第四章 力学量与算符ppt课件

1、.,量子力学,第四章 力学量与算符,.,第二章中，求 的平均值时，引入了算符概念： 将这一概念推广，得量子力学的第四个基本假定： * 任一力学量A，对应于一力学量算符 即， 那么： 量子力学中算符的一般定义是什么？ 算符之间如何运算？ 与力学量A对应的算符 与数学上的一般算符有何异同？ 的本征值问题？ 如何随时间变化？ An如何随 中参数变化？ 这就是本章将要解答的问题！,.,4.1 力学量算符的定义及运算,一，定义：对任意波函数 ， = 算符的定义与波函数是分不开的，若无特别说明，算符对它后面的波函数都起作用。 二，算法运算： 1，加减 a，结合律 b，交换律 2，乘 note: 不一定等于

2、,.,3，对易关系 4, 逆算符：若 ，则 5，除： 6，算符函数：,.,三. 算符的厄米共轭运算与厄米算符,1，内积 2，算符的复共轭运算： 在某一表象下，求算符的共轭算符。如： 3，定义算符的转置算符，满足 * 厄米共轭运算：,.,4，算符的厄米共轭运算 定义：若 则 性质： 5，厄米算符：若 ，则称 为厄米算符,.,4.2 厄米算符的性质,厄米算符的平均值为实数 厄米算符的本征波函数具有正交性 厄米算符的本征函数是完备的 两个厄米算符有共同本征波函数完备集的充分必要条件是：二者对易。,.,4.3 力学量与力学量算符及平均值,量子力学第三个基本假定：力学量和力学量算符 任一力学量 都对应于

3、一个力学量算符 ； 且 是厄米算符， ； 力学量算符 的本征值就是力学量F允许的取值； 当且仅当粒子处在 本征态时，粒子的力学量有确定值，i.e.相应的本征值。,.,量子力学第四个基本假定：力学量的平均值 量子力学中所说的力学量算符的本征波函数是完备的，i.e. 任一波函数均可用此本征波函数展开； 展开系数模平方是粒子处在该本征态的几率； 力学量在态的平均值是：,.,4.4 常见力学量算符的本征值和,常见力学量算符： 坐标： ， 任意且连续 归一化：,.,二，动量,正交归一： 经验：当本征值取连续值时，本征波函数要归一化为函数 三，轨道角动量 角动量算符及其对易关系,.,可证： 有共同的本征波

4、函数完备集,.,2. 球坐标系下，轨道角动量算符的表达式,特点 、 只与 有关，与r无关 可求 或 或 的共同本征波函数完备集。,.,3.球坐标下求解 的共同本征波函数完备集,在球坐标下有： 利用自然边界条件： 和 是同一点 得 将其带入方程并作参数变换，变形后对比Legendre方程可得： 其中 为球谐函数， 为连带Legendre多项式,.,球谐函数的性质： 正交归一性； 宇称确定； 完备性； 递推性。 升降算符 定义： 厄米共轭： 对易关系： 对于球谐函数有：,.,4.5 不确定关系,引入： 两算符 有共同本征波函数完备集的充分必要条件是： 当粒子处于算符 本征态时， 有确定值， 当粒子

5、处于算符 本征态时， 有确定值， 因此，当 时， 、 可同时有确定值 那么，当 时，两者是否可同时有确定值？ 计算可知： 此式称为测不准关系或不确定关系。,.,测不准关系的理解,测不准关系表示不论粒子处于什么状态，在任一时刻测量到的粒子力学量A与B的几率分布宽度A与B之间，存在一定的关系。若 与 不对易， 一般不为零，这时测不准关系表示乘积A与B一定大于或等于某一个正数。这表明A与B不能同时为零，粒子波函数不可能同时是 与 的本征函数，粒子不可能同时处于 与 的本征态上。,.,4.7 力学量平均值随时间的变化，守恒量,在由归一化波函数 描写的态中，力学量F的平均值 一般为时间t的函数，上式对t

6、微商，得 利用薛定谔方程及其复共轭方程，结合 是厄米算符的特点，得 如果 不含t，且 与 对易，则 ， 不随时间变化，可见，力学量算符不含t，且与 对易的条件下，无论粒子处于何态，该力学量的平均值均不随时间变化，该力学量称为守恒量。,.,讨论,在某一力场中力学量F守恒，并不表示力学量F一定去确定值fn。它仅表示无论粒子处于此力场的哪一个态上，力学量F的平均值均不随时间变化。如果t=0时粒子的F=fn，即粒子处于 的本征值为fn的本征态上，则任何时候该粒子的F都是fn，即粒子永远处于 的本征值为fn的本征态上；反之亦然。,.,4.7 维里定理与F-H定理,维里定理 维里定理包含以下两个内容： 当粒子处于势场V(r)中的束缚定态n(r)时