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文档简介

1、第二章优化设计,主要内容:了解优化设计;建立优化设计的数学模型;了解优化设计的基本数学知识;掌握一维优化方法;理解多维优化方法。2.1概述,2.1.1优化设计的概念,优化设计是通过优化数值计算方法和计算机技术获得工程问题的最优设计方案。也就是说,在优化设计中,必须对实际问题进行数学描述,形成一套由数学表达式组成的数学模型,然后选择优化数值计算方法和计算机程序,在计算机上通过计算和求解得到最优设计参数。2.1.2优化设计的一般过程,机械设计的全过程一般可分为:1。设计问题分析2。优化设计数学模型的建立。3.选择合适的优化方法。4.写一个计算机程序来计算最好的。2.1.3优化设计的数学模型,1。建

2、立数学模型的基本原则,要求准确、简洁地反映工程问题。2、数学模型设计变量、目标函数、约束的三要素。1)设计变量时,注意设计变量应该相互独立,否则会给优化带来困难。2.1.3优化设计的数学模型,设计变量是指在设计过程中可以调整和优化的独立参数。(1)设计变量的选择:应选择与目标函数和约束函数密切相关的、能表达设计对象特征的基本参数。2.1.3优化设计的数学模型,(2)设计变量的分类,连续变量,可在实数范围内连续取值的变量。离散变量是只取给定系列或集合中的值的变量。1)设计变量,2.1.3优化设计的数学模型,1)设计变量,和3)设计空间如果n个设计变量x1,x2,xn彼此独立,由它们形成的所有向量

3、集X=x1,x2,xnT组成的n维实欧几里德空间称为设计空间,并且Rn被注意。设计变量的个数n称为优化设计的维数。1)如果n=2是一个二维设计问题,它可以用平面直角坐标表示;2)如果n=3是一个三维设计问题,它可以用空间直角坐标来表示;3)如果n大于3,它就超出了空间。2.1.3优化设计数学模型,1)设计变量,3)设计空间,2-D设计平面和3-D设计空间,2.1.3优化设计数学模型,2)目标函数,即设计变量表达的设计目标的数学表达式,也称为标量函数。(1)目标函数的含义目标函数的值是衡量设计方案优劣的量化标准。目标函数值越小,相应的设计方案越好。因此,目标函数的最小值及其相应的设计变量被称为设

4、计问题的最优解。目标函数的一般表达式是:2.1.3优化设计的数学模型,2)目标函数,2)目标函数的选择必须针对具体问题,主要技术指标如利润、体积、重量、功率等应作为设计的目标函数。等值面和等值线对于简单的问题,等值线或等值线可以用来描述函数的变化趋势,也可以直观地给出极值点的位置。目标函数等值线(曲面)的数学表达式为:f(X)=c.这条线或平面上所有点的函数值都相等。因此,这条线或平面称为等值线或等值面函数。当c取一系列不同的常数值时,可以得到一组形状相似的等值线或等值面,称为函数的等值线或等值面。2.1.3优化设计的数学模型,2)目标函数,a)当n=2时,点集是设计平面上的直线或曲线;b)当

5、n=3时,点集是设计空间中的平面或曲面;c)当n大于3时,点集是设计空间中的超曲面。(3)等值面和等值线,2.1.3优化设计的数学模型,2)目标函数,f(X)-60 x1-120 x2等值线簇。(3)等值面和等值线,2.1在设计空间中切割抛物面与平面f(X)c的交线投影是目标函数的等值线。(3)等值面和等值线,2.1.3优化设计的数学模型,2)目标函数,约束条件的函数:它是限制设计变量的值。2.1.3优化设计的数学模型,3)约束条件,任何设计都有几个不同的要求和限制,将这些要求和限制表达为设计变量的函数,并将它们写成一系列不等式和等式表达式构成设计约束,简称为设计约束。2.1.3优化设计的数学

