双根法是优化解析几何运算的又一利器

1、 ，即是 的第 项这两个等 差数列公差的最小公倍数是 设数列 的前 项中，同时出现在这两个数列中的项构成数列， 问题即求 的项数 实际上，数列 是从数列 中，自第 项起， 以间隔为 ，依次取出各数，按原序排列构成的一个 等差数列故取数列 的前 项为“样本”，其中仅 有 项（即 ） 同在 与 中，为样本容量的 则 ，由此估计 验证：因 （ ） 在、 中，但 ，即不在 中故所 求的 例 （普通高中课程标准实验教科书，必修 第 页第 题） 有两个等差数列， 及， ，由这两个等差数列的公共项按从小到大 的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和 解 ：， 是从数列 中，自第 项起，以间隔为，依次取出

2、各数，按原序排列而成的 数列；：，是从数列 中，自第项 起，以间隔为 ，依次取出各数，按原序排列而成的数 列；现从数列 中，自第项起，以间隔为，依次取 出各数，按原序排列构成一数列显然 是等 差数列，且 （ ） 同时出现在、 中，设其项数为 仿例的求法，有 ，估计 或因 ， 不在数列 中 所以 所以 前 项之和为 （ ） 例 （江苏第三届高二数学通讯赛题） 设（） ，且 ，（） 能被 整除，具有这样性质的 的个数是 解 估计：（） （ ） 设 ，（） 被 整除，即 （ ） 被 整除的数， 按从小到大排成一列，构成数列，需求数列 的项数 考虑 在“样本”：， 中取值，易知 ， 时满足要求，此时

3、的取值个数与样本容量 的比值为 ， 的容量为 则 验证：因 ，当 （ ，） 时，（ ） 能被整除故将中的元素按 从小到大，每连续 个数分为一组，可分为 组，余 下三数：，每组有 项及 ， 均 在数列 中，但 不在此数列中 所以数列 中共有 项 双根法是优化解析几何运算的又一利器 广东省兴宁市第一中学 蓝云波 我们知道，二次函数有三种形式，分别是一般式、 顶点式、双根式其中双根式可以把一般式 （ ） 表示为 （ ）（ ）（ ），其 中 ，为方程 的两根对于双根式的 应用，笔者通过翻阅大量资料发现，其应用大都仅仅 局限于二次函数方面，似乎不能在其他方面发挥功 效，笔者又在知网上搜索双根法的相关文章

4、，也不能 看到其他方面的应用，似乎很少有人研究但事实上， 双根法还可以有更精彩的应用笔者下面通过几道近 几年的高考题为例，谈谈它在优化解析几何运算方面 的应用现分析如下，供大家参考 例 （年高考重庆卷第题） 如图所示， 设椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴上，上顶点为 ， 左、右焦点分别为，线段，的中点分别为 ，且 是面积为 的直角三角形 图 （） 求该椭圆的离心 率和标准方程； （） 过作直线交椭 圆于 ， 两点， 使 ，求直线 的方程 分析 本题是一道典 型的直线与圆锥曲线的综 中学数学杂志 年第 期 合解答题，通常的做法是联立直线与圆锥曲线的方 程，利用韦达定理消元解决结合本题，问题的关键是

5、 解决 这个条件转换为向量的数量积为零 之后的复杂运算，思路虽然清晰，但运算比较复杂 传统解法 （） 该椭圆的离心率 ，标准方 程为 ；（略） （） 由（） 知 ，()，()当直线垂直 于 轴时，显然不成立 当直线 不垂直于 轴时， 可设其方程为 () ，()， ，() 由 ()， ， 得 () 即 （ ） ， 所以 ， 因 为，所 以 () () 因为点，在直线 （ ） 上，所以（ ）， （ ） 所以（ ）（ ） （ ）（ ） ， 所以 （ ） （ ） ， 化简得（ ） （ ）（ ） 所以（ ） （ ） ，（ ） （ ） ， 所以（ ）（ ） （ ）（ ） （ ）（ ） ，即 ，故 ， 故直

6、线 的方程为 （ ），即 或 点评 此法虽然思路清晰，但运算极为繁琐特别 是在紧张的考试中，学生能算出最后结果的微乎其微 本题中， 如何化简（ ）（ ） （ ）（ ） 是运算的难点上述的解法虽然可行， 但效率却不够高，且极容易出错事实上，我们只要能 把（ ）（ ） 和（ ）（ ） 用 来表示， 问题便能得到解决如若注意到 ，是方程的两根， 可把 () 左端的式子用双根法 表示，然后进行合理赋值，就能轻而易举得到结果 优化解法 同传统解法可得 () 与（ ）（ ） （ ）（ ） ， 因为 ，是方程 () 的两根， 所以 () （ ）（ ）（ ）， 式中再令 得， （ ） （ ）（ ）（ ）， 所

7、以（ ）（ ） ， 式中令 得，（ ） （ ） （ ）（ ）（ ）， 所以（ ）（ ） ， 所以（ ）（ ） （ ）（ ） 所以 ，即 下同传统解法 点评此法通过巧设双根式并进行合理赋值，运 算极为简洁，真正达到了化繁为简的效果，可以说几 乎没有什么运算了，令人叹为观止！ 变式 （ 年上海春季高考理科第 题） 已 知椭圆 的两个焦点分别为 ，()、，()，短 轴的两个端点分别为 ， （） 若 为等边三角形，求椭圆 的方 程； （） 若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭 圆 相交于，两点，且 ，求直线的方程 （答案：（） ；（） 直线的方程为 或 ） 我们现在再来看更为复杂的例 ，若用传统解法解 决

8、，几乎不能算出来，而双根法则显示出巨大的威力 图 例 （ 年高考辽 宁理科数学第 题） 圆 的切线与 轴正半 轴， 轴正半轴围成一个三 角形，当该三角形面积最小 时，切点为 （如图 ）双曲 线 ： 过点 且 中学数学杂志 年第 期 离心率为 （） 求 的方程； （） 椭圆 过点 且与 有相同的焦点，直线 过 的右焦点且与 交于 ， 两点若以线段 为 直径的圆过点 ，求 的方程 解析 （） 可求得点 的坐标为 ， ()，的 方程为 ；（略） （） 由 （） 知 的 焦 点 坐 标 为 ， ()， ， ()，由此设的方程为 ，其中 由点 ， ()在上，得 ，解得 因此 的方程为 显然 的斜率不为

9、，故可设 的方程为 点 ，()， ，()， 由 ， ， 得 () ， 因为 ，是方程的两根， 故有 () () () ()， 因为 ， ()， ， ()， 所以 () () () () () () () () () () ， 式中令 得 () () () ()，所以 () () ， 式中再令 ， 得 () () ， 所以 、 代入 易得 ， 故可解得 ，因此直线 的方程为 或 点评本题方法使用了巧设直线方程的技巧，有 效地降低了运算，在此基础上运用双根法，更是达到 了优化运算的效果，可以说是双剑合璧！ 变式 （ 年高考福建理科数学第 题） 已 知椭圆 ： ()过点， ()，且离 心率为 （） 求椭圆 的方程； 图 （） 如图 ，设直线 ()交椭圆 于 ， 两 点，判 断 点 ， 与以线段 为 直径的圆的位置关系，并说 明理由 （答案：（） ；（） 点 ， 在以线段 为直径的圆的圆 外） 通过上面几道高考题的分析，我们发现，双根法 在解决解析几何中