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文档简介

1、2020/7/5,1,4.3 正交矩阵及其性质,2020/7/5,2,定义6 设a为n阶方阵, 如果ata=i或aat=i, 就 称a为正交矩阵.(a-1=at )定理4 a为n阶正交矩阵的充分必要条件是a 的列（行）向量组为rn的一组标准正交基.证 设,按列分块为a1,a2,.,an,2020/7/5,3,于是,因此ata=i的充分必要条件是,此定理可作为判定正交矩阵的一种方法,2020/7/5,4,定理5 设a,b皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det a=1或-1; (ii) a-1=at（充要条件）; (iii) at(即a-1)也是正交矩阵; (iv) ab也是正交矩阵.证 (i)

2、 det(ata)=det(i)=1=(det(a)2, 所以成立, (ii) ata=i, 当然就是a-1=at, (iii) (at)tat=aat=aa-1=i, 所以at(即a-1)也是正交矩阵, 从而a的行向量组也是rn的一组标准正交基, (iv) 由(ab)t(ab)=bt(ata)b=btb=i, 即得ab也是正交矩阵.,2020/7/5,5,定理,方阵a为正交矩阵的充分必要条件是a的列向量构成标准正交组。,推论1,方阵a为正交矩阵的充分必要条件是a的行向量构成标准正交组。,a是正交矩阵,方阵a的列向量构成标准正交组,方阵a的行向量构成标准正交组,是正交矩阵,2020/7/5,6,例,现有标准正交组,求三维向量,使得矩阵,为正交矩阵,解,是标准正交组,2020/7/5,7,或,定义 若a为正交矩阵，则线性变换 称为正交变换。,定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。,2020/7/5,8,也就是说，若列向量x,yrn在n阶正交矩阵a作用下变换为ax, ayrn, 则向量的内积与长度及向量间的夹角都保持不变, 即(ax,ay)=(x,y), |ax|=|x|,ax,ay=x,y.证 (ax,ay)=(ax)t(ay)=xt(ata)y=xty=(x,y). 当y=x时, 有(ax,

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