逻辑代数和逻辑函数

1、第一章 逻辑代数和逻辑函数,逻辑代数中的公式 、定理 逻辑函数及其化简,1.1 基本和复合逻辑关系及其描述,与、或、非逻辑关系 复合逻辑关系 逻辑关系的描述,一、与、或、非逻辑关系 灯和开关 关系 与 或 非 电路符号 运算符 + 运算 乘 加 求反,二、复合逻辑关系 与、或、非、与非、或非、与或非、异或、同或 常用符号、国标、国际通用符号,三、逻辑关系的描述 逻辑符号 真值表 逻辑表达式 y(abc)=ab+bc,1.2 基本公式、常用公式、基本定理,一、基本公式（17个） 1. a+0=a a1=a 2 a+ 1 =1 a0=0 3. 4. a+b=b+a ab=ba 5. a+(b+c)

2、=(a+b)+c a(bc)=(ab)c 6. a(b+c)=ab+ac a+bc=(a+b)(a+c) 7. 8. 9. (摩根定理),二.常用公式(5个) 1. 2. 3. 4. 5.,三、基本定理 1. 反演定理 若对逻辑函数f同时进行下述六种变换 且保持原函数先后运算顺序不变,则所得函即为原函数f的反函数,记为 。 为函数中的原变量和反变量。 注意：变换过程中不是一个变量上的反号应保持不变。,例: 按反演定理得,2.对偶定理 若对逻辑函数f进行下述四种变换 且保持原函数先后运算的顺序不变,则所得函数即为原函数f的对偶函数,记为 。 按对偶规则，有,上例函数 的对偶函数为,3. 代入定理

3、 若将函数h代替一个等式中的某一个变量,则等式仍然成立。 若 则 其中,逻辑函数引出 函数表示方法 逻辑表达式种类 最小项和最大项 函数 和 形式,1.3 逻辑函数及其表示方法,一、逻辑函数引出 两个开关a，b和一个灯,多数表决电路,五门16入线 四门9入线,真值表 逻辑表达式 电路 卡诺图,二、函数表示方法,与或式（积之和） 与非与非式 或与非式 或非或式 与或非式 与非与式 或与式（和之积） 或非或非式,三、表达式种类,四、最小项和最大项,五、函数 和 形式 多数表决电路函数 最大项积形式,证明： 证：设 又因为 对 求反，有,1.4逻辑函数公式化简法,例1. 例2. 例3. 例4. 例5

4、. 例6.,1.5 逻辑函数卡诺图化简法,函数的卡诺图表示 化简函数为最简与或式 无关项函数化简 各种最简式 五变量函数化简 多输出函数化简 阻塞项化简法,一.函数的卡诺图表示法 三变量卡诺图 一方块 一最小项 和 相邻 和 相邻 和 相邻,00 01 11 10,bc,a,0 1,四变量卡诺图,00 01 11 10,cd,ab,00 01 11 10,ab,000 001 011 010 110 111 101 100,cde,00 01 11 10,五变量函数的卡诺图,三位多数表决函数,00 01 11 10,bc,a,0 1,二.化函数为最简与或式 最简与或式含义: 项数最少 每项中因

5、子数最少。 合并原理： 合并原则：两个最小项合并，可消去一个变量。 四个最小项合并，可消去二个变量。 八个最小项合并，可消去三个变量。,划圈原则： 含函数全部最小项 可重复使用多次，次数不限 含一个新方块 圈少且大,cd,ab,00 01 11 10,00 01 11 10,cd,ab,00 01 11 10,00 01 11 10,四角相邻 ！ bc圈多余！,三、无关项函数化简 无关项含义 无关项表示 无关项值：可 0，可 1,cd,ab,00 01 11 10,00 01 11 10,cd,ab,00 01 11 10,00 01 11 10,四、化简函数为各种最简式 1、最简与或非式 利

6、用卡诺图化简函数为最简与或非式时， 应在图上围绕最小项为0的方块画圈，再 按最小项合并的方式化简为最简与或式， 最后在此最简式上加反号，即得最简与或 非式。 此法可简称为“圈0加反”法。,例题分析：,00 01 11 10,cd,ab,00 01 11 10,cd,ab,00 01 10 11,00 01 10 11,2、最简或与式 最简或与式的化简可以在卡诺图上用最大项合并的方法来实现。 最大项合并的思路和方法基本同最小项的合并，合并过程遵循的原则也相同。但需注意的是，最大项是和项，在卡诺图上对应的变量为0时用原变量表示，对应的变量为1时用反变量表示。,例题分析：,00 01 11 10,c

