复变函数的积分

1、第三章 复变函数的积分,基本要求： 1、掌握积分概念和性质。 2、理解柯西定理（闭路积分）。 3、熟练应用柯西积分公式解题。 重点：柯西定理、柯西公式。,2,一、积分的定义,1.有向曲线:,设c为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 若选定c的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 则称c为有向曲线.,如果a到b作为曲线c的正向,那么b到a就是曲线c的负向,简单闭曲线正向的定义:,当曲线上的点p顺此方向前进时, 邻近p点的曲线的内部始终位于p点的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.,1 复变函数积分的概念,3,2.积分的定义:,(,d,4,关于定义的说明:,5,二、积分存在的条件及

2、其计算法,1. 存在条件：,若f(z)为连续函数且c是光滑曲线， 则积分 一定存在。（证明略）,2. 积分计算：,6,计算方法1的推导：,计算方法2的推导：,7,连续曲线,两个连续的实函数，则方程组,代表一平面曲线，称为连续曲线。,平面曲线的复数表示:,曲线的数学表达,过定点,，倾斜角为 的直线参数方程为：,8,其参数方程为,复平面上以z0为圆心，半径为r的圆：,以(a,b)为圆心，半径为r的圆：,9,例1,直线段c3: 的方程为,解：,计算 其中积分路径c分别为如下两种： 直线段 ，和折线段,写成复数形式有：,直线段c4: 的方程为,写成复数形式有：,10,例1 续,直线段 方程为,这两个积

3、分都与路线c 无关（格林定理）,11,例2,12,例3,解,积分路径的参数方程为,13,例4,解,积分路径的参数方程为,14,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,15,例5,解,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,(2) 积分路径的参数方程为,16,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,17,三、积分的性质,复积分与实变函数的定积分有类似的性质.,估值不等式,18,性质(4)的证明,两端取极限得,证毕,19,例6,解,根据估值不等式知,20,2 柯西古萨基本定理,f (z)不满足c-r方程, 在复平面内处处不解析.此时积分与路线有

4、关.,由以上讨论可知, 积分是否与路线无关, 或沿闭曲线的积分值为0的条件，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.,上一小节几个例子： 例1 此时积分与路线无关. 例2 例4 f (z)在以z0为中心的圆周内不是处处 解析的，此时 虽然在除z0外的圆内处处解 析，但此区域已不是单连通域,21,积分 定积分 二重积分三重积分曲线积分曲面积分,积分域 区间 平面区域 空间区域 曲线 曲面,曲线积分,第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）,第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）,高数知识回顾：曲线积分 在高等数学中我们学习了下列积分：,22,二重积分,23,第一型曲线积分,如果 l 是闭曲线 , 则记为

5、,设 l 是空间可求长曲线段, f ( x, y ) 为定义在 l,上的函数，则可定义 f ( x, y ) 在空间曲线,l 上的第一型曲线积分，并记作,24,第二型曲线积分,变力沿曲线作功:,设一质点受如下变力作用,沿曲线 l 从点 a 移动到点 b ，则力 f ( x, y ) 所作的 功由如下曲线积分给出：,或,也记为,或,简记为,p、q是连续函数,25,格林 (green)公式,定理,( 格林公式 ),若函数,在闭区域 d 上具有连续一阶偏导数，则有：,其中 l 为区域 d 的边界曲线，并取正方向.,26,曲线积分与路线的无关性定理,在d 内具有一阶连续偏导数,(iii) 沿d 中任意

6、按段光滑闭曲线 l , 有,(ii) 对d 中任一按段光滑曲线 l, 曲线积分,(i) 在 d 内 处处成立,与路径无关, 只与 l 的起点及终点有关.,设d 是单连通域，函数,则以下三个条件等价:,27,根据格林公式：,28,柯西古萨基本定理（柯西积分定理）,定理中的 c 可以不是简单曲线.,29,关于定理的说明:,(1) 如果曲线 c 是区域 b 的边界,(2) 如果曲线 c 是区域 b 的边界,定理仍成立.,30,3 复合闭路定理,31,设函数f(z)在多连通域d内解析,32,33,得,解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,闭路变形原理,说明: 在变形过程

7、中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.,34,例1,闭路变形原理：,35,36,复合闭路定理,37,例2,解,依题意知,38,根据复合闭路定理,39,例3,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,40,例4,解,由复合闭路定理有,此结论非常重要, 用起来很方便, 因为 不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线 内即可.,41,例5,解,由上例可知,42,定理一,由定理一可知:,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下页图),4 原函数与不定积分,43,44,定理二,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.其证明也完全类似。,45,原函数:,

8、原函数之间的关系:,证,证毕,推论：,46,不定积分的定义:,定理三,(类似于牛顿-莱布尼兹公式),说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.,47,例1,解,由牛顿-莱布尼兹公式知,48,例2,解,(使用了微积分学中的“凑微分”法),49,例3,解,此方法使用了微积分中“分部积分法”,50,例4,解,51,一、问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 c 的变化而改变,5 柯西积分公式,52,二、柯西积分公式,定理,- 柯西积分公式,或者：,53,证明：（不作要求，仅供参考）,54,上不等式表明, 只要 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路

9、变形原理知, 左端积分的值与 r 无关,所以只有在对所有的 r 积分值为零时才有可能.,证毕,55,关于柯西积分公式的说明:,(1) 把函数在c内部任一点的值用它在边界上的值表示.,(2) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,56,例1,解,由柯西积分公式可得,57,例2,解,58,例3,解,由柯西积分公式,59,定理,6 高阶导数,高阶导数公式的作用:,不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,60,例1,解,61,例2,解,62,根据复合闭路定理,63,例3,解,64,例4,解,65,一、调和函数的定义,7 解析函数与调和函数的关系,66,二、解析函数与调和函数的关系,1. 两者的关系,定理：任何在区域 d 内解析的函数,它的实部和虚部都是 d 内的调和函数.,67,2. 共轭调和函数的定义,区域d内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,68,3. 偏积分法,如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.,解,例1,故u(x, y)为调和函数。,69,得一个解析函数,这个函数可以化为,练习：,答案,70,例2,解,71,所求解析函数为,72,4. 不定积分法,不定积分法的实施过程:,上两式积分得：,73,用不定积分法求解例1中的解析函数,