高考数学二轮复习 专题辅导与训练 概率、计数原理、二项式定理教学课件

1、第二讲 概率、计数原理、二项式定理,【主干知识】 1.必记公式 （1）古典概型的概率公式: P(A)_. （2）几何概型的概率公式: P（A）=_.,（3）互斥事件、对立事件的概率公式: P（AB）=_；P（A）=_. （4）排列数公式： =_ _(这里，m，nN*，且mn). （5）组合数公式： =_ =_(这里，m，nN*，且mn). =1.,P（A）+P（B）,n(n-1)(n-2)(n-m+1),(6)组合数的性质： （7）二项式定理： 定理内容(a+b)n=_. 通项公式：Tk+1=_.,2.易错提醒 （1）漏古典概型的事件数：求古典概型的概率时，计算基本事件总数与事件A所包含的基本

2、事件数，易忽视部分情况而失误. （2）忽视几何概型中的区域特征：在计算几何概型时，对应的是区间、区域还是几何体，一定要区分开来，否则结论不正确. （3）混淆事件“互斥”与“对立”的关系：两个事件互斥，不一定对立；但两个事件对立，则它们一定互斥.,（4）忽视顺序：解决排列组合问题时，不要忽视问题与顺序是否有关这一条件. （5）两个系数不要混淆：二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混，一定要区分开来.,【考题回顾】 1.（2014广东高考改编）从字母a,b,c,d,e中任取两个不同 字母，求取到字母a的概率. 【解析】因为从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母，不考虑 先后顺序共有1

3、0种取法，分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e), (b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)，其中取到字母a的 有4种：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)，所求概率为p=,2.（2014浙江高考改编）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，求不同的获奖情况有多少种（用数字作答）. 【解析】不同的获奖情况分两种，一是有一人获两张奖券， 一人获一张，共有 =36种，二是有三人各获得一张， 共有 =24种，因此不同的获奖情况有60种.,3.（2014湖北高考改编）若二项式 的展开式中 的系数是84，

4、求实数a的值. 【解析】因为Tr+1= (2x)7-r 令7-2r=-3，得r=5， 所以 22a5=84，解得a1.,热点考向一 利用古典概型求事件的概率 【考情快报】,【典题1】(2014泰安模拟)袋中有大小相同的五个小球,编号分别为1,2,3,4,5,从袋中每次任取一个球,记下其编号.若所取球的编号为奇数,则把该球编号改为6后放回袋中,继续取球;若所取球的编号为偶数,则直接放回袋中,继续取球. (1)求第二次取到编号为偶数球的概率. (2)求两次取出的球的编号之差的绝对值小于2的概率.,【信息联想】(1)看到第二次取到编号为偶数球,想到 _; (2)看到求两次取出的球的编号之差的绝对值小

5、于2的概率, 想到_.,第一次取球有两种可能,如何写出该事件所含的基本事件,【规范解答】由题意得,从5个球中任取一球,共取2次,满足条件的两球所有可能的结果有: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)共25个. (1)记“第二次取到偶数球”为事件A,则事件A包含的事件为:(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(3,2

6、),(3,4),(3,6),(4,2),(4,4),(5,2),(5,4),(5,6)共13个. 故所求事件的概率P(A)= .,(2)记“两次取出的球的编号之差的绝对值小于2”为事件B, 则事件B包含的事件为:(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2), (3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,6)共11个.故所求事件的 概率P(B)= .,【互动探究】在本例题条件下,求两次取出的球的编号之积为奇数的概率. 【解析】由例题解题过程知,基本事件的总数为25个,记“两 次取出的球的编号之积为奇数”为事件C,则事件C包含的事件 为:(1,3),(1,5),

7、(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)共6个.故所求事 件的概率P(C)= .,【规律方法】利用古典概型求事件概率的关键及注意点 (1)关键:正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数. (2)注意点:对于较复杂的题目,列出事件数时要正确分类,分类时应不重不漏. 当直接求解有困难时,可考虑求其对立事件的概率.,【变式训练】(2014韶关模拟)为调查民营企业的经营状况,某统计机构用分层抽样的方法从A,B,C三个城市中,抽取若干个民营企业组成样本进行深入研究,有关数据见下表:(单位:个),(1)求x,y的值. (2)若从城市A与B抽取的民营企业中再随机选2个进行跟踪式调研,求这2个

8、都来自城市A的概率.,【解析】(1)由题意得 所以x=56,y=2. (2)记从城市A所抽取的民营企业分别为a1,a2,a3,a4,从城市B 抽取的民营企业分别为b1,b2.则从城市A,B抽取的6个中再随 机选2个进行跟踪式调研的基本事件有: (a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4), (a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2), (b1,b2).共15个,其中都来自城市A的有: (a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4)

9、,(a3,a4),共6个.故 这2个都来自城市A的概率为,【加固训练】连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量 a(m，n)与向量b(1，-1)的夹角为，求(0， 的概率. 【解析】因为cos = 所以mn满足 条件.mn的概率为 ，mn的概率为 所以(0， 的概率为,热点考向二 利用几何概型求事件的概率 【考情快报】,【典题2】(1)(2014漳州模拟)在区间-2,3上任取一个数 a,求函数f(x)= x3-ax2+(a+2)x有极值的概率. (2)(2014辽宁高考改编)将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,求质点落在以AB为直径的半圆内的概率.,【信息联

