平面向量的数量积及向量的应用习题及详解

1、平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题1(文)(2010东北师大附中)已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a在向量b方向上的投影是()a4 b4 c2 d2答案a解析a在b方向上的投影为4.(理)(2010浙江绍兴调研)设ab4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于()a. b. c. d.或答案b解析由条件知，2，1，ab4，|a|4，|b|2，cosa，b，a，b.2(文)(2010云南省统考)设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a3e12e2，bxe13e2，如果ab，那么实数x等于()a b. c2 d2答案c解析由条件知|e1|e

2、2|1，e1e20，ab3x60，x2.(理)(2010四川广元市质检)已知向量a(2,1)，b(1，2)，且mtab，nakb(t、kr)，则mn的充要条件是()atk1 btk1 ctk1 dtk0答案d解析mtab(2t1，t2)，nakb(2k,12k)，mn，mn(2t1)(2k)(t2)(12k)5t5k0，tk0.3(文)(2010湖南理)在rtabc中，c90，ac4，则等于()a16 b8 c8 d16答案d解析因为c90，所以0，所以()|2ac216.(理)(2010天津文)如图，在abc中，adab，|1，则()a2 b. c. d.答案d解析，()，又abad，0，|

3、cosadb|cosadb|.4(2010湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b()a150 b120 c60 d30答案b解析abc，|a|b|c|0，|ab|2|c|2|a|2，|b|22ab0，|b|22|a|b|cosa，b0，cosa，b，a，b0，180，a，b120.5(2010四川双流县质检)已知点p在直线ab上，点o不在直线ab上，且存在实数t满足2tt，则()a. b. c2 d3答案b解析2t()t，p在直线ab上，1，t1，2，.6(文)平面上的向量、满足|2|24，且0，若向量，则|的最大值是()a. b1 c2 d.答案d解析0，又|

4、2|24，|ab|2，且m在以ab为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系，则点a(1,0)，点b(1,0)，设点m(x，y)，则x2y21，(1x，y)，(1x，y)，|22y2x，1x1，x1时，|2取得最大值为，|的最大值是.(理)(2010山东日照)点m是边长为2的正方形abcd内或边界上一动点，n是边bc的中点，则的最大值为()a8 b6 c5 d4答案b解析建立直角坐标系如图，正方形abcd边长为2，a(0,0)，n(2，1)，(2，1)，设m坐标为(x，y)，(x，y)由坐标系可知2xy，设2xyz，易知，当x2，y2时，z取最大值6，的最大值为6，故选b.7如图，abc的外接圆的圆

5、心为o，ab2，ac3，bc，则等于()a. b.c2 d3答案b解析()，因为oaob.所以在上的投影为|，所以|2，同理|，故2.8(文)已知向量a、b满足|a|2，|b|3，a(ba)1，则向量a与向量b的夹角为()a. b. c. d.答案c解析根据向量夹角公式“cosa，b求解”由条件得aba21，即ab3，设向量a，b的夹角为，则cos，所以.(理)(2010黑龙江哈三中)在abc中，其面积s，则与夹角的取值范围是()a. b. c. d.答案a解析设，|cos，s|sin()|sin，|，cot，由条件知cot，1cot，0，为锐角，.9(文)(2010云南省统考)如果a是抛物线

6、x24y的顶点，过点d(0,4)的直线l交抛物线x24y于b、c两点，那么等于()a. b0 c3 d答案b解析由题意知a(0,0)，设b(x1，y1)，c(x2，y2)，直线l：ykx4，由消去y得，x24kx160，x1x24k，x1x216，y1y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)1616k216k21616，x1x2y1y20.(理)(2010南昌市模考)如图，bc是单位圆a的一条直径，f是线段ab上的点，且2，若de是圆a中绕圆心a运动的一条直径，则的值是()a b c d不确定答案b解析2，|，()()()()|2|21.10(2010福建莆田一中)设o为坐标原

7、点，a(1,1)，若点b(x，y)满足，则取得最小值时，点b的个数是()a1 b2 c3 d无数个答案b解析x2y22x2y10，即(x1)2(y1)21.可行域为图中阴影部分，|cos，又|为定值，当cos，取最小值时，取最小值，ycosx在上为减函数，由图可知，当点b在e、f位置时，aob最大，|最小，从而取最小值，故选b.点评可用数量积的坐标表示求解，设b(x，y)，令xyt，则yxt，当直线yxt过b1、b2两点时，t最小，即tmin3.当取得最小值时，点b的个数为2.二、填空题11(2010苏北四市)如图，在平面四边形abcd中，若ac3，bd2，则()()_.答案5解析设ac与bd

8、相交于点o，则()()()()()()()()()()|2|25.12(文)(2010江苏洪泽中学月考)已知o、a、b是平面上不共线三点，设p为线段ab垂直平分线上任意一点，若|7，|5，则()的值为_答案12解析，由条件知，|249，|225，|，|2|2，即|2|22|2|22，()12，()12.(理)(2010广东茂名市)o是平面上一点，a、b、c是平面上不共线的三点，平面内的动点p满足()，则时，()的值为_ _答案0解析由已知得()，即()，当时，得()，2，即，0，()00，故填0.13(2010安徽巢湖市质检)已知a1，a2分别是椭圆1的左、右顶点，p是过左焦点f且垂直于a1a

9、2的直线l上的一点，则_.答案20解析由条件知a1(5,0)，a2(5,0)，f(3,0)，设p(3，y0)，则(10,0)，(2，y0)，20.14(2010福建厦门质检)已知向量an(cos，sin)(nn*)，|b|1.则函数y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2的最大值为_答案284解析|b|1，设b(cos，sin)，an2cos2sin21(nn)，anbcoscossinsin，y|a1b|2|a2b|2|a141b|2(|a1|2|a2|2|a141|2)141|b|22(a1ba2banb)2822coscoscoscos2sin2822coscos2sins

10、in2822cos284.三、解答题15(山东省潍坊市质检)已知函数f(x)sin2xcos2x，xr.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且c，f(c)0，若向量m(1，sina)与向量n(2，sinb)共线，求a，b的值解析(1)因为f(x)sin2xsin(2x)1，所以f(x)的最小值是2，最小正周期是t.(2)由题意得f(c)sin(2c)10，则sin(2c)1，0c，02c2，2c，2c，c，向量m(1，sina)与向量n(2，sinb)共线，由正弦定理得，由余弦定理得，c2a2b22abcos，即3a2b2ab由解得，

11、a1，b2.16(文)(延边州质检)如图，在四边形abcd中，ad8，cd6，ab13，adc90且50.(1)求sinbad的值；(2)设abd的面积为sabd，bcd的面积为sbcd，求的值解析(1)在rtadc中，ad8，cd6，则ac10，coscad，sincad，又50，ab13，cosbac，0bac180，sinbac，sinbadsin(baccad).(2)sbadabadsinbad，sbacabacsinbac60，sacd24，则sbcdsabcsacdsbad，.(理)点d是三角形abc内一点，并且满足ab2cd2ac2bd2，求证：adbc.分析要证明adbc，则

12、只需要证明0，可设m，c，b，将用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决证明：设c，b，m，则mc，mb.ab2cd2ac2bd2，c2(mb)2b2(mc)2，即c2m22mbb2b2m22mcc2，m(cb)0，即()0，0，adbc.17(文)(2010江苏)在平面直角坐标系xoy中，已知点a(1，2)，b(2,3)，c(2，1)(1)求以线段ab、ac为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解析(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)0得，(32t,5t)(2，1)0，所以t.(理)(安徽巢湖质检)已知a(，0)，b(，0)，动点p满足|4.(1)求动点p的轨迹c的方程；(2)过点(1,0)作直线l与曲线c交于m、n两点，求的取值范围解析(1)动点p的轨迹c的方程为y21；(2)解法一：当直线l的斜率不存在时，m(1，)，n(1，)，；当直线l的斜率存在时，设过(1,0)的直线l：yk(x1)，代入曲线c的方程得(14k2)x28k2x4(k21)0.设m(x1，y1)、n(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1