数学建模博物馆最优摄像头配置

1、 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从 a/

2、b/c/d 中选择一项填写） ： b 我们的参赛报名号为（模拟赛时填写队伍编号） ： b27001024 所属学校（请填写完整的全名） ： 西安交通大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘鹤欣 2. 罗锐 3. 冉小鹏 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 李换琴 日期： 2014 年 9 月 3 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会

3、送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1 艺术展馆监控摄像机设置问题 摘要 随着社会经济的发展，人们对于安全问题日益重视，安防监控摄像头得到越 来越广泛的应用。由于当前工程人员多以经验配置摄像机位置，这可能导致监控 系统的建设成本及后期维护费用过大的问题。 本文研究某平面布局复杂艺术展馆 的监控摄像机设置问题。 针对问题一， 先研究简单区域单个、 双个固定摄像头及旋转摄像头设置规律， 在对展馆区域按照 2 50 50mm规格进行网格化处理后， 建立以摄像头监控网格点 数最多、摄像头数目最少并尽量位于角落为目标函数，以固定摄像头的位置、数 目和安装方向以及旋转摄像头位

4、置、数目为决策变量，以单个网格点只能设置一 种摄像头以及网格点受监控判别条件为约束条件的多目标优化模型。 通过将摄像 头监控网格点数最多转化为监控所有网格点加入约束条件中， 将原模型简化为单 目标优化模型。在将展馆 3 大展区划分成多个小分区后，提出分区求解思想，针 对每个小分区采用 lingo 软件求解得到各个小分区的摄像头设置结果， 综合小分 区结果并依据简单区域摄像头设置规律及摄像头位于角落的要求对结果进行修 正，最终得到需要 30 个摄像头才能覆盖整个展馆，其中永久分区 18 个，现代艺 术互动画廊 10 个，南北画廊 2 个。 针对问题二，定义重要度概念并采用开口朝下的二次函数的递减

5、部分反映重 要度与网格点到墙壁或隔板最小距离的关系， 建立以被监控点重要度之和最大为 目标函数，以固定摄像头的位置、数目和安装方向以及旋转摄像头位置、数目为 决策变量，以单个网格点只能设置一种摄像头、网格点受监控判别条件以及摄像 头数目不超过限值为约束条件的单目标优化模型。依据分区求解思想，针对每个 小分区摄像头数目相对问题一方案减少 1 个的情况， 采用 lingo 软件求解得到各 个小分区的摄像头设置结果， 综合小分区结果并依据摄像头尽量位于角落的要求 修正，得到总共需要 22 个摄像头，其中永久分区 13 个，现代艺术互动画廊 7 个， 南北画廊 2 个。 引入监控覆盖率和监控强度作为衡

6、量监控方案安全性的指标， 将问题一方案与问题二方案进行比较得到在摄像头数目相同时， 问题二方案安全 性优于问题一方案。 关键词：监控摄像头 多目标优化 分区求解思想 2 一、问题重述 1.1. 问题背景 校园、 图书博物馆、 办公楼群、 酒店等功能相对统一的单位集中地称为园区， 其人员的复杂性、设备的重要性对安防监控系统提出了越来越高的要求。当前工 程人员多以经验来设置监控摄像头， 难以保证以最少监控点覆盖所要求的监控区 域，这将导致监控系统建设成本及后期维护费用过大。 本问题中保安公司与某艺术展馆签订了一项安保合同，为他们安装摄像监视 装置。由于这些摄像装置较大，会对展馆参观者视线形成干扰，

7、所以展馆方希望 这些装置安装得越少越好，并且希望摄像机尽可能装在角落处。 现有的摄像机当固定摄像时能清晰分辨的距离为 7.5 米，当水平旋转摄像时 能清晰分辨的距离为 2.5 米，摄像头视角大约为 50 度。 1.2. 目标任务 问题一：为固定或可转动摄像机设计安装位置，以期在夜晚能够提供尽可能 多的覆盖面积（包括地面与墙壁展示区域） ，同时应使摄像机数目尽可能少并且 尽可能装在角落处。 问题二：由于预算资金不足，不能在全馆安装足够数量的监视摄像机来覆盖 展馆所有区域，试讨论这种情形下的最优安装策略，并给出相应的安全性评价。 二、模型的假设 1. 摄像监控装置安装点位置同时也是被监控区域； 2