6、模型,3)约束条件,(1)约束条件的分类a)约束条件根据不同的形式可分为不等式约束和等式约束。一般表示为:b)根据不同的属性,可以分为边界约束和性能约束。边界约束:考虑到设计变量的范围,它是对设计变量本身的直接限制。例如,ai-xi0 xi-bi0性能约束是根据设计性能或指标要求确定的约束条件。是添加到设计变量中的间接变量。例如,零件的强度条件、刚度条件和稳定性条件都是性能约束。2.1.3优化设计的数学模型,3)约束条件,(1)约束条件的分类,约束边界,2.1.3优化设计的数学模型,3)约束条件,(2)可行域每个不等式或等式约束将设计空间分成两个部分,满足所有约束的部分形成一个交集,称为该约束

7、问题的可行域,表示为D。 因此可以表述为:2.1.3优化设计的数学模型,3)约束条件,2)可行域,2.1.3优化设计的数学模型,3)约束条件。 该约束的可行域是由约束边界线包围的封闭五边形:OABCD,(2)可行域,2.1.3优化设计的数学模型,优化设计问题的数学模型一般数学表达式如下:3。优化设计数学模型的建立例1:有一块边长为6m的方形铝板,在每个角上切出一个小方块,做成一个无盖的盒子。试着确定切割四个小方块的边长,以使盒子有最大的体积。解决方法:设四个小方块的边长为X,则盒子的体积可表示为函数F(X)x(6-2x)2,2.1.3优化设计的数学模型,3。2.1.3建立优化设计数学模型的实例

8、优化设计数学模型中,变量X设计变量f(X)=X(6-2x)2目标函数g1(X)x 0 g2(X)x 3约束条件使体积最大,即使f(X)=X(6-2x)2最小。3.建立实例优化设计数学模型,2.1.3优化设计数学模型,最小f(x)=-x(6-2x)2s . t . G1(x)-x0g 2(x)x3,实例2:再现已知运动规律的平面连杆机构的优化设计,3。建立优化设计数学模型实例,2.1.3优化设计数学模型,1)设计变量的确定和机构的确定2.1.3优化设计数学模型,2)根据已知运动规律和机构实际运动规律之间的最小偏差建立的目标函数,即3)优化设计数学模型,2.1.3优化设计数学模型,3)约束条件的确

9、定, (1)曲柄摇杆机构满足曲柄存在的条件2.1.3优化设计的数学模型,(2)如果要求最小传动角在和之间,则可以得到,(3)优化设计的数学模型,2.1.3优化设计的数学模型,3)约束条件和设计变量的确定,考虑到机构的杆长成比例地变化,它不会改变其运动l1=1,所以它经常用于计算,3。 以2.1.3为例,建立了优化设计的数学模型。优化设计的数学模型根据是否包含约束条件分为无约束优化问题和约束优化问题。根据设计变量的数量,可分为单变量优化和多变量优化。根据目标函数和约束函数的性质,可分为线性规划和非线性规划。2.1.4优化问题的分类,1。图解法:用直接作图法解决优化问题。在设计平面上制作约束可行域

10、,绘制一组目标函数等值线,根据等值线与可行域的关系确定最佳位置。特点:优点:直观。缺点:一般来说,它仅限于解决n2的低维优化问题。2.1.5最优化问题的数学模型的求解方法,图形解数学分析方法的数值迭代法,1)求解图形解的步骤(1)确定设计空间;(2)可行约束区域;(3)绘制目标函数的一组等值线;(4)最后,确定最佳点。2.1.5优化问题数学模型求解方法,2.1.5优化问题数学模型求解方法,目标函数:f(X)-60 x1-120 x2,2)图解求解实例,约束条件:一个利润为生产产品A的60元,一个利润为生产产品B的120元,视条件而定,如何安排生产以获得最大利润?该约束的可行区域是由约束边界线包

11、围的封闭五边形:OABCD,可行区域,2.1.5优化问题数学模型的求解方法,2)图解法的求解实例,2.1.5优化问题数学模型的求解方法,2)图解法的求解实例,目标函数f(X)-60 x1-120 x2的等值线簇。可行域与目标函数的等值线图叠加。解决方案是:每天生产20个产品甲和24个产品乙,最大利润为4080元。2.1.5优化问题数学模型的求解方法,2)图解法的求解实例,2)图解法的求解实例,f(X)xl2 x22 x 14,等值面和等值线,目标函数,2.1.5优化问题数学模型的求解方法,2)图解法的求解方法,2)图解法的求解实例,2.1.5优化问题数学模型的求解方法,2)图解法的求解实例,它

