大学物理实验误差与数据处理

1、.,第五节 测量结果的评定中心内容,1. 不确定度(Uncertainty),不确定度是近似于不确知、不明确、不可靠、有质疑。不确定度定义为测量结果带有的一个参数，用以表征合理赋予被测量量的分散性，它是被测量客观值在某一量值范围内的一个评定。表示由于测量误差存在而对测量值不能确定的程度。,真值x0以某一概率落到这个范围内,不确定度,这表明待测量x 以某一概率落到,范围内。,.,2. 不确定度的表示按照数据的性质分类,（1）类不确定度：,类不确定度是可用统计的方法计算的不确定度。用 表示类不确定度，其计算公式也就是计算测量列随机误差里算术平均值的标准偏差的公式。,即,若有若干个A类不确定度，且这

2、些分量彼此独立，那么总的A类不确定度为：,为提高测量数据的可信度，使置信概率P95%，我们规定 （在测量次数为5-10，直接可用函数计算器算出）。,.,类不确定度比较复杂。 在本课中主要考虑由仪器误差引起的类不确定度。但仪器误差所给出的值一般都是误差限，即“极限误差” ，其置信概率不一定合适，为了能够将两类不确定度合成为总不确定度，可近似地将 除以一个系数c ，作为B类不确定度：,c的取值大小，取决于所用的仪器。 我们实验中取c, 那么,测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度 。,（2）类不确定度：,.,不确定度的合成（总不确定度）,3. 直接测量的结果表示,对物理量A进行测量，

3、如果对可定系统误差已经消除或修正，则测量结果应表示为：,A的真实值落在 的可能性为95%以上时 可以不必标注概率P的值。,.,例3用50分度的卡尺测一长度，7次测量的结果（单位：mm）分别为：39.70, 39.72, 39.68, 39.70, 39.74, 39.72, 39.68。 已知卡尺的仪器误差0.02 mm，且服从均匀分布，写出测量结果的表达式。,解：,L平均值,A类不确定度,B类不确定度,.,总不确定度：,测量结果：,L=39.710.04 （mm) E=0.010%,4.间接测量结果的表示方法(误差传递与合成),间接测量结果的表达式仍是：,如何计算它的不确定度U？,.,（1）

4、 间接测量列的不确定度P17,假定间接测量列Y是通过各直接测量列X测量的，它们的函数关系为,则其平均值(近真值)为,求全微分得,假设间接测量列 Y 的各直接测量列 xi 之间相互独立，且各直接测量列 xi的合成不确定度分别为,不确定度U和dY， dx1 ， dx2，.， dxn，都是微小变量，我们分别用U代替,.,则 Y 的合成不确定度的计算公式为：,函数 f 对各变量的偏微商,误差传递系数,.,相对合成不确定度：,如,分别用不确定度U代替微分的微小量,并分别平方、开方得,若是乘除关系则先求相对不确定度,再求合成不确定度方便.,若x1,x2, x3,x4 是独立相互加减的关系,那么先计算间接测

5、量列的合成不确定度，再求相对不确定度方便.,具体问题具体分析！,.,注意，这是函数 f 的自然对数对各自变量的偏微商。,（2）间接测量结果的表示 P18 与直接测量结果表示的方式是一样的。,那么合成不确定度就是,例4 利用单摆实验测重力加速度,.,直接测量量为 l 和 T，测得: 69.00 cm , Ul = 0.22 cm = 1.688 s , UT = 0.007 s,测量结果：,.,第六节有效数字及其运算规则,1.有效数字的概念,有效数字就是表示测量或计算结果的数字，它是由几位可靠数字和最后一位可疑数字组成。测量数据本身就带有较强的物理意义！ 1.32545 24.675 65890

6、 0.579 0.000982 0.21067,(1) 直接测量结果的有效数字的位数与测量仪器的最小分度值有关。测量结果直接反映了测量仪器的精度。,一般在最小刻度以下再估读一位数，大学物理实验中要求估读最小刻度的1/10。,3.7（格） 3.70（格）,.,(2) 测量量单位的变化只改变有效数字中小数点的位置，而不改变有效数字的位数。如测得某电流强度为2.0A，其有效位数为2位，若以mA为单位写成2000mA，则是错误的。应取科学记数法表示有效数字，2.0103mA，有效位数仍为2. (3) 无论直接或间接测量的结果，其主值（平均值）位数取舍的依据是：它的末位必须与不确定度所在的位对齐。 (4

7、) 测量结果的有效数字：不确定度取-位，相对误差取位，其尾数的舍入规则是：只入不舍。 判断以下测量结果表达得是否正确： I=1.0120.123 (A) U=1.0120.0004 (V) f=（3.450.006）103 （ Hz） T=9.03 0.01 M=1.010.03（g）,.,2. 数字的修约(取舍),进行数据处理必须对数字修约，数字修约规则有多种，此处只介绍常用的所谓“四舍五入法”，这也是我们大学物理实验中规定采用的。,.,四舍五入规则,若数字的有效位数为N，需修约为n位(nN)，或截取为n位，则称此n位数为保留数字；称第n+1位及其之后的全部数字为舍去数字。四舍五入规则为：

8、大于5上入 例如:4.509=4.51 5.6678=5.67 小于5下舍 例:4.7149999=4.71 整五凑偶 5后面是“0”时：1.保留数最末位是偶数时，保留数不变；2.保留数最末位是奇数时，则保留数最末位数字加1。 5后面还有任何非“0”数值时，则保留数最末位数字均加1。,.,例：将下表中各数字按四舍五入规则修约为三位有效数字（即取修约间隔或称修约区间为0.01），则：,.,3.有效数字的运算规则,(1) 可靠与可靠运算可靠； (2) 可靠与可疑或可疑与可疑运算 可疑； (3) 运算结果只保留一位可疑数字； (4) 运算时，常数、无理数等, 其有效位数无限制。,例：,97.4, 6

9、.238,103.638,应为 103.6,13.6, 1.6,816,136,21.76,应为 22,217,14.8,202.2,应为 202,2.453, 6.2,4906,14718,15.2086,应为 15.2,相加减： 先将小数点对齐，结果保留到参与运算量中最先出现的可疑数位。,相乘除： 结果保留到参与运算各量中最少的位数(或多出1位 )。,.,56.472=3.188 103； 4. ln58.6=4.07; 4.52=64； 45.2132=6.4220 103 6. Sin605=0.866751708 (查表) Sin1=0.0002908882045 Sin605=0.

10、8668。,.,第七节 实验数据的处理和表示,列表法、作图法、逐差法和回归法 一、列表法 列表法是最常用的方法，特点：简单明了，形式紧凑，各数据便于参考比较。,二、作图法(对照下页图示) 作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。,曲线改直,1.图形在坐标中的位置. 2.坐标轴的起点不一定是0. 3.最小分格是1、2、5 4.标点、连线问题,.,作图步骤： 实验数据列表如下.,1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小 根据表数据U 轴,可选1mm对应于0.10V，I 轴可选1mm对应于0

11、.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围） 约为130mm130mm。,表1：伏安法测电阻实验数据,.,2. 标明坐标轴： 用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。,4. 连成图线： 用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。线正穿过实验点时可以在图点处断开。,.,5.标出图线特征： 在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻R大小：从所绘直线上读取两点 A、B 的坐标就可求出 R 值。,电阻伏安特性曲线

12、,6.标出图名： 在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。,.,不当图例展示,曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。,.,图纸使用不当:实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。,.,Origin科学数据处理程序,.,例伏安法测电阻,(1) 将测量数据列入表中,表电阻 R 的伏安关系,(2) 画出伏安曲线,I(mA),V(V),0,5,3,2,4,6,8,10,1,2,4,B(V2, I2),A(V1, I1),电阻伏安特性曲线,电压(V) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00

13、 电流(mA)0.00 0.50 1.02 1.49 2.05 2.51 2.98 3.524.00 4.48,.,1.问题的提出,如果测量列x，y之间的函数关系为线性， 需要解决的问题就是通过x，y的一系列测量值来确定式中的斜率k。,例如仍要处理上例中的数据：,三、 用逐差法处理数据,2.计算方法,表电阻 R 的伏安关系 电压(V) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 电流(mA)0.00 0.50 1.02 1.49 2.05 2.51 2.98 3.524.00 4.48,把这些数据分成五组，分别计算R，再求平均值。,.,电

14、阻 R 的伏安关系,若测得的n个电流值隔项差,即,那么,为了充分利用数据,我们分组逐差,.,4. 采用逐差法处理数据的条件：,3.用逐差法处理数据的优点：,用逐差法处理数据，可以用上全部的测量数据，减少了由计算过程引起的误差。,（1）x等间距变化； （2）x的测量误差可以忽略； （3）测量次数为偶数。,.,四、 用最小二乘法与线性回归,1. 问题的提出一元线性回归（直线拟合）,如果测量列x，y之间的函数关系为线性， 需要解决的问题就是通过x，y的一系列测量值来确定式中的斜率 k 和截距b 。,2. 用最小二乘法处理数据的条件,x 的误差可以忽略，只考虑测量列 y 的误差。,3. 最小二乘法原理,测量若干组数据，每个数据点的 y 都有一定偏差： 最小二乘法要求所求得的 k 和 b，应使测量列 y 的偏差的平方和最小。,.,y 的偏差可从图上看出,Y,yi,y,0,X,xi,vi,.,4. 最小二乘法的计算过程,根据上式，k 和 b 应满足二元函数的极值条件，即,从而求得 k 和 b 的