8、. 摄像机监控范围不能跨越题目图形中障碍区域； 3. 摄像监控装置在清晰分辨距离和视角以内平面区域的监控画面清晰可见； 4. 所有的墙壁、隔板以及障碍物都是平的，不会形成竖直方向上的盲区； 5. 不考虑摄像机安装高度以及所形成的空间立体结构； 6. 不考虑摄像机的自然损坏或人为破坏等失效因素。 三、符号说明 r 摄像机清晰分辨距离 摄像机监控视角 s 摄像机监控区域面积 3 a 原始图像像素矩阵 b 二值化图像像素矩阵 j m 第j个坐标点位置是否安装固定摄像机 j n 第j个坐标点位置是否安装旋转摄像机 , ii x y 第i个网格点的横纵坐标 ij 监控点与网格点连线与x轴正方向逆时针夹角

9、 j 监控点安装方向与x轴夹角 n 网格点总数 i i 第i个网格点对应的重要度 p 允许安装摄像机的最大数目 四、模型建立与求解 4.1. 问题一 4.1.1. 问题一的分析 问题一是研究如何设置监控摄像机，以期在夜晚能够提供尽可能多的覆盖面 积，同时使得监控摄像机数目尽可能少并尽可能位于角落。 由于该展馆平面布局较为复杂，直接考虑其监控摄像机的设置较为困难。因 此首先从最简单的情况开始研究，依次研究单个固定摄像机，单个旋转摄像机， 两个固定摄像机等等情况所能监测区域的特点， 这将为后面整个展区监控摄像机 的设置打下基础。 然后考虑到对摄像机监控的面区域描述时较为困难，可以将展馆区域网格化，

10、 将网格上的点是否受监控来作为该点附近小范围区域是否受到监控的判断依据， 这样原目标之一覆盖面积尽可能多就转化成了覆盖的网格点尽可能多。进一步， 以各网格点是否设置固定摄像机、 是否设置旋转摄像机以及固定摄像机的角度作 为决策变量， 以各网格点只能为被监测点或固定摄像点或旋转摄像点为约束条件， 建立以覆盖网格点尽可能多、摄像机数目尽可能少、摄像机尽可能位于角落的三 目标优化模型。 上一步所建立的优化模型有 3 个决策变量和 3 个目标函数，求解起来较为困 难。 为了方便求解并从实际意义出发，覆盖网格点尽可能多实际上可转化为覆盖 所有网格点加入约束条件中。这样原模型就转化为双目标优化模型。对于双

11、目标 4 优化模型可以考虑采用加权求和等方法进一步化成单目标优化模型求解。 考虑到展馆区域的复杂性，而不同展区内的小分区空间上相对独立，因此将 展馆划分成不同区域求解。在求解时采用 lingo 软件，但由于该模型是非线性整 数优化模型，因此不一定能获得全局最优解，并且根据简单区域摄像头设置研究 的结论对求解结果进行进一步修正。 4.1.2. 简单区域监控摄像机监测区域研究 当前市场所销售的摄像头视角范围为 590 度，一般摄像头视角范围随着镜 头焦距的增大而逐渐减小， 同时旋转式和固定式摄像头由于运动特征的不同将导 致清晰分辨距离的不同。本问题中摄像头的视角为 50 度，固定摄像机清晰分辨 距

12、离为 7.5 米，360 度旋转摄像头清晰分辨距离为 2.5 米。 固定摄像机由于视角和清晰分辨距离的限制，由于摄像机数目的不同，固定 摄像装置的监控区域可分为以下两类： (1)单单固定固定摄像机摄像机 图 1 单个固定摄像头监测区域 图 1 中，om 与 on 的夹角即为摄像头的视角。单个固定摄像头监控区域为 一扇形。 对于半径为r、 圆心角为 2 0, 的扇形所覆盖的矩形区域可能出现如 图 1 所示（甲） （乙）两种情况，所对应对应最大面积为： 2 max 1 tan 22 甲 sr , (1) 其中r为固定摄像机分辨距离，即扇形半径；为摄像机的视角，即扇形对应圆 心角。甲图反映了在存在

13、3 块挡板 bc,cd,od 时单个固定摄像头的安装方式。 2 max tan 4 乙 sr . (2) 其中r为固定摄像机分辨距离，即扇形半径；为摄像机的视角，即扇形对应圆 心角。乙图反映了在存在 4 块挡板 ab,bc,cd,da 时固定摄像机的安装方式。 根据以上推导过程和图 1 中甲乙两种情况的比较，可以得到清晰分辨距离为 7.5 米、视角范围为 50 度的固定单摄像机最大理论监控矩形区域为 4138mm3170mm。 (2)双双固定固定摄像机摄像机 上文分析了单一固定摄像机所能监控的区域情况， 下面分析采用两个固定摄 n m x y o b a c d a n m x y o b c

