稳态热传导(导热理论基础)

1、.,第二章 稳态热传导（导热理论基础）,一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤,.,导 热 理 论 基 础,一、概述： 一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是连续介质。 导热基础理论的主要任务： 1.找出物体内温度与时间、空间的关系式，即求解温度场； 2.找出物体内温度分布与换热量的普遍联系式，即傅里叶定律。 二、傅里叶（J.Fourier）定律： 1.基本概念： 1.温度场：物体某一时刻其内各点的温度分布： t=f（x、y、z、） 上式为三维非稳态温度场；当t/=0时，

2、称为三维稳态温度场，即： t=f（x、y、z）；若温度场仅和二个或一个坐标有关时则为二维或一维稳态温度场：即t=f（x、y） 或：t=f（x）。 具有稳态温度场的导热过程我们常称之为稳态导热；具有非稳态温度场的导热过程我们常称之为非稳态导热。,.,导 热 理 论 基 础,a.等温面：同一时刻温度场中所有温度相同的点构成的面。 b.等温线：不同的等温面与同一平面相交，在此平面上构成的一簇曲线。 c.特点：不同的等温面（线）不可能相交；它们或者是完全封闭的曲面（线），或者终止于物体的边界上；沿等温面（线）无热量传递；等温面（线）的疏密可直观反映出不同区域温度梯度（或热流密度）的相对大小。,二、傅里

3、叶（J.Fourier）定律： 1.基本概念： 2.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表示，如图2-1）,等温线,.,导 热 理 论 基 础,二、傅里叶（J.Fourier）定律： 1.基本概念： 3.温度梯度gradt:两等温面间的温差t与其法线方向的距离n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称之为温度梯度。即：,t,t+t,t-t,t1,t3,t,t2,4.温度梯度的方向：法线方向，指向温度升高的方向。 5.热流密度向量：与温度梯度的方向相反，指向温度降低的方向。垂直于等温面（线）。,写成空间直角坐标系形式有：,.,导 热 理 论

4、 基 础,二、傅里叶（J.Fourier）定律： 2.傅里叶（J.Fourier）定律： 在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：,几点问题： 1.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。 2.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。 3.适用范围：傅里叶定律是一个实验定律，是导热现象经验的规律性总结，普遍适用各种导热现象。即不论是否变物性（=a+bt）,有无内热源，是否非稳态，不论物体几何形状如何，也不论物质的形态（固液、气），其都适用。,4.现实意义：只要已知温度场，则可由傅里叶定律求出传热量，故求解

5、导热问题的关键是求解物体中的温度分布，给求解温度场。,.,导 热 理 论 基 础,三、导热系数： 1.定义表达式： = - q/gradt 2.物理意义：表征物质导热能力的大小。数值上等于单位温度降度单位时间单位面积的导热量。 3.单位：通过量纲分析有：W/m 4.由来：一般用实验方法测得。 5.特性：是物性参数，它的大小起决于物质的种类和热力状态，一般工程中仅认为与温度呈线性关系，即： = 0（a+bt） 0为0时导热系数 6.隔热保温材料（热绝缘材料）：室温条件下（20时） 值小于0.12W/m的材料。如：岩棉、膨胀珍珠岩等。特点是：a.多为多孔体或纤维体材料；b.间隙中多充满气体；c.严

6、格讲不能视为连续介质；d.间隙的无限加大并不能提高保温能力；e.湿度的增加使其保温能力大大下降。 7. 20 时典型材料的（W/m） 铜 399 碳钢 40 水 0.599 干空气 0.0259 一般，金属材料的最大，非金属固体材料次之，液体更次之，而气体最小。,.,导 热 理 论 基 础,1.目的：建立物体内温度与时间、空间的普遍联系式。 2.原理：热力学第一定律与傳里叶定律。 3.假定： a.物质为各向同性的连续介质； b.已知：、c c.有内热源qv：qv为单位体积单位时间内所产生的热量，单位为：W/m3 4.推导：如图取任一微元体dv 且 dv=dxdydz，则有：,四、导热微分方程,

7、dz,dx,dy,x,y,z,内热源qv,z+dz,z,x,x+dx,y,y+dy,.,导 热 理 论 基 础,四、导热微分方程 对此微元体应用热力学第一定律 导入微元体的热量-导出微元体的热量+内热源发热量 A + B =热力学能增量 A部： = C 沿x轴方向：x截面： x=qxdydz x+dx截面：x+dx=qx+dxdydz 因qx是x的函数，且在x至x+dx区间内连续可微，据泰勒级数有：,忽略高阶无穷小量，仅取级数前两项有：,代入x+dx截面有：x+dx=qxdydz+qx/xdxdydz,故沿x轴方向微元体导热的净热流量为：,x- x+dx=-qx/xdxdydz 同理,.,导

