高考总复习——第一章 集合与简易逻辑

1、 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用韦恩(venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合之间的关系，考查利用所学的

2、知识对集合的性质进行初步探究的基本逻辑能力如(理)2012年全国t1，江西t1等(文)2012年天津t9等2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面：(1)判断给定两个集合之间的关系，主要是子集关系的判断如(文)2012年全国t1，福建t1，湖北t1等(理)2011北京t1.(2)以不等式的求解为背景，利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围问题3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数的定义域或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算，以补集与交集的基本运算为主，考查借助数轴或venn图进行集合运算的数形结合思想和基本运算能力如(理)2012北京t1、陕西t1、山

3、东t1等(文)2012陕西t1、上海t2等.归纳知识整合1元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性(2)集合与元素的关系：若a属于a，记作aa；若b不属于a，记作ba.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号nn*或nzqr探究1.集合ax|x20，bx|yx2，cy|yx2，d(x，y)|yx2相同吗？它们的元素分别是什么？提示：这4个集合互不相同，a是以方程x20的解为元素的集合，即a0；b是函数yx2的定义域，即br；c是函数yx2的值域，即cy|y0；d是抛物线yx2上的点组成的集合20与集合0是什

4、么关系？与集合呢？提示：00，或2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合a与集合b中的所有元素都相同ab且baab子集a中任意一个元素均为b中的元素ab或ba真子集a中任意一个元素均为b中的元素，且b中至少有一个元素不是a中的元素ab或ba空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集ab(b) 探究3.对于集合a，b，若abab，则a，b有什么关系？提示：ab.假设ab，则abab，与abab矛盾，故ab.3集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示abab若全集为u，则集合a的补集为ua图形表示意义x|xa，或xbx|xa，且xbuax|xu，且xa探究4.同一个集合

5、在不同全集中的补集相同吗？提示：一般情况下不相同，如a0,1在全集b0,1,2中的补集为ba2，在全集d0,1,3中的补集为da3 自测牛刀小试1(2012山东高考)已知全集u0,1,2,3,4，集合a1,2,3，b2,4，则(ua)b为()a1,2,4b2,3,4c0,2,4 d0,2,3,4解析：选c由题意知ua0,4，又b2,4，所以(ua)b0,2,42(教材改编题)已知集合ax|2x33x，bx|x2，则()aab bbacarb dbra解析：选bax|2x33，bx|x2，ba.3已知集合m1，m2，m24，且5m，则m的值为()a1或1 b1或3c1或3 d1，1或3解析：选b

6、51，m2，m24，m25或m245，即m3或m1.当m3时，m1,5,13；当m1时，m1,3,5；当m1时m1,1,5不满足互异性m的值为3或1.4(教材改编题)已知集合a1,2，若ab1,2，则集合b有_个解析：a1,2，ab1,2，ba，b，1，2，1,2答案：45已知集合ax|a1xa1，bx|x25x40，若ab，则实数a的取值范围是_解析：bx|x25x40x|x4，或x1，且ab，即2ay，当y1时，x可取2,3,4,5，有4个；y2时，x可取3,4,5，有3个；y3时，x可取4,5，有2个；y4时，x可取5，有1个故共有123410(个)法二：因为a中元素均为正整数，所以从a

7、中任取两个元素作为x，y，满足xy的(x，y)即为集合b中的元素，故共有c10个(文)集合z|zxy，xa，yb1,1,3故所求集合中元素的个数为3.(2)9(ab)，9a且9b，2a19或a29.a5或a3.当a5时，a4,9,25，b0，4，9，符合题意；当a3时，a4,5,9，b不满足集合中元素的互异性，故a3；当a3时，a4，7,9，b8,4,9，符合题意a5或a3.答案(1)(理)d(文)c(2)5或3本例(2)中，将“9(ab)”改为“ab9”，其他条件不变，则实数a为何值？解：ab9，9a且9b，2a19或a29，即a5或a3.当a5时，a4,9,25，b0，4,9，ab4,9，