14、 d (甲) (乙) 5 像机监控使所能监测的区域际情况。这里以清晰分辨距离为 7.5 米、视角范围为 50 度的摄像机为例进行分析。双摄像头监控时的区域特点如图 2 所示： 图 2 固定双摄像头监测区域 双固定摄像机的位置安排存在图2中甲乙两种情况， 甲中两摄像机反向设置， 乙中两摄像机同向设置。当两摄像机同向设置时（甲） ，其中坐标 1 0,0,0o， 2 4821,5745,o，可完全实现的最大监控矩形区域为5745mm 4821mm；当两 摄像机反向设置时（乙） ，其中坐标 1 0,0,0o， 2 0,0,5 /18o，可完全实现的 最大实际监控矩形区域为5303mm 5303mm。

15、根据以上分析，双固定摄像机监控时能形成互补效应，在不重叠的情况下双 固定摄像机相配合能监控较大面积的矩形区域。 (3)单单旋转摄像旋转摄像机机 旋转摄像机通常与固定摄像机的支撑设备即云台结合使用， 在水平平面内最 大可实现 360 度旋转。旋转摄像头的监测区域较为固定，如图 3 所示。由于监测 区域较为固定并且监控区域范围较小， 因而一般情况下旋转摄像机不采用两个或 两个以上配合使用的方式。旋转摄像头清晰分辨距离限制为 2.5 米，所以能够实 现的最大实际监控区域为3536mm 3536mm。 图 3 旋转摄像头监测区域 (4)固定与旋转摄像监控的比较固定与旋转摄像监控的比较 固定摄像机的视角

16、有限，而旋转摄像机的清晰分辨距离有限，两种摄像装置 的搭配使用对于发挥各自的优点有重要作用。 下面首先对两种摄像监控方式在分 辨距离、视角等方面进行比较，比较结果如表 1 所示。 o2(d) o1(b) x y a c b a d o1(o2) y x c (甲) (乙) a x y o b c d 6 表 1 摄像机固定与旋转监控方式比较 监控方式 清晰分辨 距离 视角 单摄像机监控 最大面积 双摄像机监控 最大矩形面积 有无时间 盲区 固定监控 7.5 米 50 度 24.54 平方米 28.13 平方米 无 旋转监控 2.5 米 360 度 19.63 平方米 25.00 平方米 有 图

17、 4 摄像机固定与旋转监控方式区域比较 如图 4 所示将两种摄像机方式的监控区域进行重叠比较， 采用画图软件粗略 估算得到固定监控方式能覆盖旋转监控方式监控区域的 90%以上， 同时固定监控 方式能覆盖旋转监控最大矩形区域的 95%以上。 根据表 1 中的结果同样可以直观 定性判断得出就覆盖面积而言固定监控方式较优于旋转监控方式。但是，值得注 意的是挡板的存在往往会使固定摄像机的监控范围大大减少。 综上所述粗略得出 针对复杂区域监控的摄像机选择结论如下： 采用固定摄像机监控有助于增加监控 覆盖面积，采用旋转监控方式有助于减少摄像机的使用数目。 4.1.3. 覆盖面积最大的摄像机设置优化模型的建

18、立 上文对简单区域的监控摄像机选择进行了研究。而本问题中的艺术展馆一共 包含 3 个展区，展区内可能设有挡板，展区布局复杂。为了尽可能多的增大监控 覆盖面积，所需要的两种监控摄像机数目较多，这时对于摄像机位置的合理设置 应建立一个优化模型来描述。下面将对优化模型的目标函数、决策变量、约束条 件等组成部分进行说明。 (1)展馆展馆区域区域网格化处理网格化处理 对于问题一，两种摄像机优化设置的目标之一是使监控覆盖面积尽可能大。 由于直接从“面”的角度描述摄像机监控范围较为复杂，为了简化问题，这里将 展馆进行网格化处理， 通过摄像机所能监控到的点数目来反映其监控范围的大小。 通过 matlab 编程

19、得到永久展区(permanent exhibition area)处理图（图 5） 、现 代艺术互动画廊(challenge of modern art interactive gallery)处理图（见附录 1） 和南北画廊(south gallery (4) 其中 i a表示第i个网格点是否被监控，若被监控则1 i a ，否则0 i a ； j m表示第 j个网格点是否安装固定摄像机，若安装则1 j m ，否则0 j m ； j n表示第j个 网格点是否安装旋转摄像机，若安装则1 j n ，否则0 j n ； j c表示监测点是否 位于角落处，如果第j个网格点处安装摄像机并且该点位于角落处

