空间直角坐标系

1、4.3空间直角坐标系重点和难点教学重点：确定空间直角坐标系中点的坐标。教学难点：通过建立合适的直角坐标系来确定空间点的坐标，以及相关应用。新知识查询：在初中，我们了解到数轴是一条定义原点、正方向和单位长度的直线。决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度。这是数轴的三个元素。数轴上的点可以用对应于该点的实数x来表示。初中时，我们学习了平面直角坐标系。平面直角坐标系以一个点为原点o，并使两个数轴ox和oy在通过原点oy时相互垂直，xoy称为平面直角坐标系，它具有以下特点：两个数轴相互垂直；起源一致；(3)通常以向右上方为正方向；单位长度一般相同。平面直角坐标系中的点由它们相应的水平和垂直坐标表示，括

2、号中的水平坐标写在垂直坐标之前，垂直坐标是一对有序实数(x，y)。在空间上，我们可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系，即空间直角坐标系，空间上的任何一点也可以用相应的有序实数组来表示。观察图2，oabc-d a b c 是一个单位立方体。我们建立了一个坐标系，即空间直角坐标系，类似于平面直角坐标系的建立。以o为原点，以射线oa、oc和od的方向为正方向，以线段oa、oc和od的长度为单位长度，我们设置了三个数轴ox、oy和oz，称为x轴和oz。此时，我们说我们已经建立了一个空间直角坐标系o-xyz，其中o称为坐标原点，x、y和z轴称为坐标轴。如果我们称通过每两个坐标轴的平面为坐标平面，我们可以

3、得到三个坐标平面xoy，yoz和zox。由此可知，确定空间直角坐标系必须有三个要素，即原点、坐标轴方向和单位长度。图1图1所示的空间直角坐标系也可以用右手确定。用右手握住z轴。当右手的四个手指以90角从x轴的正方向转到y轴的正方向时，拇指指向z轴的正方向。我们称这个坐标系为右手直角坐标系。除非另有说明，我们教科书中建立的坐标系都是右手直角坐标系。请注意，在平面上绘制空间直角坐标系o-xyz时，通常会使 xoy=135和 yoz=90，即使用倾斜二维绘图方法绘制立体图。显然，应该注意y轴和z轴上的原始长度，而x轴上的长度是原始长度的一半。学生通常取x轴上的原始长度，即观察图2，空间直角坐标系建立

4、后，空间中的任意点m都可以用坐标表示。众所周知，m是空间中的一个点。穿过m的三个平面垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴的交点分别是p、q和r。这三个点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z。所以空间中的点m唯一地决定了一个有序的数组x，y和z图2相反，对于有序数组x，y，z，我们取x轴上坐标为x的点p，y轴上坐标为y的点q，z轴上坐标为z的点r，然后分别通过p，q和r得到x轴，y轴和z轴的垂直面。这三个垂直平面的交点m是具有有序阵列x、y和z坐标的点。坐标为x，y，z的点m通常表示为m(x，y，z)。通过这种方法，我们在空间直角坐标系中建立了点m和有序阵列x，y，z之间的一一对

5、应关系。注意：坐标平面上的点的坐标和坐标轴有它们自己的特点。如果点m在yoz平面上，x=0；类似地，zox平面上的点y=0；xoy点，z=0。y=z=0活动：学生阅读主题，比较新学到的知识，先思考，然后讨论和交流。教师给予及时的指导。要写点的坐标，首先确定点的位置，然后写。根据它们坐标的含义和特征，它的水平和垂直坐标是0，而c在y轴上，所以它的水平和垂直坐标是0，a是在zox平面上的点，y=0。 b 不在坐标平面上，所有三个坐标都是必需的。解：d在z轴上，并且| od|=2，所以它的垂直坐标是2，它的水平和垂直坐标是0，所以d的坐标是(0，0，2)。类似地，c的坐标是(0，4，0)。a在xoz

6、平面上，其垂直坐标为0，水平坐标为|。2)点b在xoy平面上的投影是点b，因此它的横坐标x和纵坐标y与点b的相同。在xoy平面上，横坐标x=3，纵坐标y=4。点b在z轴上的投影是点d，它的垂直坐标与d的垂直坐标相同。点d的垂直坐标是z=2，所以点b的坐标是(3，4，2)。注释：可以精确地确定空间中任意点的直角坐标，这是使用空间直角坐标系的基础。我们必须掌握以下方法：通过点m使三个平面垂直于x轴、y轴和z轴，确定x、y和z，并掌握一些特殊点的坐标表示特征。想法2例1如图4所示，已知点p位于x轴的正半轴上，| op|=2，pp位于xoz平面上，并垂直于x轴，| pp|=1，因此求点p和p的坐标.图