8、不满足题意，a5.当a3时，a4,5,9，b2，2,9，不满足集合中元素的互异性，a3.当a3时，a4，7,9，b8,4,9，ab9，符合题意，综上a3. 解决集合问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性1(1)已知非空集合axr|x2a1，则实数a的取值范围是_(2)已知集合ax|x22xa0，且1a，则实数a的取值范围是_解析：(1)集合axr|x2a1为非空集合，a10，即a1.(2)1x|x22xa0，1x|x22xa0

9、，即12a0，a1.答案：(1)1，)(2)(，1集合间的基本关系例2已知集合ax|0ax15，b，若ab，则实数a的取值范围是_自主解答a中不等式的解集应分三种情况讨论：若a0，则ar；若a0，则a.当a0时，若ab，此种情况不存在当a0时，若ab，如图，则即又a0，a0时，若ab，如图，则即又a0，a2.综上知，当ab时，a8或a2.答案(，8)2，)保持例题条件不变，当a满足什么条件时，ba?解：当a0时，显然ba；当a0时，若ba，如图，则即又a0，a0时，若ba，如图， 根据两集合的关系求参数的方法已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的

10、关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论2(文)已知集合a2,3，bx|mx60，若ba，则实数m等于()a3b2c2或3 d0或2或3解析：选d当b时，m0，显然成立；当b2时，2，即m3；当b3时，3，即m2.故m0或2或3.2(理)若集合ax|x2ax10，xr，集合b1,2，且ab，则实数a的取值范围是_解析：(1)若a，则a240，解得2a0，nx|x24，则mn()a(1,2) b1,2)c(1,2 d1,2(2)(2013威海模拟)已知集合a1,2a，ba，b，若ab，则ab()a. b.c. d.(3)(2013武汉模拟)已知a，b均为

11、集合u1,2,3,4,5,6的子集，且ab3，(ub)a1，(ua)(ub)2,4，则b(ua)_.自主解答(1)(理)a，bx|x3，abx|x3(文)由lg x0x1，mx|x1，由x242x2，nx|2x2，mnx|x1x|2x2x|1x2(2)由ab得2a，解得a1，则b.所以a，b，则ab.(3)依题意及韦恩图得，b(ua)5,6答案(1)(理)d(文)c(2)d(3)5,61.集合的运算口诀集合运算的关键是明确概念.集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于a且属于b；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集u是大范围，去掉u中a元素，剩余元素成补集.2.解决集合的混合运算的方

12、法解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解.3(文)(2013枣庄模拟)已知全集uz，集合ax|x2x，b1,0，1,2，则图中阴影部分所表示的集合为()a1,2 b1,0c0,1 d1,2解析：选a由题易得集合a0,1，图中阴影部分所表示的集合是不在集合a中，但在集合b中的元素的集合，即(ua)b，易知(ua)b1,2故图中阴影部分所表示的集合为1,23(理)(2013南昌模拟)已知全集ur，函数y的定义域为m，nx|log2(x1)1，则如图所示阴影部分所表示的集合是()ax|2x

13、1 bx|2x2cx|1x2 dx|x0)的图象都关于直线yx对称3在解决以集合为背景的创新交汇问题时，应重点关注以下两点(1)认真阅读，准确提取信息，是解决此类问题的前提如本题应首先搞清集合a与b的性质，即不等式表示的点集(2)剥去集合的外表，将陌生转化为熟悉是解决此类问题的关键，如本题去掉集合的外表，将问题转化为求解不等式组表示的平面区域问题1已知a(x，y)|y|ln x|，b，则ab的子集个数为()a3b4c2d8解析：选bab中元素的个数就是函数y|ln x|的图象与椭圆1的交点个数，如图所示由图可知，函数图象和椭圆有两个交点，即ab中有两个元素，故ab的子集有224个2设集合my|