20、则0 j c ，否 则1 j c 。 (13,5) (19,0) (4,9) (13,10) (21,10) (13,14) (6,14) (6,20) (14,25) (7,30) (14,31) (21,31) (5,35) (5,44) (14,49) (24,26) (30,20) x y o (19,19) (16,22) (27,23) 8 (3)决策变量决策变量 问题一是设计固定摄像机及旋转摄像机的位置，对于固定摄像机还应考虑其 安装方向。因此针对第一问设计的决策变量有 3 个：, jjj m n。其中 j m可取 1 或 0， 分别表示第j个网格点是否安装固定摄像机； j n可

21、取 1 或 0， 分别表示第j 个网格点是否安装选装摄像机； j 取值范围为0,2，表示固定摄像机安装方 向与水平x轴夹角（如图 6 所示） 。 图 6 固定摄像机安装方向示意图 图 7 网格点监控点连线夹角示意图 (4)约束条件约束条件 约束条件的确定从以下几个方面考虑： 首先，在任意一个网格点上只能安装一台摄像机，即要么安装固定摄像机要 么安装旋转摄像机，因此第一个约束条件为： 1 0,11,2,., 0,1 jj j j mn mjn n , (5) 其中j表示第j个网格点； j m表示第j个网格点是否安装固定摄像机，若安装则 1 j m ， 否则0 j m ； j n表示第j个网格点是

22、否安装旋转摄像机， 若安装则1 j n ， 否则0 j n 。 然后对于 i a的取值即第i个网格点是否被监控可分为两种情况，一种是该网 格点被第j个固定监控点监控，那么1 i a 的条件为： 22 7.5 2525 ijij jijj xxyy , (6) 其中, ii x y为第i个网格点的横纵坐标；, jj xy为第j个固定监控点的横纵坐标； ij 表示监控点与网格点连线相对于x轴正方向逆时针所转过的角度 （如图7所示） ， 其范围为0,2， j 表示监控点安装方向与x轴夹角。 另一种情况是该网格点被旋转摄像机监控，那么1 i a 的条件为： 22 2.5 ijij xxyy， (7)

23、o x y o x y 网格点 监控点 9 其中, ii x y为第i个网格点的横纵坐标，, jj xy为第j个监测点的横纵坐标。 综上所述，最终得到问题一模型的约束条件为： 22 22 1 0,1 . .0,1,1,2,., 7.52525 2.5 jj j j iijijjijj ijij mn m stni jn axxyyand orxxyy ; (8) 其中 j m表示第j个网格点是否安装固定摄像机，若安装则1 j m ，否则0 j m ； j n表示第j个网格点是否安装旋转摄像机， 若安装则1 j n ， 否则0 j n ；, ii x y为 第i个网格点的横纵坐标；, jj xy

24、为第j个固定监控点的横纵坐标； ij 表示监控 点与网格点连线相对于x轴正方向逆时针所转过的角度， j 表示监控点安装方向 与x轴夹角。 (5) 优化模型的最终建立优化模型的最终建立 综合上文对目标函数、决策变量以及约束条件的研究，最终针对问题一建立 了以监控网格点数最多、监控摄像机数目最少、摄像机尽可能位于角落为目标函 数， 以固定摄像机的位置和方向以及旋转摄像机的位置为决策变量的多目标优化 模型（式 8） 。 111 22 22 max; min; min 1 0,1 . .0,1,1,2,., 7.52525 2.5 nnn ijjj ijj jj j j iijijjijj ijij

25、amnc mn m stni jn axxyyand orxxyy . (9) 其中 i a表示第i个网格点是否被监控，若被监控则1 i a ，否则0 i a ； j m表示第 j个网格点是否安装固定摄像机，若安装则1 j m ，否则0 j m ； j n表示第j个 网格点是否安装旋转摄像机，若安装则1 j n ，否则0 j n ； j c表示监测点是否 位于角落处，如果第j个网格点处安装摄像机并且该点位于角落处则0 j c ，否 则1 j c ;n为网格点总数。 10 4.1.4. 覆盖面积最大的摄像机设置优化模型的求解 上文针对设置监控摄像头使监测面积最大建立了多目标优化模型，对于该模 型

