第七章-自旋与全同粒子

1、1电子自旋2电子自旋算符和自旋波函数3简单塞曼效应4两角动量耦合5光谱精细结构6相同粒子特征7相同粒子系统波函数泡利原理8两电子自旋波函数9氦原子(微扰法)，第7章自旋和相同粒子，(1)斯特恩-杰拉赫实验(2)光谱线精细结构(3)电子自旋假设(4)旋磁比，1电子自旋，(1)实验描述，s态氢原子，(2)结论，I.氢原子的磁矩在非均匀磁场中偏转。氢原子磁矩只有两个取向，即空间量子化。处于S态的氢原子束被非均匀磁场偏转，并在感光板上呈现两条离散线。(1)斯特恩-格拉赫实验；(3)讨论磁矩与磁场的夹角，以及在Z方向上作用在原子上的力。分析表明，如果原子的磁矩可以任意取向，cos可以在(-1，1)之间连

2、续变化，并且感光板将呈现连续的带，但实验结果如下：两条离散的线对应cos=-1和1，而氢原子处于S状态=0，钠原子光谱中的一条亮黄色线5893。用高分辨率光谱仪观察，可以看出这条线实际上是由两条非常接近的线组成的。在其他原子光谱中，也可以发现谱线由更细的谱线组成的现象，这被称为谱线的精细结构。这种现象只能通过考虑电子的自旋来解释。(2)谱线的精细结构。乌伦贝克和古德米特在1925年提出了电子自旋假说。(1)每个电子都有自旋角动量，它在空间任何方向的投影只能取两个值：(2)每个电子都有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系是：自旋磁矩，在空间任何方向的投影只能取两个值：玻尔磁子，(3)电子自旋假说，(1

3、)电子旋磁比。我们知道轨道角动量和轨道磁矩之间的关系是：(2)轨道旋磁比，那么轨道旋磁比是：这表明电子旋磁比是轨道旋磁比的两倍，(4)旋磁比，和2自旋计算(1)自旋算符(2)自旋状态波函数(3)自旋算符和泡利矩阵的矩阵表示，(4)自旋波函数的归一化和概率密度(5)自旋波函数，这是一个纯量子概念，不能用经典力学来解释。自旋角动量也是一个力学量，但它与其他力学量有根本的不同。通常，机械量可以表示为坐标和动量的函数，而自旋角动量与电子的坐标和动量无关。它是电子内部状态的表示和描述电子状态的第四自由度(第四变量)。像其他力学量一样，自旋角动量也是由一个算符来描述的，其表述如下：自旋角动量轨道角动量的异

4、同与坐标和动量无关，不适用，它们是相同的角动量，并且满足相同的角动量互易关系。(1)自旋算符，因为自旋角动量在空间任何方向的投影只能取两个值/2，算符的内在值是，模仿，自旋量。因为自旋是电子内部运动的自由，除了三个坐标变量(x，y，z)之外，我们还需要一个自旋变量(SZ)来描述电子的运动。因此，电子的自旋波函数需要写成：因为SZ只取/2的两个值，上面的公式可以写成两个分量：写成列矩阵，它规定列矩阵的第一行对应于Sz=/2，第二行对应于它。如果已知电子处于自旋态Sz=/2或Sz=-/2，那么波函数可以写成：(2)自旋态波函数，(1)Sz的矩阵形式，并且电子自旋算符(例如SZ)作用于电子自旋波函数

5、。因为电子波函数被表示为21的列矩阵，所以电子自旋算符的矩阵表示应该是22的矩阵。由于1/2所描述的状态，SZ有一个确定的值/2，所以1/2是SZ的本征状态，它的本征值是/2，即有：矩阵形式，(3)自旋算符的矩阵表示和泡利矩阵。用同样的方法处理1/2，最后得到SZ矩阵形式，SZ是对角矩阵，对角矩阵元素是它(2)泡利算子，1。引入泡利算子，因为Sx、Sy、SZ和Sz的特征值都是/2，所以x、Y、Z、Y和Z的特征值都是1；x2、y2和z2的特征值都是1。即：2。反易货关系被证明：反易货关系：有：左乘y，同样可以证明：x和y分量的反易货关系也是有效的。在证明之后，或者，y2=1，基于反易货关系，可以