14、y|cos2xsin2x|，xr，n，则mn为()a(0,1) b(0,1c0,1) d0,1解析：选cy|cos2xsin2x|cos 2x|，且xr，y0,1，m0,1在n中，xr且 ，|xi| ，x212，解得1x1，n(1,1)mn0,1)3设ma|a(2,0)m(0,1)，mr和nb|b(1,1)n(1，1)，nr都是元素为向量的集合，则mn()a(1,0) b(1,1)c(2,0) d(2,1)解析：选c设c(x，y)mn，则有(x，y)(2,0)m(0,1)(1,1)n(1，1)，即(2，m)(1n,1n)，所以由此解得n1，m0，(x，y)(2,0)，即mn(2,0)(限时：4

15、5分钟满分81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2012辽宁高考)已知全集u0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合a0,1,3,5,8，集合b2,4,5,6,8，则(ua)(ub)()a5,8b7,9c0,1,3 d2,4,6解析：选bua2,4,6,7,9，ub0,1,3,7,9，则(ua)(ub)7,92已知s(x，y)|y1，xr，t(x，y)|x1，yr，则st()a空集 b1c(1,1) d(1,1)解析：选d集合s表示直线y1上的点，集合t表示直线x1上的点，st表示直线y1与直线x1的交点3已知集合a1,3，b1，m，aba，则m()a0或 b0或3

16、c1或 d1或3解析：选b由aba得ba，有ma，所以有m或m3，即m3或m1或m0，又由集合中元素互异性知m1.4设集合ax|1x4，集合bx|x22x30，则a(rb)()a(1,4) b(3,4)c(1,3) d(1,2)(3,4)解析：选bbx|1x3，a(rb)x|3x45(2012湖北高考)已知集合ax|x23x20，xr，bx|0x0x|1x1，则u1x2(0,1，所以by|yf(x)y|y0，ab(，1)，ab(1,0，故图中阴影部分表示的集合为(，1(0,1)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7若1，则实数a的值为_解析：若a31，则a4，此时1a2117不符

17、合集合中元素的互异性；若11，则a，符合条件；若a211，则a0，此时11，不符合集合中元素的互异性综上可知a.答案：8(文)设集合u1,2,3,4，mxu|x25xp0，若um2,3，则实数p的值为_解析：由条件可得m1,4，把1代入x25xp0，可得p4，再检验可知结论成立答案：48(理)(2012天津高考)已知集合axr|x2|3，集合bxr|(xm)(x2)0，且ab(1，n)，则m_，n_.解析：axr|x2|3xr|5x1，由ab(1，n)可知m1，则bx|mx2，画出数轴，可得m1，n1.答案：119(2013合肥模拟)对于任意的两个正数m，n，定义运算：当m，n都为偶数或都为奇

18、数时，mn，当m，n为一奇一偶时，mn，设集合a(a，b)|ab6，a，bn*，则集合a中的元素个数为_解析：(1)当a，b都为偶数或都为奇数时，6ab12，即2104866111395712，故符合题意的点(a，b)有25111个(2)当a，b为一奇一偶时，6ab36，即1363124936，故符合题意的点(a，b)有236个综上可知，集合a中的元素共有17个答案：17三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10ax|2x1，bx|ax2，abx|1x3，求实数a，b的值解：abx|1x2，2a1，又abx|1x3，1a5a，a3；当b2时，解得a3，综上所述，所求a的取值范围为

19、a|a311(理)已知集合ax|x26x80，bx|(xa)(x3a)0(1)若ab，求a的取值范围；(2)若ab，求a的取值范围；(3)若abx|3x4，求a的取值范围解：ax|x26x80，ax|2x0时，bx|ax3a，应满足a2；当a0时，bx|3ax0时，bx|ax3a，a4或3a2.0a或a4；当a0时，bx|3axa，a2或3a4.a0时成立，综上所述，a或a4时，ab.(3)要满足abx|3x4，显然a3.12(理)设集合ax|1x2，bx|x2(2m1)x2m0(1)当m时，化简集合b；(2)若aba，求实数m的取值范围；(3)若rab中只有一个整数，求实数m的取值范围解：不