26、难以直接求解，需要根据实际情况将模型进行简化。 (1)模型的简化模型的简化 由于问题一优化模型有三个目标函数，这里考虑将其简化为一个。目标函数 之一为监控网格数最大， 而在实际情况中如果条件允许将尽量使监控覆盖整个展 区， 因此该目标函数可转化为监控覆盖所有网格点而加入约束条件中。而对于目 标函数中监控点尽量位于角落，由于展区面积较大，能安装摄像机的位置相比于 角落的数目要多很多，这样尽量减少摄像机数目才是更为重要的优化目标；并且 由于角落数目少，也便于将求解结果中某些摄像机位置改变，使其接近角落。 由以上分析，问题一的模型可简化为： 1 22 22 1 min 1 0,1 0,1 7.525

27、25 . .,1,2,., 2.5 n jj j jj j j iijijjijj ijij n i i mn mn m n axxyyand sti jn orxxyy an (10) 其中 j m表示第j个网格点是否安装固定摄像机，若安装则1 j m ，否则0 j m ； j n表示第j个网格点是否安装旋转摄像机，若安装则1 j n ，否则0 j n ； i a表 示第i个网格点是否被监控，若被监控则1 i a ，否则0 i a ；n为网格点总数。 (2)分区求解的思想分区求解的思想 经过上一步的化简，针对问题一建立的优化模型为非线性整数规划模型，此 类模型往往偏向于采用遗传算法等智能算法

28、进行求解； 又由于该模型针对的是某 艺术展馆复杂的平面布局，这样采用智能算法在进行编程时更为复杂。 通过对展馆 3 大区域的观察，以永久展区（图 5）为例，永久展区中又包含 了早期岁月(the early years)、巴黎岁月(the paris years)、纽约岁月(new york )等小 分区，这些小分区间用往往由墙壁、隔板等隔开，小分区从空间上而言相对独立 且为较规则形状（主要为矩形） 。 考虑小分区的特点，采用贪婪算法的思想，将展馆 3 大区域划分成不同的较 规则区域（例如图 8） ，对这些区域求解优化模型得到监控摄像机的种类、数目 及位置， 将各区域结果综合并依据前文对简单区域

29、摄像头设置研究结论以及摄像 头尽量位于角落的实际要求，对求解结果进行修正。 11 图 8 永久分区规则区域划分图 (3)求解结果求解结果 采用上文所述的分区求解思想，应用 lingo 软件对展馆 3 大区域各个小规则 分区求解模型（代码见附录 2） ，综合各分区求解结果并考虑展区中存在的挡板 进行修正，得到表 2 所示结果（完整结果见附录 3） ，其中采用的坐标系如图 5 所示。 表 2 问题一监控摄像头设置结果 监控区域 序号 摄像机种类 横坐标/ mm 纵坐标/ mm 方向角/ 弧度 是否位于 角落 永久展区 1 固定摄像机 0 0 1.13 是 2 固定摄像机 0 0 0.44 是 3

30、固定摄像机 650 500 5.15 是 . . . 16 旋转摄像机 900 650 否 17 旋转摄像机 800 1100 否 18 旋转摄像机 1400 850 否 现代艺术 互动画廊 19 固定摄像机 500 0 1.48 否 20 固定摄像机 500 0 2.36 否 . . . . . . 27 旋转摄像机 1200 1450 否 28 旋转摄像机 850 1050 否 南北画廊 29 旋转摄像头 600 100 否 30 旋转摄像头 200 100 否 表 2 说明为了实现对展区监控的全覆盖，需要 30 个摄像头，其中永久展区 18 个，现代艺术互动画廊 10 个，南北画廊两个。

31、 12 图 9 永久展区监控摄像头布置示意图 图 9 直观反映了永久展区各监控摄像头监控区域的相对位置关系。从图 8 可 知为了达到监控覆盖整个展区的目的，各个摄像头监控区域存在较多重叠，少量 重叠有助于应对某个摄像头出现故障时的情况， 但较多重叠则是一种对监控资源 的浪费。 这实质反映了仅仅考虑覆盖区域的大小作为设置摄像头的目标是不尽合 理的。 4.2. 问题二 4.2.1. 问题二的分析 问题二研究在预算资金不足、不能在全馆安装足够数量的监视摄像机时，如 何制定这种情形下的最优安装策略，并给出相应的安全性评价。 在问题一中已经求解了展馆被监控完全覆盖时，监控摄像头的设置方式。对 于第二问，