12、们只适用于一些简单的优化问题,因此它们的实际意义并不强。2.1.5优化问题数学模型的求解方法,2。数学分析方法:用数学模型描述优化对象后,数学分析方法只适用于一些维数较少、易于推导的优化问题。2.1.5优化问题数学模型的求解方法,例1:有一个边长为6m的方形铝板,从每个角上切下一个小方块,做成一个无盖的盒子。试着确定切割四个小方块的边长,以使盒子有最大的体积。2.1.5优化问题数学模型的求解方法,1)数学分析方法的求解实例,min f(x)=-x(6-2x)2s . t . G1(x)-x0g 2(x)x3,2.1.5优化问题数学模型的求解方法,1)数学分析方法的求解实例,实例1尝试确定切割四

13、个小方块的边长,从而使盒子具有最大的体积。变量X设计变量f(X)x(6-2x)2目标函数g(X)x 0 g(X)x x0 x=1求解。2.1.5优化问题数学模型的求解方法,1)数学分析方法的求解实例,3)数值迭代法,2.1.5优化问题数学模型的求解方法,工程优化问题的目标函数和约束条件复杂,而数值迭代法是优化设计问题的基本解法。数值迭代法的基本思想是进行重复的数值计算,寻找函数值递减的可行计算点,直到最终得到足够精度的近似解。3。数值迭代法:2.1.5优化问题数学模型的求解方法,它沿某一搜索方向S(k)用适当的步长(k)来修正X(k)。,1)搜索极值点,3)数值迭代法:2.1.5优化问题数学模

14、型的求解方法,1)搜索极值点,用迭代法求解的问题:(1)选择搜索方向,(2)确定步长因子,(3)给出终止准则,3(2)迭代计算的终止准则,(1)点与点之间足够小的距离,(2)函数值下降足够小,(3)函数梯度足够小,2.2.1二次型和正定矩阵,2.2优化方法的数学基础,1。二次型函数是最简单的非线性函数,可以写成以下的向量形式:XTAX 0,那么矩阵a是半正定矩阵;XTAX 0,则矩阵a是负定矩阵;XTAX 0,则矩阵a是半负定矩阵;XTAX=0,则矩阵a是不定矩阵。2.2.1二次型和正定矩阵,2。2)如果矩阵A的所有主子形式都大于0,则矩阵A是正定的,2.2.1二次型和正定矩阵,即:个一阶主子

15、形式、二阶主子形式和n阶主子形式0。2。正定与负定的判断。2)如果矩阵A的所有主子形式都是负的和正的,则矩阵A是负定的,2.2.1二次型和正定矩阵,即:个一阶主子形式和二阶主子形式,即奇数阶主子形式小于0,偶数阶主子形式大于0。正定二次函数具有以下性质:1)正定二次函数的等值线或等值面是一簇同心椭圆或椭球,其中心是二次函数的最小值。2)非正定二次函数最小值附近的等值线或等值面类似于椭圆或椭球。2.2.1二次型和正定矩阵,2.2.2函数的方向导数和梯度,1函数的方向导数,讨论函数在p点沿某一方向的变化率,1)方向导数的定义,2.2.2函数的方向导数和梯度,1)方向导数的定义,以及。沿着这个方向,那么这个极限就叫做函数L,P,p/,L,P,P/,P的方向,如果这个比值的极限存在,它就趋向于,沿着,这个比值,两点之间的距离,和,L,P,P/,P、的增量被记录为,2.2.2,那么,L的方向导数存在于这个点的任何方向上,那么就有2.2.2函数的方向导数和梯度,1.2.2函数的方向导数,2.2.2方向导数1 .函数的方向导数,三值函数的方向导数的定义可以通过推广得到,其中2.2.2函数的方向导数和梯度,1n元函数f(X)在点

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