10、想】(1)看到函数f(x)= x3-ax2+(a+2)x有极值, 想到_. (2)看到将一个质点随机投入长方形ABCD中,想到_ _; 看到质点落在以AB为直径的半圆内,想到_.,f(x)为二次函数,且f(x)=0有两个不同的零点,长方形的,面积公式,半圆面积的求法,【规范解答】(1)因为f(x)= x3-ax2+(a+2)x, 所以f(x)=x2-2ax+a+2, 又因为函数f(x)= x3-ax2+(a+2)x有极值, 所以(-2a)2-4(a+2)=4a2-4a-8 =4(a2-a-2)0, 解得a2. 又因为在区间-2,3上任取一个数a, 所以所求的概率=,（2）阴影部分为半圆，其面积

11、S阴= 12= ，长方形面 积S=21=2. 所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是,【规律方法】几何概型的适用条件及求解关键 (1)适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解. (2)关键:寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.,【变式训练】在区间0,10上随机取两个实数x,y,求事件“2x+y2”的概率.,【解析】由题意 在平面直角坐标系中作出对应的 区域,及事件“2x+y2”对应的区域,如下图所示: 所以事件“2x+y2”的概率为:,【加固训练】有一底面半径为1，高为2的圆

12、柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率.,【解析】设点P到点O的距离小于1的概率为P1，由几何概型， 故点P到点O的距离大于1的概率,热点考向三 计数原理、排列与组合的应用 【考情快报】,【典题3】(1)(2014北京高考改编)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,求不同的摆法数. (2)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x,y,z),若x+y+z是3的倍数,求满足条件的点的个数. (3)从1,3,5,7,9中任取2个数,从0,2,4,6中任取

13、2个数组成没有重复数字的四位数,若将所有个位是5的四位数从小到大排成一列,求第100个数.,【信息联想】(1)看到相邻问题,想到_;看到 不相邻问题,想到_. (2)看到若x+y+z是3的倍数,想到将_ (3)看到将四位数从小到大排成一列,想到_ _.,可用捆绑法完成,可用插空法完成,x,y,z按除以3所得余数分类.,依首位数字不同分类,求解并排序,【规范解答】（1）设这5件不同的产品分别为A,B,C,D,E， 先把产品A与产品B捆绑，有 种不同摆法，再与产品D，E 全排，有 种不同摆法，最后把产品C插空，有 种不同 摆法，所以共有 =36种不同摆法. (2)把0,1,2,3,4,5,6,7,

14、8,9按除以3所得余数分类，共分三 类：A.3k类：0,3,6,9；B.3k+1类：1,4,7；C.3k+2类： 2,5,8(kZ).则满足条件的点的个数为：,（3）形如“15”，中间所缺的两数只能从0，2，4， 6中选取，有 =12个. 形如“25”，中间所缺的两数是奇偶各一个，有 =24个. 形如“35”，同有 =12个. 形如“45”，同，也有 =24个. 形如“65”，也有 =24个， 以上5类小于7 000的数共有96个. 故第97个数是7 025，第98个数是7 045，第99个数是7 065，第100个数是7 205.,【互动探究】题（3）中组成的没有重复数字的四位数中能被5整除

15、的有多少个？ 【解析】分两类.一类形如“0”,有 =180（个）. 二类形如“5”,其中0当选有 =48个. 0不当选的有 =72个. 由分类加法计数原理得有180+48+72=300（个）.,【规律方法】 1.求解排列、组合问题的关注点 排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘. 2.排列、组合应用问题的常见解法 (1)特殊元素(特殊位置)优先安排法. (2)合理分类与准确分步法. (3)排列与组合混合问题先选后排法.,(4)相邻问题捆绑法. (5)不相邻问题插空法. (6)定序问题缩倍法. (7)多排问题一排法. (8)“小集团”问题先整体后局部法. (9)构造模型法.

16、(10)正难则反,等价转化法.,【变式训练】(2014北京模拟)科技活动后,3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生),要求6人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,求不同的站法数. 【解析】由于学生与其指导教师相邻,先将学生与其教师进 行捆绑,形成三个整体,考虑到每个整体中教师与学生的顺序, 以及三个整体的排列,因此共有 =48种不同的站法.,【加固训练】(2014肇庆模拟)已知集合A=4,B=1,2, C=1,3,5,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐 标系中的点的坐标,求确定的不同点的个数. 【解析】依题意得:三个集合中,只有集合B,C中有一个元素相 同

17、为1,则按照入选的1的个数的不同进行分类计数.当没有1入 选时,不同点的个数有 =12;当只有一个1入选时,不同点的 个数有 =18;当有2个1入选时,不同点的个数有3个.综上可知:共有33个.,热点考向四 二项式定理的应用 【考情快报】,高频考向 多维探究,命题角度一 与特定项有关的问题 【典题4】(1)(2014威海模拟)二项式 的展开式中第4项为常数项,求该常数项. (2)(2014浙江高考)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),计算f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3).,【信息联想】(1)看到展开式中第4项为常数项,想到 _. (2)

18、看到(1+x)6(1+y)4的展开式中含xmyn,想到 _.,二项展开式的通项公式,xmyn由(1+x)6(1+y)4怎样构成的,【规范解答】（1）由题意得： 的展开式的常数项 为 得n=5，故所求的常数项为T4=(-1)3 =-10. （2）由二项展开式的通项性质可知xmyn项的系数为f(m,n) = ,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=,命题角度二 与二项式系数有关的问题 【典题5】(1)在 的展开式中x3的系数等于-5，求该展开式各项的系数的最大值. （2）(2014天水模拟)二项式 的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，求其常数项.,【信息联想】(1)看到展开式中x3的系数,想到_ _. (2)看到第5项的二项式系数最大,想到_.,二项展开式,的通项公式,二项式系数的性质,【规范解答】（1）由 r=0,1,2，, 5，由5-2r=3得r=1，所以(-a) =-5a=-5，即a=1，所以 r=0,1,2，,5，当r=0时，(-1)0 =1；当r=2 时，(-1)2 =