7、4示例2如图5所示，在立方体abcd-a1b1c1d 1中，e和f分别是bb1和d1b1的中点，并且边长是1。找到e点和f点的坐标。图5变体训练1.在上面的问题中，找到b1(1，1，1)与平面xoy对称的坐标。2.在上面的问题中找到点b1(1，1，1)相对于z轴对称的坐标。3.在上面的问题中找到与原点对称的点b1(1，1，1)的坐标。扩展和升级1.空间直角坐标系中的点p(x，y，z)大约是坐标的原点；横轴(x轴)；纵轴(y轴)；垂直轴(z轴)；xoy坐标平面；yoz坐标平面；zox坐标平面的对称点坐标是多少？根据平面直角坐标系中点的对称方法结合中点坐标公式，我们可以知道：点p(x，y，z)关于

8、坐标原点的对称点是p1(-x，-y，-z)。点p(x，y，z)关于水平轴(x轴)的对称点是p2(x，-y，-z)；点p(x，y，z)关于纵轴(y轴)的对称点是p3(-x，y，-z)；点p(x，y，z)关于垂直轴(z轴)的对称点是p4(-x，-y，z)。点p(x，y，z)关于x0y坐标平面的对称点是p5(x，y，-z)。点p(x，y，z)相对于yoz坐标平面的对称点是p6(-x，y，z)。点p(x，y，z)相对于zox坐标平面的对称点是p7(x，-y，z)。注释：记忆的方法是：关于谁是不变的，其余的是相反的。例如，关于水平轴的对称点(x轴)，水平轴不变，垂直轴和垂直座是垂直的空间笛卡尔坐标系练习

9、第一卷(选择题，共50分)1.多项选择题：在每个问题给出的四个选项中，只有一个符合问题的要求。请在问题后的括号内填写正确答案的代码(每题5分，共50分)。1.在空间直角坐标系中，点p(x，y，z)是已知的，并给出以下四个陈述：(1)点p关于x轴的对称点的坐标是(x，-y，z)(2)点p的对称点相对于平面的坐标是(x，-y，-z)(3)点p关于y轴的对称点的坐标是(x，-y，z)(4)点p的对称点相对于原点的坐标是(-x，-y，-z)正确的数字是()a.3b.2c.1d.02.如果a (1，1，1)，b (-3，-3，-3)是已知的，那么线段ab的长度是()a.4 b.2c.4d.33.给定a

10、(1，2，3)，b (3，3，m)，c(0，-1，0)，d(2，-1，-1)，然后()a.b.c.日4.设a (3，3，1)、b (1，0，5)、c (0，1，0)和ab的中点m为()美国广播公司5.如图所示，在三角金字塔a-bcd中，ab底部bcd为bccd，ab=bc=1，当cd=2并且点e是cd的中点时a.(，4，-1)b.(2，3，1) c.(-3，1，5) d.(5，13，-3)8.从该点到坐标平面的距离是()美国广播公司9.如果已知点共线，则值为()a.4b.1、8c .-4d-1、-810.在空间直角坐标系中，从某一点到三个坐标轴的距离是1，那么从该点到原点的距离是()a.学士学

11、位第二卷(非选择题，共100分)填空：请在横线上填写答案(每个小问题6分，共24分)。11.如右图所示，边长为3a的立方体oabc，点m为on，点2为o对于坐标原点，在绘图空间中建立坐标系，然后点m的坐标是。12.如右图所示，它是从立方体上切下的一个角点。、创建图形坐标系统，找到重心的坐标。13.如果o (0，0，0)，p(x，y，z)，然后图示为_ _。14.给定点a (-3，1，4)，点a相对于原点的对称点b的坐标是：ab的长度是。第三，回答问题：答案应该写有书面解释，证明过程或计算步骤(共76分)。15.(12个点)如图所示，让e是长方体的中点，f是长方体的中点，并试着写出给定空间直角坐标系d-xyz中每个点a、b、c、d、e和f的坐标。16.(12点)如图所示，在金字塔p-abcd中，底部abcd是正方形，边长是2a，边pd底部abcd，pd=2b，取每个边的中点e，f，g，h，并写出点e，f，g，h的坐标.17.(12点)如图所示，已知在矩形abcd中，矩形abcd沿着对角线bd折叠，使得平面bcd平面abd.现在，以d为原点，以db为y轴的正方向，建立图形空间中的直角坐标系，此时点a恰好在xdy坐标平面