高中数学抽象函数、复合函数综合练习试题

1、抽象函数专题训练1 线性函数型抽象函数【例题1】已知函数对任意实数，均有，且当时，求在区间上的值域。 【例题2】已知函数对任意实数，均有，且当时，求不等式的解。2 指数函数型抽象函数【例题3】已知函数定义域为r，满足条件：存在，使得对任何和，成立。 求：（1）(2) 对任意值,判断值的正负。【例题4】是否存在函数满足下列三个条件：同时成立？ 若存在，求出的解析式，若不存在，说明理由。3 对数函数型抽象函数【例题5】设定义在上的单调增函数，满足，。 求：（1）(2) 若求的取值范围。4 三角函数型抽象函数【例题6】已知函数的定义域关于原点对称，且满足下列三个条件：当是其定义域中的数时，有（，是定

2、义域中的一个数）当时，试问：（1） 的奇偶性如何？说明理由。（2） 在上，的单调性如何？说明理由。5 幂函数型抽象函数【例题7】已知函数对任意实数，均有，且当时，.(1) 判断的奇偶性；(2) 判断在的单调性，并给出证明；(3) 若，且，求的取值范围。练习：2010省市部分试题1.（上海十四校联考）已知上的函数，且都有下列两式成立：的值为 答案 12已知是定义在r上的不恒为零的函数，且对于任意实数、满足：，（），考察下列结论，；为偶函数；数列为等差数列；数列为等比数列，其中正确的是_（填序号）答案 3.（岳阳联考题）若是定义在上的函数，对任意的实数，都有 和且，则的值是（ ）a2008 b20

3、09 c2010 d2011 答案 c4(成都市石室中学高三三诊模拟)定义在0，1上的函数满足，且当时，等于（ c ）abcd5.（安徽两地三校联考）定义在r上的函数y=f(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、br，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的xr，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是r上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。解 （1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时，f(x)10，当x0，f(-x)0

4、又x=0时，f(0)=10对任意xr，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在r上是增函数（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在r上递增由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 0x 又底数 即 在上是减函数同理可证：在上是增函数例2、讨论函数的单调性.解由得函数的定义域为则当时，若，为增函数，为增函数.若，为减函数.为减函数。当时，若，则为减函数，若，则为增函数.例3、.已知y=(2-)在0，1上是x的减函数，求a的取值范围.解：a0且a1当a1时，函数t=2-0是

5、减函数由y= (2-)在0，1上x的减函数，知y=t是增函数，a1由x0，1时，2-2-a0,得a2,1a2当0a0是增函数由y= (2-)在0，1上x的减函数，知y=t是减函数，0a1由x0，1时，2-2-10, 0a1综上述，0a1或1a2例4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。解析由已知，得，其中 即，解得为负整数，即 ，假设存在实数，使得满足条件，设，当时，为减函数，,当时, 增函数,.由、可知，故存在（5）同步练习：1函数y（x23x2）的单调递减区间是（）a（，1）b（2，）c（，）d（，）解析：先求函数定

6、义域为（o，1）（2，），令t（x）x23x2，函数t（x）在（，1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y（x23x2）在（2，）上单调递减答案：b2找出下列函数的单调区间.（1）；（2）答案：(1)在上是增函数，在上是减函数。（2）单调增区间是，减区间是。3、讨论的单调性。答案：时为增函数，时，为增函数。4求函数y（x25x4）的定义域、值域和单调区间解：由（x）x25x40，解得x4或x1，所以x（，1）（4，），当x（，1）（4，），x25x4r，所以函数的值域是r因为函数y（x25x4）是由y（x）与（x）x25x4复合而成，函数y（x）在其定义域上是单

7、调递减的，函数（x）x25x4在（，）上为减函数，在，上为增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y（x25x4）的增区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4也为减函数的区间，即（，1）；y（x25x4）的减区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4为增函数的区间，即（4，）变式练习一、选择题1函数f（x）的定义域是（）a（1，）b（2，）c（，2）d解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以解得1x2答案：d2函数y（x23x2）的单调递减区间是（）a（，1）b（2，）c（，）d（，）解析：先求函数定义域为（o，1）（2，），令t（x）x23x2，函

8、数t（x）在（，1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y（x23x2）在（2，）上单调递减答案：b3若2（x2y）xy，则的值为（）a4b1或c1或4d错解：由2（x2y）xy，得（x2y）2xy，解得x4y或xy，则有或1答案：选b正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x2y0，所以x2y所以xy舍掉只有x4y答案：d4若定义在区间（1，0）内的函数f（x）（x1）满足f（x）0，则a的取值范围为（）a（0，）b（0，）c（，）d（0，）解析：因为x（1，0），所以x1（0，1）当f（x）0时，根据图象只有02al，解得0a（根据本节思维过程中第四条提到的

9、性质）答案：a5函数y（1）的图象关于（）ay轴对称bx轴对称c原点对称d直线yx对称解析：y（1），所以为奇函数形如y或y的函数都为奇函数答案：c二、填空题已知y（2ax）在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是_解析：a0且a1（x）2ax是减函数，要使y（2ax）是减函数，则a1，又2ax0a（0x1）a2，所以a（1，2）答案：a（1，2）7函数f（x）的图象与g（x）（）x的图象关于直线yx对称，则f（2xx2）的单调递减区间为_解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）x则f（2xx2）（2xx2），令（x）2xx20，解得0x2（x）2xx2在（0，1）上单调递增，则f

10、（x）在（0，1）上单调递减；（x）2xx2在（1，2）上单调递减，则f（x）在1，2）上单调递增所以f（2xx2）的单调递减区间为（0，1）答案：（0，1）8已知定义域为r的偶函数f（x）在0，上是增函数，且f（）0，则不等式f（log4x）的解集是_解析：因为f（x）是偶函数，所以f（）f（）0又f（x）在0，上是增函数，所以f（x）在（，0）上是减函数所以f（log4x）0log4x或log4x解得x2或0x答案：x2或0x三、解答题9求函数y（x25x4）的定义域、值域和单调区间解：由（x）x25x40，解得x4或x1，所以x（，1）（4，），当x（，1）（4，），x25x4r，所以函

11、数的值域是r因为函数y（x25x4）是由y（x）与（x）x25x4复合而成，函数y（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）x25x4在（，）上为减函数，在，上为增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y（x25x4）的增区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4也为减函数的区间，即（，1）；y（x25x4）的减区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4为增函数的区间，即（4，）10设函数f（x），（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f（x）的反函数f1（x），问函数yf1（x）的图象与x轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无

12、交点，说明理由解：（1）由3x50且0，解得x且x取交集得x（2）令（x）3x5，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；1随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数又ylgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y是减函数，所以f（x）是减函数（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解设函数f（x）的反函数f1（x）与工轴的交点为（x0，0）根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0所以函数yf1（x）的图象与x轴有交点，交点为（，0）。一指数函数

13、与对数函数 同底的指数函数与对数函数互为反函数；（二）主要方法：1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3比较几个数的大小的常用方法有：以和为桥梁；利用函数的单调性；作差（三）例题分析：例1（1）若，则，从小到大依次为 ； （2）若，且，都是正数，则，从小到大依次为 ； （3）设，且（，），则与的大小关系是 （ ） （） （） （） （）解：（1）由得，故 （2）令，则， ，； 同理可得：，（3）取，知选（）例2已知函数，求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根证明：（1）设，则，；，且，即，函数在上为增函数；（2）假设是方程的负数根，且，则， 即， 当时，而由知，式不成立； 当时，而，式不成立