高三数学一轮复习必备精品36：空间向量及应用

1、第三十六届空间矢量及其应用备注：【高三数学一次复习所需的精品全部42次免费下载】1 .【课标要求】(1)空间向量及其运算经历向量及其运算从平面扩展到空间的过程理解空间向量的概念，理解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示掌握空间矢量的线性运算及其坐标表示掌握空间向量的数积及其坐标表现，利用向量的数积，可以判断向量的共线和垂直。(2)空间向量的应用理解直线的方向矢量和平面的法线矢量可以用向量语言表现线、线面、面的垂直、平行关系可以用矢量法证明关于线、面的位置关系的几个定理(包括三垂线定理)用向量法解决线、线面、面的角度计算问题，可以体会向量法在研究几何问题中的作用2 .【

2、命题的方向】本课主要论述空间向量的坐标和运算、空间向量的应用。 本课是立体几何的核心内容，高考对本课的考察形式，以客观的问题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观问题利用空间向量求出角度和距离。对2010年高考本课内容的考察侧重于向量的应用，特别注重求角度，求距离，在教材上利用空间关系求角度，稀释求距离的面的说明，加大向量的应用，所以作为立体几何问题，用向量法处理角度和距离是很重要的。3 .【详细说明要点】1 .空间向量的概念向量：在空间中，具有大小和方向的量称为向量。 位移、速度、力等相等向量：长度相等、方向相同的向量称为相等向量。表现方法：用有向线段表现，用同方向等长的有向线段表现同一矢量

3、或相等矢量。说明：从相等向量的概念可以看出，无论一个向量在空间上移位到什么位置，都与原向量相同，用同方向且等长的有向线段表示的平面向量只研究同一平面内的平移，而空间向量研究空间的平移。2 .向量运算和运算率加法交换率：加法耦合率：乘数分配率：说明：让学生利用右图验证加法交换率，然后普及到首尾相接的几个向量之和向量加法的平行四边形法则在空间中也成立3 .平行向量(共线向量):如果具有表示空间向量的有向线段的直线相互平行或重叠，则这些向量称为共线向量或平行向量。 平行于记录。注意：说到“共线”，有对应有向线段的直线既可以是同一直线也可以是平行直线。我们说“平行”时，也有同样的意义。共线向量定理：空

4、间的任意两个向量(； 相对于，的满足条件是存在实数使用=注：上述定理中，性质定理：如果0，则包含=、其中唯一确定的实数。 判定定理：唯一的实数存在，=(0 )时，有(用该结论判断的话，有直线平行，或者(或)上没有的点)。关于确定的和，=表示与空间平行或同一直线，长度为|，0时表示同方向，0时表示反方向的所有矢量直线l，p是l的任意点，o是空间的任意点的话，可以根据以下定理导出公式。推论： l通过已知点a，是与已知零向量平行的直线时，对于任意点o，点p在直线l上的满足条件存在实数t，满足式，在此将向量称为直线l的方向向量。用l取的话式是当时，如果点p是线段ab的中点，则或是被称为空间直线的矢量参

5、数式，是线段ab的中点式。注意：公式(222222222222222222222222652 )推论的用途：解决三点共线问题。 符合三角形规律，记忆方程式。4 .向量平行于平面：如果表示向量的有向线段平行于平面或者在平面内，则假定向量平行于平面，因此记为。 注意：矢量与直线a的联系和差异。共面量：平行于同一平面的矢量称为共面量公共向量定理如果有两个向量，非公共线，向量和向量，公共面的满足条件是实数对x，y存在，注：和共线矢量定理一样，这个定理包含性质和判定两方面。推论：空间的一点p位于平面mab内的充分条件是存在有秩序的实数对x、y或者空间的任意点o有在平面mab中，对应于点p的实数对(x，y