32、由于预算资金不足，监控摄像机数目有限，此时将不能保证监控范围 覆盖整个展区。 在摄像机数目有限时应该考虑将摄像机尽量监控更为重要的区域。 由此可以考虑定义一个重要度指标， 由于展馆墙上或隔板上的艺术品应该是监控 的重点，那么可以定义展馆墙上和挡板上的网格点重要度为 1，而其他地面上的 网格点的重要度应该与这些点和附近艺术品间距离呈负相关关系， 考虑采用反比 函数描述这种关系。 在定义了各个网格点的重要度后，对于问题二中优化模型可考虑将所有被监 控点的重要度之和作为优化的目标函数， 将摄像机的数目以及问题一中约束条件 作为本模型中的约束条件，这样建立单目标优化模型。 对于该模型的求解，采用类似于

33、问题一中的解法，将展馆分成多个简单区域 分别应用 lingo 软件求解， 并利用问题一中简单区域安装摄像头的相关结论对求 解结果进行修正。 4.2.2. 基于重要度的摄像机设置优化模型的建立 在问题二中由于经费限制，摄像机数目有限，因此将无法像问题一中监控区 域覆盖整个展区。这样有些区域将无法被摄像头监控，但是又不能使展馆安全性 13 大大降低。考虑到进行监控时一些区域（如珍贵展品所处区域）应该为重点监控 对象，本文提出“重要度”这一概念。 (1) 重要度的定义重要度的定义及目标函数的确定及目标函数的确定 实际上单纯追求监测面积全覆盖是只是一个理想目标，对实际应用中的布点 布局指导意义并不大1

34、。艺术展馆在布置监控摄像机时，首要目的是对艺术品进 行监控。本问题中的艺术品主要位于墙壁和隔板上，引入重要度的概念可认为墙 壁和隔板上的点更为重要，更需着重监控。而对于远离艺术品的点，可以认为它 们与艺术品间距离越大，重要度越低。而这里所说的距离，是指网格点与最近的 艺术品间距离。下面结合图 10 对重要度这一概念进行进一步阐述。 图 10 网格点重要度示意图 如图 10 所示，左图中黑点到两块墙壁的距离均为 3，右图中黑点到一块墙壁的 距离为 7 而到另一块墙壁的距离为 1，这样由上文对重要度的定义，在进行监控 时对右图中的点监控更为重要。 同时考虑到在艺术品附近的人对艺术品的潜在威胁更大，

35、而当距离增加到一 定程度时其潜在威胁将大大减弱， 因此定义网格点重要度与它到最近艺术品距离 满足图 11 所示二次函数关系。 图 11 重要度与距离间关系 设第i个网格点重要度 i i与它到最近艺术品距离d满足的关系为： 2 i iadbdc, (11) 其中, ,a b c为待定系数。设墙壁和隔板上的点重要度为 1，而考虑展馆大小设在 网格点与艺术品距离3md 时重要度为 0，同时假定在距离2md 处的点重要 度为 0.5，这样就可以求出本问题中重要度与距离间的关系为： 2 11 1 1212 iii idd . (12) 依据引入的重要度概念，对于问题二中在有限数目摄像机的监控设置优化模

36、型，选择所有被监测点的重要度之和最大作为目标函数。采用 i a表示第i个网格 o 距离 重要度 14 点是否被监控，则目标函数表示为： 1 max n ii i a i . (13) 其中n为网格点的总数。 (2)决策变量决策变量 决策变量的选择同第一问：, jjj m n。其中 j m是否安装固定摄像机； j n表示 是否安装选装摄像机； j 表示固定摄像机安装方向与水平x轴夹角。这里不再赘 述。 (3)约束条件约束条件 首先，在任意一个网格点上只能安装一种摄像机，即要么安装固定摄像机要 么安装旋转摄像机；同时由于资金原因摄像机的总数由限制。因此第一个约束条 件为： 1 0,1 1,2,.,

37、 0,1 jj j j jj mn m jn n mnp , (14) 其中j表示第j个网格点； j m表示第j个网格点是否安装固定摄像机，若安 装则1 j m ，否则0 j m ； j n表示第j个网格点是否安装旋转摄像机，若安装则 1 j n ，否则0 j n ；p表示展馆所能承受的摄像机最大数目 然后对于 i a的取值即第i个网格点是否被监控可分为两种情况，一种是该网 格点被第j个固定监控点监控，那么1 i a 的条件为： 22 7.5 2525 ijij jijj xxyy , (15) 其中, ii x y为第i个网格点的横纵坐标；, jj xy为第j个固定监控点的横纵坐标； ij

