多元函数微积分空间解析几何

1、4. 二次曲面,讨论的方法一般是： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截， 考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状。这种方法叫做截痕法。,三元一次方程的图形是一个平面，称为一次曲面。 由一个三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。,例13: 求球心在点M0(x0, y0, z0), 半径为R的球面方程。 解: 设球面上一点为M(x, y, z)，那么 |MM0| R 。 由两点间距离公式 化简得球面方程 (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 R2 特别是当球心为原点, 即 x0 y0 z0 0 时， 球面方程为 x2 y2 z2 R2 球面上半部方程为 球面下半部方程

2、为,z,y,x,1) 球面,椭球面与三个坐标面的交线：,2) 椭球面,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,截面上圆的方程：,球面,方程可写为,（ 与 同号）,用截痕法讨论：,(1) 用坐标面 与曲面相截截得一点，,即坐标原点,设, 原点也叫椭圆抛物面的顶点.,3) 椭圆抛物面,与平面 的交线为椭圆.,当z1变动时, 这种椭圆的中心都在z轴上.,与平面 不相交.,与平面 的交线为抛物线:,它的轴平行于z轴,顶点

3、,(3) 用坐标面 ， 与曲面相截,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,(2) 用坐标面 与曲面相截截得抛物线:,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为:,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,与平面 的交线为圆:,当z1变动时, 这种圆的中心都在z轴上.,例14: 作 z x2 y2 的图形。 解: 用平面 z c 截曲面 z x2 y2, 其截痕方程为 x2 y2 c，z c 当 c 0时，只有一点原点。 当 c 0 时，其截痕为圆。 c 越大，截痕的圆也越大。 当 c 0 时，无截痕。 若用平面 x a 或 y b 去截曲面, 其截痕均为抛物线。 此图形称为

4、旋转抛物面。,（ 与 同号）,用截痕法讨论：设,图形如下：,4) 双曲抛物面（马鞍面）,例15: 作 z y2 x2 的图形。 解: 用平面 z c 截曲面 z y2 x2 ，其截痕方程为 y2 x2 c，z c 当 c 0 时，其截痕为两条相交于原点的直线， 方程为 y x 0 ； y x 0 当 c 0 时，截痕为双曲线。 用平面 y c 截曲面 z y2 x2 其截痕为开口向下的抛物线， 方程为 z c2 x2 ，y c 用平面 x c 截曲面 z y2 x2 其截痕为开口向上的抛物线， 方程为 z y2 c2 ，x c 这个曲面称为双曲抛物面，又称马鞍面。,马鞍面 简图的画法 （一）选

5、择坐标系 （二）画截痕 （三）添辅助线,y,z,x,双曲抛物面（马鞍面）是直纹面,含两个直母线系,单叶双曲面,5) 双曲面,双叶双曲面,与平面 的交线为椭圆.,当z1变动时, 这种椭圆的中心都在z轴上.,(1) 用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆:,单叶双曲面,双曲线的中心都在 轴上.,与平面 的交线为双曲线:,(2) 用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线:,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,单叶双曲面,截痕为一对相交于点 的直线.,截痕为一对相交于点 的直线.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,平面 的截痕是两对相交直线.,(3) 用坐标面 ， 与曲面相截 均可得双曲线.,单叶双曲面,单叶双曲面是直纹面,含两个直母线系,直纹面在建筑学上有意义 例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。,有腰身的竹篮,双叶双曲面,双曲面的渐近锥面, 即: 双曲面和锥面任意接近。,思考题,识别曲面的类型 1. y x2 抛物柱面,识别曲面的类型（最好能画出草图） 1. 9y2 z2 16 2. z 4x2 y2 3. y2 z2 x24. x2