6、证明每个成分满足反易货关系，乘以y右，并且它也可以从反易货关系和反易货关系3获得。泡利算子的矩阵形式，根据定义，求出泡利算子的另外两个分量，设，x简化为：设：c=expi(实数)，然后，从力学量算子的厄米性，得到b=c*(或c=b*)，x2=I的矩阵形式，并求出y。自旋算子的矩阵表示自然地由自旋算子与泡利矩阵的关系得到：(1)归一化， 波函数的归一化必须同时对自旋求和和空间坐标积分，即(2)概率密度，它表示在T时间在R点附近单位体积内发现电子的概率，以及在T时间在R点发现单位体积内自旋Sz=/2的电子的概率。 它表示在时间T和R在单位体积中发现自旋Sz=/2的电子的概率，在整个空间中发现自旋S

7、z=/2的电子的概率，以及(4)自旋波函数、波函数的归一化和概率密度，因为自旋和轨道运动之间通常存在相互作用，所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。然而，当这种相互作用非常小时，它可以被忽略，然后1和2对(x，y，z)有相同的依赖性，也就是说，函数形式是相同的。这时，它可以写成下面的形式：求自旋波函数(SZ)和SZ的本征方程，这样，一般来说，它们对(x，y，z)的依赖是不同的。自旋波函数，因为Sz是2 2矩阵，在S2S2的表示中，Sz是对角矩阵，1/2和-1/2应该是21的列矩阵。代入本征方程得到：和a1由归一化条件决定，因此它们是具有不同本征值的本征函数，应该相互正交。P212 7.2 7.3

8、 7.4，3简单塞曼效应，(1)实验现象，(2)外场中氢和类氢原子的附加能量，(3)求解薛定谔方程，(4)简单塞曼效应。塞曼于1896年首次观察到这一现象。(1)简单塞曼效应：强磁场作用下的谱线分裂现象。(2)复合塞曼效应：当外部磁场较弱且轨道-自旋相互作用不可忽略时，会产生复合塞曼效应。(1)实验现象：如果外磁场的方向是沿z方向，磁场引起的附加能量(CGS系统)是：磁场是沿z方向，薛定谔方程，考虑忽略自旋轨道相互作用的强磁场，系统薛定谔方程，(2)外磁场中氢和类氢原子的附加能量，根据前面的分析，没有自旋轨道相互作用的波函数可以写成：最后，得到1满足的方程，同样得到2满足的方程。(1)当B=0

9、(无外场)时，这是一个中心力场问题，方程退化为一个不考虑自旋的情形。解决方法是：I .在氢原子的情况下，II。对于类氢原子，如锂、钠和其他碱金属原子，核外电子可以屏蔽核库仑场。这时，能级不仅与N有关，也与E n有关，所以中心力场方程可以写成：(3)求解薛定谔方程，因为，(2)当B 0(有外磁场时)，n m在外磁场下仍然是方程。最初，外磁场消除了具有不同m1和ms以及相同能量的简并现象。(2)在存在外部磁场的情况下，能量与自旋状态有关。当一个原子处于S态时，l=0，m=0的初始能级会分裂成两个。这是在斯特恩格拉赫实验中观察到的现象。(4)简单塞曼效应，(3)谱线分裂。当I. B=0无外磁场时，电

10、子从电子跃迁到电子的谱线频率为：当II。B 0有外磁场，从上一章的选择规则可以知道，所以谱线角频率可以取三个值：当没有磁场时，一条谱线被分成三条谱线，当Sz=/2时，取当Sz=/2时，取。我们已经分别讨论了只有L和只有S的情况，忽略了它们之间的相互作用。事实上，当两者都存在时，我们必须同时考虑轨道角动量和自旋，也就是说，我们需要研究L和s的耦合问题。让我们讨论两个角动量的耦合问题。(1)总角动量(2)耦合表示和非耦合表示，4两个角动量耦合，并提供两个角动量J1、J2，它们分别满足以下角动量易货关系：因为它们是独立的角动量，所以它们是相互易货的，也就是说，它们的分量易货关系可以用同样的方式写成、证明和适用于其他分量。证明，(1)总角动量，证明：对于其他组件也是如此。在上述证明的最后一步中，使用了以下的互易关系：从以上的证明过程中，可以看出，如果J12被用于换向括号的J1所代替，那么它显然具有以下的关系：这是因为(1)特征函数也是成对和成对容易的，因此也有共同的和完整的特征函数系统，它们被记为：耦合表