7、d,ab,00 01 11 10,cd,ab,00 01 11 10,00 01 11 10,五、五变量函数化简 五变量函数卡诺图化简方法 和三、四变量函数的化简方法完 全一样，只是在考虑相邻方块的 合并时稍复杂。,ab,000 001 011 010 110 111 101 100,cde,00 01 11 10,五变量函数的卡诺图,32个方块以中间粗线为界分为左、 右各16块。最小项编号从m0m31。 行的相邻关系同四变量卡诺图， 从上而下为0行，1行，3行和2行。,列的排列从左至右分别为0，1，3，2， 6，7，5，4列，其相邻关系为： 0列和1，2，4列相邻； 1列和0，3，5列相邻；

8、 3列和1，2，7列相邻； 2列和0，3，6列相邻； 4列和5，6，0列相邻； 5列和4，7，1列相邻； 7列和5，6，3列相邻； 6列和7，4，2列相邻； 以最小项m0为例，其相邻的方块为m1 m2 m4 m8 和 m16共5块。m10则和m2 m8 m11 m14 m26五个方块相邻。,化简举例： 将五变量函数y 化简为最简与或式和最简或与式。,ab,000 001 011 010 110 111 101 100,cde,00 01 11 10,按最小项合并的方法,图中共画了五个圈，其中中部各由4个小方块组成的两个圈相邻为be，另外三个圈分别为 ， 和 。这样函数y的最简与或式为,ab,0

9、00 001 011 010 110 111 101 100,cde,00 01 11 10,按最大项合并的方法，图中画了三个圈，分别为 ， ， 函数最简或与式为,六、多输出函数化简法 多输出函数的化简，方法和步骤均可参照单函数的化简，不同的是，多输出函数若能在化简过程中寻找到公共项，可使电路实现时更简单些。,化简举例： y1y3为同一电路的三个输出函数。 试用最少数目的与非门实现之。,00 01 11 10,00 01 11 10,cd,ab,00 01 11 10,00 01 11 10,cd,ab,00 01 11 10,00 01 11 10,cd,ab,兼顾y1y3间能公用或部分公用

10、的圈，有： 函数 y1y3 的逻辑表达式分别为： 上述三个函数在用与非门实现时需要十个与非门，若按单函数各自化简则需十二个与非门。,七、阻塞法化简函数 输入端若只有原变量（或反变量）时，为减少反相器数量，可采用阻塞项的方法在卡诺图上进行化简。 任一函数f，若用不属于它的最小项之反 乘之，其函数不变，则 称为此函数的阻塞项，可记为,若 ， 都不是f的最小项，则有 , 均为此函数f的阻塞项. 运用阻塞项概念化简函数时，有 编号最小的最小项方格为反变量 重心（或“0”重心）； 编号最大的最小项方格为原变量 重心（或“1”重心）。,含“0”重心和“1”重心的圈为全1圈 均围绕“0”重心画的圈全用反变量

11、标注 均围绕“1”重心画的圈全用原变量标注 不考虑“0”,“1”重心随意画的圈，标注的变量中既有原变量，也有反变量,化简举例： 例1.三变量函数 化简为仅含原变量的最简与非-与非式。,00 01 11 10,0 1,bc,a,00 01 11 10,0 1,bc,a,00 01 11 10,0 1,bc,a,例2.四变量函数y 化简为仅含原变量的最简与非-与非式。,00 01 11 10,00 01 11 10,cd,ab,cd,ab,00 01 11 10,00 01 11 10,00 01 11 10,ab,cd,例3、四变量函数y 化简为仅含反变量的最简 与非与非式。,cd,ab,00 01 11 10,00 01 11 10,00 01 11 10,00 01 11 10,cd,ab,cd,ab,00 01 11 10,00 01 11 10,ab,cd,00 01 11 10,00 01 11 10,例4、四变量函数y 化简为仅含原变量的最简 或非-或非 式。 按最大项且围绕0重心画圈。,00 01 11 10,00 01 11 10,ab,cd,cd,ab,00 01 11 10,00 01 11 10,00 01 11 10,00 01 11 10,cd,ab,1.6 函数间的逻辑运算,逻辑函数间的运算规则 与运算 或运算 异或运算,例题分析: