圆锥曲线中点弦问题

1、关于圆锥曲线的中点弦问题直线和圆锥曲线交叉得到的弦的中点问题，是几何学的重要内容之一，也是高考的热点问题。 此类问题通常有三种类型：(1)求有中点弦的直线方程式的问题(2)求弦中点的轨迹方程式问题(3)求弦中点的坐标问题。 其解法有代点减法、不求法设置的参数法、未定系数法、中心对称变换法等。一、求有中点弦的直线方程式的问题例1在椭圆内的一点m (2，1 )上画弦，用点m将弦二等分，求出该弦所在的直线方程式。解法1 :将求出的直线方程式设为y-1=k(x-2 )，代入椭圆方程式进行整理如果将直线和椭圆的交点设为a ()、b ()，则成为方程式的两个根，因此，另外，因为m是ab的中点，所以我理解求

2、直线方程式是因为。解法2 :以直线和椭圆的交点为a ()，b ()，以m (2，1 )为ab的中点所以另外，a、b两点在椭圆上时，用二式减法因此。求直线方程式是因为。解法3 :为了将求出直线和椭圆的一个交点设为a ()，将中点设为m (2，1 )。另一个交点是b(4- )因为a、b两点在椭圆上用二式减法因为通过a、b的直线只有一条求直线方程式是因为。二、求弦中点的轨迹方程式问题通过椭圆上的一点p (-8，0，0 )使直线椭圆与q点相交，求出pq中点的轨迹方程式。解法1 :弦pq的中点m ()、弦端点p ()、q ()，是的，减去二式另外，所以所以，所以。做得很容易。解法2 :设弦的中点m()q

3、 ()，则为、因为q在椭圆上pq中点m的轨迹方程式是()三、弦中点的坐标问题求直线被抛物线切断的线段的中点坐标。解：解法1 :使直线和抛物线相交，其中的点可以从问题中得到消除y得，即也就是说，中点坐标是。解法2 :把直线和抛物线相交，其中的点从问题中得到，从二式中减去所以也就是说，中点坐标是。以上给出了解决直线和圆锥曲线相交弦中点问题的几个基本解法。 看看结论吧。设引理a、b为二次曲线c :上2点，p为弦ab的中点时的双曲正切值。假设是a、b的话(1)(2)得到22202220222222222222222卡卡6 (说明：当时，上述结论是二次曲线c上的点p的切线梯度式，即设推论1日元的弦ab的

4、中点为p (，)。 (如果点p在圆上，则通过点p的切线的斜率推论2设椭圆的弦ab的中点为p (，)。 (注： ab也成立。 如果点p在椭圆上，则通过点p的切线的斜率为)。推论3设双曲线的弦ab的中点为p。 (如果点p位于双曲线上，超过p点的切线的斜率推论4把抛物线的弦ab的中点设为p (则)。 (如果点p位于抛物线上，则通过点p的切线的斜率我们可以直接应用这些结论来解决问题，下面举例说明。例1，求出椭圆斜率为3的弦的中点轨迹方程式。解：如果设求p(x，y )的轨迹上的任意点，则由于存在，所以表示的轨迹方程式为16x 75y=0例2，已知的椭圆a、b是椭圆上的两点，线段ab的垂直二等分线l和x轴

5、以p相交。证明：设ab的中点为t，从问题设定中可以知道ab不垂直于x轴，lab 设l的方程式为y=0卡卡卡卡6.22222222222220例3、已知抛物线c :直线保存抛物线c关于对称，两点的取值范围是什么？解：关于c上的两点a、b两点对称，ab的中点是p (222222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓62222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓222222222222222222222622222关于抛物线的弦中点问题(1)中点弦问题：问题出了问题。 圆不使用中点法)从例1点在抛物线上画弦，求出弦中点的轨迹方程式。分析：解决问题的关键是找到弦端点a、b在直线上的性质和抛物线上的性质的内在联系。解法1 :利用