6、 )是唯一的。 式称为平面mab的矢量式把-又代入，进行了整理。对于空间的任意点p，如果满足式、中的一个(它们形式不同，只有相同的式)，则点p对于位于平面mab内的平面mab内的任意点p，满足式、，因此式、都是不共通线的两个向量(或不共通线的3点m5 .空间向量的基本定理：对于三个向量，不共面，则对于空间上的任何一个向量存在唯一有序的实阵列x、y，z说明：根据上述定理，如果三个向量、不一致，所有的空间向量构成的集合都可以视为该集合是由向量、生成的，所以把、称为空间的一个基础。 (1)空间中的任何三个不共享向量可以是空间向量的一个基础；(2)一个基础是指一组向量，一个基础向量是指具有基础的向量，

7、两者是相关联的不同概念；(3)可视为与任何非零向量的共线。 由于与任何两个非零向量同一平面，所以三个向量不同一意味着两者都不同。推论：如果将o、a、b、c设为非面的4点，则对于空间的任何点p，都存在唯一有秩序的实数组，6 .数量积(1)角度：已知两个零以外的向量，在空间的任意点取o时，角度aob称为和向量的角度，并记为甲组联赛乙级联赛o.o(1)o.o甲组联赛乙级联赛(2)甲组联赛乙级联赛o.o(3)说明：规定0n，因此=；=，说它们互相垂直，记作。甲组联赛乙级联赛o.o(4)在表示两个矢量的角度时，注意图(3)、(4)的两个矢量的角度不同，以使有向线段的起点不重叠图(3)中aob=图(4)中

8、aob=成为(2)向量的模型：把表示向量的有向线段的长度称为向量的长度或者模型。(3)向量的数积：称为向量、的数积。甲组联赛乙级联赛l即=矢量：(4)性质和运算率。 =0 =4 .【典型的解析】问题类型1 :空间向量的概念和性质例1 .有如果向量和哪个向量不能构成一组空间向量的基底，则关系是不共线这一命题是空间的4点，向量不构成空间的一个基底，所以点必定是一个面的如果已知向量是空间的基底，则向量也是空间的基底。 其中正确的命题是()、解析：因为“如果向量和任何向量都不能构成一组空间向量的基础，关系一定在同一线上”所以是错误的。 正确。点评：这个问题以给出命题的形式考察了空间向量成为一组基础的条

9、件，所以我们必须把握空间上的非面和非线性的区别和联系以下命题正确的是()共线、共线、共线时，共线矢量的同一平面是它们所在的直线的同一平面零向量没有确定方向。如果是，则存在唯一的实数解析：请注意，a中的向量为零向量时，b中的向量共线、共面和直线共线、共面不同。 在d中，你需要保证不是零向量。答案c。评分：零向量是一种特殊的向量，经常考虑零向量这一特殊情况有助于解决问题。 零向量和任意向量的共线等性质必须并存问题类型2 :空间向量的基本运算图：长方体中与的交点。 在、的情况下，以下向量中相等的向量是()分析：很明显答案是a。评分：模拟平面向量表现平面位置关系过程，掌握空间向量的用途。 用向量的方法

10、处理立体几何问题，将复杂的线面空间关系代数化，在本问题中基本向量相等，与向量相加。 调查学生的空间想象力众所周知：而且不一致.如果，求出的值解：喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓没有共同之处点评：空间向量在运算时，关注如何实施空间向量共线定理。问题类型3 :空间向量的坐标已知(1个零以外向量=(a1，a2，a3 )、=(b1，b2，b3 )，它们的平行的满足条件为()a.|=:|b.a1b1=a2b2=a3b3存在c.a1b1 a2b2 a3b3=0d .零以外的实数k，设为=k(2)已知向量=(2，4，x )，=(2，y，2 )|=6，2222222222222652a. -3或1 b.3或-1 c. -

