高一基本不等式讲义

1、1平均不等式应用平均不等式应用(技巧)(技巧)平均不等式一平均不等式1.(1)如果是rba，则为abba2(2)如果是rba，则为222 baab (仅在ba的情况下为“=”)2. (1)如果是rba，则为abba2(2)，则为* rba abba2(仅在ba的情况下为“=”(ba的情况下为“=”) 2 baab (仅在ba的情况下为“=)3.rba的情况下为2 )2(仅在ba的情况下为“=)4.0x的情况下为1x2x (仅在1x的情况下为“=”)； 在0 x的情况下，1x2x (其中，仅在1x的情况下为“=”)为0 x的情况下，为111-2xxxxx，即仅在ba的情况下为“=”的5.0ab的

2、情况下，2 a b b a (其中，仅在ba的情况下为“=”的情况下，为0ab的情况下，为22-2 ababab bababa立即或(注： (1)2个正数的积是定植时，可以求出它们的和的最小值，2个正数的和是定植时，可以求出它们的积的最小值，被称为所谓的“积和最小，定积最大”，求最大值的条件“正，二定”三取等) (3)平均定理求变量值的范围，证明不等式，在解决实际问题中被广泛应用：求最大值的应用例1 :求最大值的应用例1 :求下一个函数的值域(1)y3x2x2x2x2(2)yx1x解题技术：解题技术：技巧一技巧一：凑项例1 :已知5x 技巧2 :紧凑系数：紧凑系数例1 .当时，(82 )求出y

3、xx的最大值。 变化：设定为2 3 0 x，求出函数) 23(4xxy的最大值。 2技巧3:求出分离例2 710 (1) 1 xx yx x的值域。 技巧四技巧四：换算源22 (1)7(1 10544=5 tttt yt ttt )技巧五：注意：应用最小值定理求最小值时，不能取等号，结合函数应用最小值定理求最小值时，不能取等号时，必须结合函数() afxx的单调性的单调性。 /求函数254xmix的值域。 解：若设2 4(2)xt t，则25xyx211(2)4xttx是1，1tt，但是由于1t的解不在1t区间2，所以等号不成立，考虑单调性。 由于1 yt t在区间1单调增加，因此在其子区间2

4、中是单调增加函数，因此为5-y。 因此，求出的函数的值域是5、2。 练习求以下函数的最小值，求最小值时，求x的值.1) 2 31，(0) xx yxx (2) 1，3y xxx (3)1sin，(0，) sin yxx x应用2 :条件：条件的最大值满足1 .实数满足2ba的情况下ba 33的最小值.分析： 和 因为是ba 33的值，所以考虑到使用平均定理求出最小值，ba 33都是正的，ba 33 632332 baba在ba 33时等号成立，2ba和ba 33得到1 ba时ba 33的最小值是6变量式。 如果44 loglog2xy的话，求11 xy的最小值。 然后，求x、y的值3技巧6 :

5、技巧6 :整体置换：多次用连用最值定理求最大值时，请注意等号条件的一致。 不那么做的话，就会出错的。 的双曲馀弦值。 整体置换：多次使用连用最值定理求出最值时，如果不注意取等号的条件的匹配性，就会出错。 的双曲馀弦值。 2 :求出已知的0，0xy，还有19xy、xy的最小值。 (1)求若ryx和12 yx、yx 11的最小值(ryxba，然后求1 y b x a，求yx的最小值的技术的7种技术，已知的x，y为正实数，且为正实数，求x2y21，x 分析：条件和结论分别为二次和一次，所以采用式aba 2b 2 2。另外，设简并1y 2中y2之前的系数为1 2，在x1y2x21y2x1y2下，x为1

6、2y2分别为x1y2x2(12y2)2x2y21223即x1y2x1y2y22234技巧8:已知的a， 分析：这是二元函数的最大值问题，通常有两种方法，一种是通过消元，转换成一项函数的问题，转换成一项函数的问题，用单调性或基本不等式解是对本题来说可能的第二个是直接使用基本不等式，在本题中，因为条件中有和的形式和有积的形式是众所周知的，所以一步不能求出最大值，考虑用基本不等式缩小范围，根据解不等式的途径来进行。 法律1:a302b1、ab302b b1 b2 b 230b b1是从a0获得的，其中，0b15命令tb1、1t16、ab2t 234 t 31 t2 (t16t ) 34 t 16t

7、2t8 ab18 y 18仅在t4、b3、a6中建立等号。 法律二： 30aba2b2ab2ab30ab2ab命令u ab则u22u300、5u3ab3、ab18、y 1 18分评价：本题考察不等式abba2(rba，的应用、不等式的解法和运算能力； 如何根据已知不等式230abab求ab的范围(rba，为了出发求ab的范围，寻找与abba的关系很重要，所以考虑不等式abba ) (rba，这样将已知的条件变换为包含ab的不等式，解ab的范围。 变量：变量：1.求出已知的a0、b0、ab(ab)1、ab的最小值。 2 .如果直角三角形的周长为1，则求出其面积的最大值。 4技术9、平方技术9、平

8、方技术5、已知的x、y求正实数、3x2y10、函数w 3x 2y的最大值。 解法1 :利用算术平均和平方平均之间的不均匀关系，ab2a2b2，主题是非常简单的3x2y2(3x)2(2y)2(2y)23x2y5解法2 :条件和结论都是和的形式，原封不动地应用基本不等式，把平方函数式变成积的形式，接近“和为一定值”条件。 w0，w23 x2 y 23 x2 y 1023 x2 y 10 (3x )2(2y )2(3x2y ) 20w 2025变量：求函数15 2152 () 22 yxxx的最大值。 注解：本问题以解析式的平方结构为“和为一定值”，为利用平均不等式创造了条件。 也就是说，我们在利用

9、平均不等式求最大值时，必须注意“等于一正二定三相”的同时，还必须注意几个变形技术，积极地创建条件，利用平均不等式。 应用三三：利用平均不等式证明不等式：利用平均不等式证明不等式1是cba，用两个不同实数求证明： cabcabcba 222 1)正数a、b、c满足abc1，求证明： (1a)(1b)(1c)8abc例6 :已知a、b、c 求证： 111 1118 abc分析：不等式右边的数字为8，能够联想到左边的要素能够分别使用平均不等式连乘3个“2”，并能够对112 1 abcbc aaaa进行变形而开始。 解： a、b、cr、1abc。 112 1 abcbc aaaa。 同样是12 1 ac bb、12 1 ab cc。 上述三个不等式的两侧都是正的，分别是四四：平均不等式和常数成立问题的平均不等式和常数成立问题例：应用已知的0，0xy和19xy，求出使不等式xym常数成立的实数m的可