平面向量易错题解析

1、平面向量易错题解析1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用；）3.你知道解决向量问题有哪两种途径？（向量运算；向量的坐标运算）4.你弄清“”与“”了吗？问题：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（1） 在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.（2） 已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.（3） 在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、

2、化简和证明恒等式有什么特点？1.向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知a（1,2），b（4,2），则把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向

3、量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_（答：（4）（5）2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文

4、字母来表示，如，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使e1e2。如（1）若，则_（答：）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 a. b. c. d. （答：b）；（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_（答：）；（4）已知中，点在边上，且，则的值是_（答：0）4.实数与向量的积：实数与

5、向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同，当0；当p点在线段 pp的延长线上时1；当p点在线段pp的延长线上时；若点p分有向线段所成的比为，则点p分有向线段所成的比为。如若点分所成的比为，则分所成的比为_（答：）（3）线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当1时，就得到线段pp的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如（1）若m（-3，-2），n（6，-1），且，则点p的坐标为_（答：）；（2）已知，直线

6、与线段交于，且，则等于_（答：或）11.向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，若，则其重心的坐标为。如若abc的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则abc的重心的坐标为_（答：）；为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；（3）若p分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足,其中且,则点的轨

7、迹是_（答：直线ab）例题1已知向量,且求 (1) 及; (2)若的最小值是,求实数的值. 错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度; (2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论. 答案: (1)易求, = ;(2) = = 从而:当时,与题意矛盾, 不合题意; 当时, ; 当时,解得,不满足;综合可得: 实数的值为.例题2在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值.错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.答案: (1)若即 故,从而解得; (2)若即,也就是,而故,解得; (3)若即,也就是而,故,解得 综合上面讨论可知,或或例题

8、4已知向量m=(1,1)，向量与向量夹角为，且=-1，(1)求向量；(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为，向量=(cosa,2cos2)，其中a、c为dabc的内角，且a、b、c依次成等差数列，试求|+|的取值范围。解：(1)设=(x,y)则由=得：cos= 由=-1得x+y=-1 联立两式得或=(0,-1)或(-1,0)(2) =得=0若=(1,0)则=-10故(-1,0) =(0,-1)2b=a+c，a+b+c=p b= c=+=(cosa,2cos2) =(cosa,cosc) |+|= = =0a02a-1cos(2a+)0当m0时，2mcos2q0，即f()f() 当m0时，2mc

9、os2q0，即f()f()例题6已知a、b、c为dabc的内角，且f(a、b)=sin22a+cos22b-sin2a-cos2b+2(1)当f(a、b)取最小值时，求c(2)当a+b=时，将函数f(a、b)按向量平移后得到函数f(a)=2cos2a求解：(1) f(a、b)=(sin22a-sin2a+)+(cos22b-cos2b+)+1 =(sin2a-)2+(sin2b-)2+1当sin2a=,sin2b=时取得最小值，a=30或60，2b=60或120 c=180-b-a=120或90 (2) f(a、b)=sin22a+cos22()- = =例题7已知向量（m为常数），且,不共线

10、，若向量,的夹角落为锐角，求实数x的取值范围.解：要满足为锐角 只须0且（） = = =即x (mx-1) 0 1当 m 0时x0 或2m0时，x ( -mx+1) 0 ，3m=0时只要x 0时， x = 0时， x 0，（1）用k表示ab;（2）求ab的最小值，并求此时ab的夹角的大小。解 （1）要求用k表示ab,而已知|ka+b|=|akb|，故采用两边平方，得|ka+b|2=(|akb|)2k2a2+b2+2kab=3(a2+k2b22kab)8kab=(3k2)a2+(3k21)b2ab =a=(cos，sin),b=(cos,sin)，a2=1, b2=1,ab =（2）k2+12k

11、，即=，ab的最小值为，又ab =| a|b |cos，|a|=|b|=1=11cos。=60,此时a与b的夹角为60。错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2ab或|a|2+|b|2+2ab。例题9已知向量， （）求的值；（）若，且，求的值解（）,. , ,即 . . （） ， ， .例题10已知o为坐标原点，点e、f的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点a、m、n满足（），（）求点m的轨迹w的方程；（）点在轨迹w上，直线pf交轨迹w于点q，且，若，求实数的范围解：（）， mn垂直平分af又

12、， 点m在ae上， ， ， 点m的轨迹w是以e、f为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距， 点m的轨迹w的方程为（）（）设 ， 由点p、q均在椭圆w上， 消去并整理，得，由及，解得 基础练习题1.设平面向量=(2，1)，=(，1)，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）a、 b、c、 d、答案：a点评：易误选c，错因：忽视与反向的情况。2.o是平面上一定点,a,b,c是平面上不共线的三个点,动点p满足,则p的轨迹一定通过abc的( ) (a)外心 (b)内心 (c)重心 (d)垂心正确答案：b。错误原因：对理解不够。不清楚与bac的角平分线有关。3.若向量 =(cosa,sina) ， =， 与不共线

13、，则与一定满足（ ）a 与的夹角等于a-bb c(+)(-)d 正确答案：c 错因：学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。4.已知o、a、b三点的坐标分别为o(0,0)，a(3，0)，b(0，3)，是p线段ab上且 =t (0t1)则 的最大值为（） a3b6c9d12正确答案：c 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|op|cosa最大时， 即为最大。5.在中,则的值为 ( )a 20 b c d 错误分析:错误认为,从而出错.答案: b略解: 由题意可知,故=.6.已知向量 =(2cosj，2sinj)，j()， =（0,-1)，则 与 的夹角为( )a-jb+j

14、cj-dj正确答案：a 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在0，p。7.如果，那么 （ ）a b c d在方向上的投影相等正确答案：d。错误原因：对向量数量积的性质理解不够。8.已知向量则向量的夹角范围是（ ） a、/12，5/12 b、0，/4 c、/4，5/12 d、 5/12，/2 正确答案：a错因：不注意数形结合在解题中的应用。9.设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（ ） 存在一个实数，使=或=； |=| |； ； (+)/()a、1个 b、2个 c、3个 d、4个答案：c点评：正确，易错选d。10.以原点o及点a（5，2）为顶点作等腰直角三角形oab，使

15、，则的坐标为（ ）。a、（2，-5） b、（-2，5）或（2，-5） c、（-2，5） d、（7，-3）或（3，7）正解：b设，则由 而又由得 由联立得。误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。11.设向量，则是的（ ）条件。a、充要 b、必要不充分 c、充分不必要 d、既不充分也不必要正解：c若则，若，有可能或为0，故选c。误解：，此式是否成立，未考虑，选a。12.在oab中，若，则=（ ）a、 b、 c、 d、正解：d。（lv为与的夹角）误解：c。将面积公式记错，误记为13.设平面向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 （a）a、 b、（2，+ c、（ d、（-错解：c错因：忽视使用时

16、，其中包含了两向量反向的情况正解：a14.设是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题： 若不平行其中正确命题的个数是 （ ）a、1个 b、2个 c、3个 d、4个正确答案：(b)错误原因：本题所述问题不能全部搞清。15.若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是_. 错误分析：只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误. 正确解法: ，的夹角为钝角, 解得或 (1) 又由共线且反向可得 (2) 由(1),(2)得的范围是答案: .16.已知平面上三点a、b、c满足的值等于（ c ）a25b24c25d2417.已知ab是抛物线的任一

17、弦，f为抛物线的焦点，l为准线.m是过点a且以向量为方向向量的直线. （1）若过点a的抛物线的切线与y轴相交于点c，求证：|af|=|cf|； （2）若异于原点），直线ob与m相交于点p，求点p的轨迹方程； （3）若ab过焦点f，分别过a，b的抛物线两切线相交于点t，求证：且t在直线l上.解：（1）设a（，因为导数，则直线ac的方程：由抛物线定义知，|af|=+，又|cf|=（）=+，故|af|=|cf|. （2）设由得. 直线ob方程： 直线m的方程:， 由得y=p，故点p的轨迹方程为y=p（x0）. （3）设则因为ab是焦点弦，设ab的方程为：得由（1）知直线at方程：同理直线bt方程：所以直线ab方程：，又因为ab过焦点，故t在准线上.18.如图，已知直线l与半径为1的d相切于点c，动点p到直线l的距离为d，若 （）求点p的轨迹方程； （）若轨迹上的点p与同一平