38、表示监控点与网格点连线相对于x轴正方向逆时针所转过的角度 （如图7所示） ， 其范围为0,2， j 表示监控点安装方向与x轴夹角。 另一种情况是该网格点被旋转摄像机监控，那么1 i a 的条件为： 22 2.5 ijij xxyy， (16) 其中, ii x y为第i个网格点的横纵坐标，, jj xy为第j个监测点的横纵坐标。 综上所述，最终得到问题一模型的约束条件为： 15 22 22 1 0,1 0,1. .,1,2,., 7.52525 2.5 jj jj j j iijijjijj ijij mn mnp m nsti jn axxyyand orxxyy ; (17) 其中 j m

39、表示第j个网格点是否安装固定摄像机，若安装则1 j m ，否则0 j m ； j n表示第j个网格点是否安装旋转摄像机，若安装则1 j n ，否则0 j n ；p表示 允许安装摄像机的最大数目, ii x y为第i个网格点的横纵坐标；, jj xy为第j个固定 监控点的横纵坐标； ij 表示监控点与网格点连线相对于x轴正方向逆时针所转过 的角度， j 表示监控点安装方向与x轴夹角；n为网格点总数。 (4) 优化模型的最终建立优化模型的最终建立 综上所述，最终建立以所有被监控点重要度之和为目标函数，以固定摄像机 数目和方向以及旋转摄像机数目为决策变量的优化模型（式 18） 。 1 22 22 m

40、ax 1 0,1 0,1. .,1,2,., 7.52525 2.5 n ii i jj jj j j iijijjijj ijij a i mn mnp m nsti jn axxyyand orxxyy . (18) 其中 i a表示第i个网格点是否被监控； i i表示第i个网格点的重要度， 计算公式见 式 12； j m表示第j个网格点是否安装固定摄像机， 若安装则1 j m ， 否则0 j m ； j n表示第j个网格点是否安装旋转摄像机，若安装则1 j n ，否则0 j n ；p表示 允许安装摄像机的最大数目, ii x y为第i个网格点的横纵坐标；, jj xy为第j个固定 监控点

41、的横纵坐标； ij 表示监控点与网格点连线相对于x轴正方向逆时针所转过 的角度， j 表示监控点安装方向与x轴夹角；n为网格点总数。 4.2.3. 基于重要度的摄像机设置优化模型的求解 针对问题二建立的模型属于单目标非线性整数优化模型，考虑到实际情况中 展馆安装监控摄像机的预算是一定的，这样能够安装的摄像机数目也是一定的。 16 所以考虑在约束条件中对摄像机数目作出具体限制。 (1)模型的模型的简化简化 实际情况中当摄像机数目有限制时，为了展馆的安全，将尽可能多的布设摄 像机，因此原模型可简化为： 1 22 22 max 1 0,1 0,1. .,1,2,., 7.52525 2.5 n ii

42、 i jj jj j j iijijjijj ijij a i mn mnp m nsti jn axxyyand orxxyy . (19) 其中 i a表示第i个网格点是否被监控； i i表示第i个网格点的重要度， 计算公式见 式 11； j m表示第j个网格点是否安装固定摄像机， 若安装则1 j m ， 否则0 j m ； j n表示第j个网格点是否安装旋转摄像机，若安装则1 j n ，否则0 j n ；p表示 允许安装摄像机的最大数目, ii x y为第i个网格点的横纵坐标；, jj xy为第j个固定 监控点的横纵坐标； ij 表示监控点与网格点连线相对于x轴正方向逆时针所转过 的角度

43、， j 表示监控点安装方向与x轴夹角；n为网格点总数。 (2)求解结果求解结果 对于问题二简化后的模型（式 19） ，仍然沿用问题一中分区求解的思路，针 对 3 大展区各个小分区采用 lingo 软件求解得到局部最优解（代码见附录 4） ， 再综合全部区域的监控摄像机设置结果， 并根据实际情况与前文简单区域摄像头 布置规律进行修正。这里本文就每个小分区均减少一个摄像头为例最终得到表 3 所示结果（完整结果见附录 5） 。 表 3 问题二监控摄像头设置结果 监控区域 序号 摄像机 种类 横坐标/ mm 纵坐标/ mm 方向角/ 弧度 是否位于 角落 永久分区 1 固定摄像头 0 0 0.44 是

44、 2 固定摄像头 300 1000 5.85 是 3 固定摄像头 650 1000 4.28 否 . . . . . . 13 旋转摄像头 1400 850 否 现代艺术 互动画廊 14 固定摄像头 500 0 1.48 否 . . . . . . 20 旋转摄像头 650 1000 否 南北画廊 21 旋转摄像头 600 100 否 22 旋转摄像头 200 100 否 17 4.2.4. 安全性评价 安全是指人类所面临的系统存在或运行的状态对人类的生命、财产、环境可 能造成的危害低于目前人类所能接受的最低限度2。安全评价就是对评价系统的 整体运行过程的安全程度进行评估。 安全评价能为系统的