20、等式x2(2m1)x2m0(x1)(x2m)0.(1)当m时，2m1，集合bx|2mx1(2)若aba，则ba，ax|1x2，当m时，bx|2mx1，此时12m1m时，bx|1x2m，此时12m2m1；综上所述，m的取值范围是m1.(3)ax|1x2，rax|x2，当m时，bx|2mx1，若rab中只有一个整数，则32m2m时，bx|1x2m，若rab中只有一个整数，则32m4m2.综上所述，m的取值范围是m1或a2，得a2.a的取值范围是(，32，)1已知集合m1,0,1，nx|xab，a，bm，且ab，则集合m与集合n的关系是()amn bmncnm dmn解析：选c由于m1,0,1，所以

21、x0，1，故n0，1，所以nm.2设全集ur，ax|x23x0，bx|x0bx|3x1cx|3x0dx|x1解析：选b依题意得集合ax|3x0，所求的集合即为ab，所以图中阴影部分表示的集合为x|3x13若集合ax|x1，b0,1,2，则下列结论正确的是()aabx|x0 bab1,2c(ra)b0,1 da(rb)x|x1解析：选b依题意得，abx|x10，ab1,2，(ra)b0，a(rb)(，0)(0，)，因此结合各选项知，选b.4已知集合ax|log2x2，b(，a)，若ab，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_.解析：ax|log2x2x|0b”是“a2b2”的必要条件；“|a|b

22、|”是“a2b2”的充要条件；“ab”是“acbc”的充要条件其中是真命题的是()a bc d解析：选bab/ a2b2，且a2b2/ ab；故不正确；a2b2 |a|b|，故正确；“ab”acbc，且acbcab，故正确3命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是()a若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数b若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数c若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数d若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：选b原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是b选项4(2012湖南高考)命题“若，则tan

23、 1”的逆否命题是()a若，则tan 1 b若，则tan 1c若tan 1，则 d若tan 1，则解析：选c命题“若，则tan 1”的逆否命题是“若tan 1，则”5(文)(2012天津高考)设xr，则“x”是“2x2x10”的()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件解析：选a由不等式2x2x10，即(x1)(2x1)0，得x或x可以得到不等式2x2x10成立，但由2x2x10不一定得到x，所以“x”是“2x2x10”的充分不必要条件5(理)(2012天津高考)设r，则“0”是“f(x)cos (x)(xr)为偶函数”的()a充分而不必要条件b必要而不充分条

24、件c充分必要条件d既不充分也不必要条件解析：选a因为f(x)是偶函数k，kz，所以“0”是“f(x)是偶函数”的充分而不必要条件四种命题及其真假判断例1在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20平行，则a1b2a2b10”那么f(p)等于()a1b2c3d4自主解答原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题而其逆命题是：若a1b2a2b10，则两条直线l1与l2平行，这是假命题，因为当a1b2a2b10时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f(p)

25、2.答案b判断四种命题间的关系的方法(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”(2)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或n个)作为大前提1设原命题是“当c0时，若ab，则acbc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假解：“当c0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是ab，结论是acbc.因此它的逆命

26、题：当c0时，若acbc，则ab.它是真命题；否命题：当c0时，若ab，则acbc.它是真命题；逆否命题：当c0时，若acbc，则ab.它是真命题充分条件、必要条件的判断例2(1)(文)(2012浙江高考)设ar，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x2y40平行”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件(理)(2012浙江高考)设ar，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件(2)下面四个条件中，使ab成立的充分不必要的条件是()aab1

27、 bab1ca2b2 da3b3自主解答(1)(文)“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x2y40平行”的充要条件由，解得a1.(理)“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的充要条件是：由，解得a2或1.故“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的充分不必要条件(2)ab1ab10ab，但a2，b1满足ab，但ab1，故a项正确或用排除法：对于b，ab1不能推出ab，排除b；而a2b2不能推出ab，如a2，b1，(2)212，但2ba3b3，它们互为充要条件，排除d.答案(1)(文)c(理)a(2)a充分条件、必要条件的判断方法判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条