单调增且连续, ( x) = 0 a. e. 于 0, 1 , 但 ( 1) - ( 0) = 1 0 = 1 0 ( x) dx 原因是 ( x) 在 0, 1 上不是绝对连续函数, 而满足 f( x ) = ( x) a. e. 于 0, 1 的所有绝对连续函 数都是常值函数, 并不是 ( x) 自己! 这一点尤其值得注意。 本反例还说明连续的有界变差函数不一定是 绝对连续函数。 性质 9( 分部积分法) 设 f ( x) 在 a, b 上绝对连续, # ( x)

22、 在 a, b 上可积且 g( x) - g( a) = # a# ( x ) dt, 则 b af ( x) # ( x ) dx = f ( x ) g( x) ? b a- b ag( x ) f ( x) dx 例 15 设 f ( x) 是 例 2 中的函数, f( x ) = x 0f ( t) dt. # ( x ) = 1, x 0, 1 q 2, x 0, 1 q。 计 算积分 1 0f( x) # ( x ) dx。 解 记 g( x) = x 0# ( t) dt, 则易知g( x ) = x , x 0, 1 , 且 f( x) , g( x) 均为绝对连续函数。 由性

23、质 9 及绝对连续函数性质有 1 0f( x) # ( x) dx = f( x) g( x) ? 1 0- 1 0g( x ) f ( x ) dx = 3 - 1 0 x f ( x) dx。 按例 8的计算方法可得 1 0 xf ( x) dx = 3 2 , 因此, 1 0f( x) # ( x) dx = 5 2 利用积分的极限定理同样可研究 l 积分中的“ 参变积分” 。 设 y ? r 是一区间, f ( x, y) 是定义于 x y 上的实函数, 对每个固定的 y y, f ( x, y) 关于 x 在x 上可积, 于是: ( y) = xf ( x, y) dx ( 1) 是

24、定义于 y 上的有限实函数。 由 5 中定理 3. 3. 6 有 性质 10 若偏导数 fy( x, y) 存在, 且存在 x 上的可积函数 g( x ) , 使得 ?fy( x, y) ? g( x) ( !x x, y y) 则 ( y) = xf y( x, y) dx( 2) 在实际问题中, 往往直接用( 1) 式求 ( y) 很困难, 而先从( 2) 式求 ( y) 却较容易, 我们可先求得 ( y) 后再关于y 积分。 如: 例 16 求 - e - x2cos? x dx 解 记 ( ? ) = - e - x2cos? xdx, f ( x, ? ) = e- x2cos? x

25、, 利用性质 10 可求得 ( ? ) = !e- ?2 4。 3. 结束语 l 积分的计算方法远不止这些, 例如, 还可利用积分的等价定义、 充要条件、 其它极限定理( 比如用 简单函数列来逼近被积函数) 以及换元积分法等等。 限于篇幅, 不再一一举例。 用不同的方法来计算积 分繁简不一, 但总的来说, 尽可能利用 r 积分这个现成的工具应该是较好的选择。 参 考 文 献 1程其襄, 张奠宙, 等. 实变函数与泛函分析基础( 第二版)m . 北京: 高等教育出版社, 2003. 1- 175. 2周民强. 实变函数( 第二版)m . 北京: 北京大学出版社, 1995. 121- 223.

26、3张喜堂. 实变函数论的典型问题与方法 m . 武汉: 华中师范大学出版社, 2000. 214- 368. 4鲁世杰. 实变函数理论和方法 m. 杭州: 浙江大学出版社, 1999. 67- 149.( 下转第100 页) 93 第4 期周其生: 勒贝格积分的计算方法 2 tn- k( ? / ( 2( k - 1) ) 的值, 第四个数是2 c 的值, 注意对不同的k 和 n, c 是不相同的。 2. 2 主要结论 由 运行结果可以看出, 每一小表中, 第二个数都是大于第三个数的, 第三个数又是大于第四个数 的, 说明此时t ukey 区间不是最优的。 分析可得到结论: 在效应有序的情况下

27、, 即%1 %2 %k, 构 造 两效应的同时置信区间, 由本文所介绍的第三种区间是最好的, bonferroni 区间次之, tukey 区间最 差。 说明: 虽然本文所介绍的第三种区间是最优的, 但 k 较大时, c 很难求出; 所以一般在应用中, k 9 时则用 bonferroni 区间, 此区间简单易求, 且精度较高。 参 考 文 献 1王松桂, 史建红, 尹素菊, 吴密霞. 线性模型引论m . 北京: 科学出版社, 2004. 2李尚志, 陈发来, 吴耀华, 张韵华. 数学实验m . 北京: 高等教育出版社, 1999. 3 richard j. gaylord, samuel n. kamin, paul r. wellin; 邵勇译. 数学软件mathematica 入门m . 北京: 高等教育出 版社, 2001. 4hayter, a. j. , a one- sided studentized range test for testing against a simple ordered alternative j . j. amer. statist. as