8、热 理 论 基 础,四、导热微分方程 沿y轴方向导入微元体的净热量为： y- y+dy=-qy/ydxdydz 沿z轴方向导入微元体的净热量为： z- z+dz=-qz/zdxdydz 故A部（即微元体导热的净热量）为： A=-（qx/x+qy/y+qz/z）dxdydz 据傳里叶定律有： qx=-t/x qy=-t/y qz=-t/z 代入上式有：,B部：B=qvdxdydz,C部：C=ct/ dxdydz,.,导 热 理 论 基 础,四、导热微分方程 据A+B=C，整理消去dxdydz有：,上式即为一般的导热微分方程式。 若材料为常物性，即、c均为常数，且令=/c有：,或写成：,式中2为拉

9、普拉斯运算符。上式即常用的导热微分方程。,物性参数为常数且温度场稳态时：,温度场稳态且无内热源时：,另外可通过坐标变换，将导热微分方程写成圆柱坐标或球坐标形式。请见式2-12，13。,物性参数为常数且无内热源时：,.,导 热 理 论 基 础,四、导热微分方程 5.导温系数（热扩散率） 定义：物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力。 表达式： =/c 单位：m2/s 物理意义讲析： 常温常压下： 水=0.599w/m 空=0.0259w/m 水/空23 而：水=1.4310-7m2/s， 空= 2.1410-5m2/s， 空/水160,5,4,3,2,1,.,导 热 理 论 基

10、 础,五、导热微分方程的单值性条件（定解条件） 使导热微分方程有唯一解的条件即为单值性条件。 1.时间条件（又称初始条件）： 稳态导热：过程与时间无关，即t/=0，无此条件。 非稳态导热：即已知初始时刻物体内温度场，常写作： t|=0=f（x,y,z） 若初始时各点温度相等，则有：t|=0=t0=常数 2.边界条件：反映了导热物体边界上的温度或与边界周围环境发生热过程的情况。往往是发生导热现象的直接原因。常被分为第一、二、三等3类条件。,.,导 热 理 论 基 础,五、导热微分方程的单值性条件 2.边界条件： 第一类边界条件：已知物体边界上的温度值。即t|s=tw a.稳态时，tw不随时间改变

11、。 tw=Const or： tw=f（x,y,z） 且 （x,y,z）s b.非稳态时，tw随时间改变。 tw=f（x,y,z,） 且 （x,y,z）s 例如：一维稳态无限大平壁有： t|x=0=tw1 t|x=tw2 对于二、三维稳态温度场，因其边界面不止两个，此时应给出各个边界面的温度值。,tw1,tw2,t,x,o,.,导 热 理 论 基 础,五、导热微分方程的单值性条件 2.边界条件： 第二类边界条件：已知任何时刻边界面上的热流密度值，即已知边界上的温度变化率，但并不已知温度分布，即： q|s=qw or： -t/n|s=qw/ a.稳态时：qw=常数 b.非稳态时：qw = -（t

12、/n）|s=f（） 例如：肋片根部的边界情况即x=0处， 其热流通量具有稳定值q0，即： -t/x|x=0=q0/ 肋片顶部，当x=l时，可忽略顶端与周围流体的换热量，而认为此处绝热，即ql=0，此时即相于已知此处第二类边界条件。 -t/x|x=l=0,q0=-（t/x）|x=0,.,导 热 理 论 基 础,五、导热微分方程的单值性条件 2.边界条件： 第三类边界条件：已知物体边界处与周围流体的换热系数h以及流体的温度tf。即： -（t/n）|s=h（t|s-tf） 其中，对于稳态导热时，h、tf将不随时间变化；对于非稳态导热时，h、tf可以是时间的函数，即： h=f1（） tf=f2（） 如上图当肋片顶端与周围流体的对流换热量不能忽略时，此边界条件即为第三类边界条件，可写成： -（t/x）|x=l=h（t|x=l-tf） 第三类边界条件与第一、二类边界条件区别是： t/n|s、t|s均未知，但知道其两者间的函数关系式。,.,导 热 理 论 基 础,五、导热微分方程的单值性条件 综上所