11、3 d.1(3)以下各组的向量共面的是()a.=(1，2，3 )、=(3，0，2 )、=(4，2，5 )b.=(1，0，0 )，=(0，1，0 )，=(0，0，1 )c.=(1，1，0 )，=(1，0，1 )，=(0，1，1 )d.=(1，1，1 )，=(1，1，0 )，=(1，0，1 )解析： (1)d点刻度盘：从共线矢量的线性容易理解(2)a点拨号：从问题中知道吗？(3)a点拨号：从共同指向量的基本定理中得到评价：空间矢量的坐标运算除了数量积，考察共线、垂直时的参数的取法例6 .已知空间中的三点a (-2，0，2 )，b (-1，1，2 )，c (-3，0，4 )。 如果作为=，=，(1)

12、合计角度的(2)向量k和k-2相互垂直，则求出k的值.思考入门指导：本问题考察矢量角度式和垂直条件的应用，应用式就能得到要求的结果解： a (-2，0，2 )，b (-1，1，2 )，c (-3，0，4 )，=，=，=(1，1，0 )，=(-1，0，2 )(1)cos=-，和的角度是-。(2)k=k (1，1，0 ) (-1，0，2 )=(k-1，k，2 )k-2=(k 2，k，-4)且k )(k-2 )(k-1，k，2)(k 2，k，-4)=(k-1)(k 2) k2-8=2k2 k-10=0。k=-或k=2。点拨号：第(2)的问题在解答时也能遵循运用规律。 () (k-2)=k22-k-2

13、2=2k2 k-10=0、解k=-或k=2。问题类型4 :数量积例72009江西卷文)如图所示，四面体截面为正方形，下面的命题错误.断面不同面的直线所成的角是回答： c因为可以从由、1111111空中苍蝇6 获得截面，所以是正确的。与异面直线所成的角相等，所以是正确的以上是错误的，请选择评分：本问题调查平面向量的数积和运算律(1)将与向量的角度设为则解：与向量的角度，22222222222222222226(2)空间的两个不同的单位向量=(x1，y 1，0 )、=(x2，y 2，0 )和向量=(1，1，1 )所成的角全部相等。 求出(x1 y1和x1 y1的值)，的大小(其中0 ，)。解析(2

14、)解： (1)2222222222222222222222222另外，与-所成的角度为8756；=|cos=另外=x1 y1， x1y1=。另外，xy=(x1y1)2- 2x1y1=1，8756； 2x1y1=()2-1=.x1y1=。(2)从cos、=x1x2 y1y2、(1)可知，x1 y1=、x1y1=.mmmmmmmmm x1、y1是方程式x2-x=0的解.或同样可以得到；或92222222222222653cos，=cos0，=。评论：本问题考察向量数积的算法问题类型5 :空间向量的应用例9.(1、b、c为正数，且a b c=1，要求证据：4。已知有(f1=i 2j 3k，f2=-2

15、i 3j-k，f3=3i-4j 5k，当f1、f2、f3作用于同一物体时，使物体从点m1(1，- 2，1 )移动到点m2(3，1，2 )，求出物体的合力的功能。解析：设(1)为=(，)，=(1，1，1 )|=4，|=4。22222222222222222226=|=4。在=的情况下，即在a=b=c=的情况下，取“=”。(2)解： w=fs=(f1 f2 f3)=14。评分：如果=(x，y，z )，=(a，b，c )的话，则为|，ax by cz)2(a2 b2 c2)(x2 y2 z2 )。 这个公式也被称为柯西不等式(n=3)。 本文研究了|的应用，解决问题时首先根据问题构建条件向量，并结合数量积的性质进行运算。 空间向量的数积对应工作问题如图所示，在直三角柱中，求证明书：证明：同一类别又来了作为中点又来了对焦评价：从上述例子可以看出，利用空间向量解决位置关系问题需要空间多边形法则、向量运算、数量乘积和平行、相等的垂直条件1 .过abc的重心任务是直线，ab，ac在点d、e。(a )四(b )三(c )二(d )一解析：abc为正三角形时，选择容易得到=3.b评价：本问题调查向量相关知识，用通常的方法难以处理，用特殊值的思想容易处理，调查学生灵活处理问题的能力