45、进一步改进提供信息基 础。 (1)评价指标体系的建立评价指标体系的建立 对于艺术品展馆此类安全监控场所，对于其安全性指标的选取应满足以下 3 个原则3。系统整体性，即评估的目的、原则和指标能够相互关联，形成系统整 体；评价指标能够客观全面反映监控防护系统的整体水平。科学性，即评估指标 体系能够反映监控防护系统的一般规律，展示该系统的特征，同时符合相关的行 业规范和标准，不重复、不遗漏。实用性，即评估指标体系具有确定性、可量化 性和可操作性， 指标含义必须明确具体， 同时在科学性的基础上能实际操作测量。 根据以上原则，本文选取以下两个指标。指标 1 为监控覆盖率，即监控面积 占展馆总面积的百分比

46、，当覆盖率更大时意味着展馆监控盲区更少，那么展馆的 安全性将会提高；指标 2 为监控强度，监控强度定义为所有被监测点重要度与监 测它的摄像头个数之积的总和， 监控强度反映了摄像头用于监测不同目标时对区 域安全的增强有着明显差异。 (2)评价结果评价结果 依据上述模型求解结果，采用上文所选取的两个指标，对问题 1 和问题 2 的 监控摄像头设置方案进行比较，得到表 4 所示结果。 表 4 安全性比较结果 监控摄像机数目 监控覆盖率 监控强度 问题 1 方案 30.00 1.00 2028.78 问题 2 方案 22.00 0.85 1630.42 比值 0.73 0.85 0.80 由表 4 可

47、知， 由于资金限制， 问题二中监控摄像机数目仅相当于问题 1 的 0.73， 但是问题二方案的监控覆盖率和监控强度变化比值均大于 0.73， 反映安全性的两 个指标并未随着监控摄像机数目的减少而快速变差， 由此说明在监控摄像机数目 相同时，问题 2 方案安全性优于问题 1 方案。 五、模型的评价与改进 1. 优点：建立了监控摄像头设置方案的多目标优化模型，在求解时提出了将根 据实际情况将多目标优化模型简化成单目标优化模型的方法。 针对问题中展馆的 复杂平面布局，提出了分区求解模型的方法。 2. 缺点：所提出的分区求解模型的方法精确度不够，lingo 求解该模型用时较 长。 3. 改进：采用智能

48、算法求解该优化模型；将障碍物作为约束条件加入模型中。 18 六、参考文献 1 樊亚文.城市图像监控系统科学布点布局问题研究.电视技术.2011 2 程映雪.系统安全评价方法分析.中国安全科学学报.1995 3 李苏宁.安全防范系统的评价模式研究.沈阳航空工业学院.2008 附录 附录 1：网格化结果 o (0,6) (10,0) (26,15) (4,12) (19,15) (4,35) (8,33) (9,37) (26,32) (20,33) (20,35) x y 19 附录 2：问题一 lingo 代码 model: sets: dot1/1.140/:x1,y1; dot2/1.14

49、0/:x2,y2,n; dd(dot1,dot2):d,a; endsets data: x1=ole(d:input1.xls,a1:a56); y1=ole(d:input1.xls,b1:b56); x2=ole(d:input1.xls,c1:c56); y2=ole(d:input1.xls,d1:d56); enddata min=sum(dot2:n); for(dot2(j):for(dot1(i):d(i,j)=sqrt(x1(i)/2-x2(j)/2)2+(y1(i)/2-y2(j)/2)2); for(dd(i,j)| (d(i,j) #le# 2.5): a(i,j)=

50、n(j); for(dd(i,j)|d(i,j) #gt# 2.5: a(i,j)=0); for(dot2:bin(n); for(dot1(i):sum(dot2(j):a(i,j)=1); 附录 3：问题一求解结果 监控区域 序号 摄像机种类 横坐标/ mm 纵坐标/ mm 方向角/ 弧度 是否位于 角落 永久展区 1 固定摄像机 0 0 1.13 是 2 固定摄像机 0 0 0.44 是 3 固定摄像机 650 500 5.15 是 4 固定摄像机 650 500 5.85 是 5 固定摄像机 650 1000 4.28 否 o x y (8,0) (15,4 (8,4) 20 6 固定摄像机 300 1000 5.85 是 7 固定摄像机 650 1000 2.71 否