6、点差法。设端点为a、b二式减法，同时分割公式的两侧设弦的中点坐标为，因为点和点在直线ab上，所以有。 将、代入，进行整理。因此，中点的轨迹方程式是抛物线内部的部分。解法2 :把有弦ab的直线方程式从方程式中消去并整理(3)假设a、b、中点，式(3)根据根和系数的关系代入(1)得求出的弦中点的轨迹方程式是抛物线内部的部分。注解： (1)求点的轨迹方程式是曲线上的点的横、纵轴满足的关系式，本问题中给出的两个方法是求点和已知条件的内在联系，排列有关的关系式，求轨迹的方程式。(2)弦中点轨迹问题设抛物线()的弦ab、a、b、弦ab的中点c根据(1)-(2)所述将、代入上式，这是弦的倾斜和中点的关系，学

7、习导出，整理成能活用。已知抛物线，越过点直线地在a、b两点交叉抛物线，求出弦ab的中点轨迹方程式。解：如图所示，设弦ab的中点为m，分别设a、b、m点的坐标，根据题意、代入-得到喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653代入的话，即。注解：本问题中，以ab的方程式为例，有代入方程式，利用根和系数的关系，求出弦中点的轨迹方程式的其他解答方法。求直线被抛物线切断的线段的中点坐标。解：解法1 :使直线和抛物线相交，其中的点可以从问题中得到消除y得，即也就是说，中点坐标是。解法2 :把直线和抛物线相交，其中的点，从问题中得到，从二式中减去所以也就是说，中点坐标是。用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线弦的中点有关的问

8、题称为圆锥曲线的中点弦问题。解决圆锥曲线中点弦问题的一般方法是，联立直线和圆锥曲线方程式通过一次二次方程式的根的判别式、根和系数的关系、中点坐标式和参数法来解决。如果把直线和圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标设为、把这两点代入圆锥曲线的方程式，给得到的2式加上差，就可以得到与弦的中点和斜率相关的式，可以大幅度地减少运算量。 我们把这种代表点差的方法称为“积分差法”。本文用这种方法做了几个解题的探索。一、有以定点为中点的弦的直线方程式在椭圆内一点一点地画弦，用点将弦二等分，求出这个弦所在的直线的方程式。解：直线和椭圆的交点，中间点另外，如果两点在椭圆上二式减法所以也就是说，求出的直线方程式，即。例2

9、、已知双曲线能否通过点构成直线，与双曲线相交，点是线段的中点。 如果存在这样的直线，就求其方程式，如果不存在，就说明理由。战略：这是探索性的练习问题，一般的方法是假设存在这样的直线，验证是否满足问题设定的条件。 本问题是中点弦问题，必须考虑点差法和韦达定理。解：存在被点二等分的弦，然后，二式减法，得到故直线被删除了这表示直线不与双曲线交叉，不存在被点平分的弦，也就是说不存在这样的直线。回顾：请注意，忽略判别式的考察会导致错误的结果。 从这个问题可以看出，用中点弦问题来判断点的位置很重要。 (1)中点如果在圆锥曲线内，一般存在被点二等分的弦(2)如果中点位于圆锥曲线之外，则可能不存在被点平分的弦

10、。二、通过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3，已知椭圆的弦的斜率为3，与直线的交点在该弦的中点，求出点的坐标。解：作为弦的端点、弦的中点时，又来了二式减法也就是说也就是说点的坐标是。例4、已知椭圆求出其斜率为3的弦的中点的轨迹方程式。解：作为弦的端点、弦的中点时，又来了二式减法即，即也就是说由、得点在椭圆内斜率为3的弦中点的轨迹方程式三、求关于中点弦的圆锥曲线的方程式例5、中心位于原点，焦点的椭圆被直线切断的弦的中点的横轴为椭圆的方程式。解：设椭圆方程式为设定弦的端点、弦的中点的话，又来了二式减法也就是说2222222222222222222222226联立是求椭圆的方程式四、圆锥曲线上的两点是关于某条直线对称的问题例6、已知的椭圆取试验决定的值的范围，使得相对于直线在椭圆上总是不同的两点关于该直线对称。解：以关于椭圆上的直线对称的两点为弦的中点的话用二式减法也就是说，这就是弦中点的轨迹方程式。与