2012-固体理论第二章声子-第二讲

1、经典专著推荐阅读 Solid State Theory Walter A. Harrison Professor of Applied Physics Stanford University McGraw-Hill Book Company,第二章 声子,2.5 长波方法（一）声学模 长波近似下的声子有着重要的作用。 声频支代表同一原胞中各基元（原子）的质心运动， 复式晶格的声学模也可以用简单晶格方法进行处理，只需认为M是原胞中原子的总质量。,第二章 声子,对于长波长的晶格振动，其振幅在原胞间缓慢变化，晶体结构的原子性对此影响不大。可以过渡到连续介质模型：,则有：,引入位移场：,第二章 声子,

2、u(r)也是t的函数，作泰勒展开： 再定义密度为：,第二章 声子,故动能可以改写为：,注意：,动能密度,第二章 声子,晶体中的振动势能在简谐近似下较复杂：,第二章 声子,第二章 声子,第二章 声子,参数C为弹性系数：,势能密度：,第二章 声子,第二章 声子,具体求解弹性问题时， 首先应该考虑对称性， 确定弹性系数之间的关系， 简化势能密度的表达式。,第二章 声子,晶体的弹性行为可以用应力T、应变S描述。 T、S均为二阶对称张量。 应力张量T的单位为：N/m2,第二章 声子,应变张量S为无量纲参数：,第二章 声子,由于Tij=Tji; Sij=Sji 即T23=T32 、T12=T21 、T13

3、=T31 S23=S32 、S12=S21 、S13=S31 T、S均只有6个独立分量,第二章 声子,可以令： 三个法向应力： T11T1; T22T2; T33T3; 三个切向应力： T23T4; T13T5; T12T6;,第二章 声子,可以令： 三个法向应变： S11S1; S22S2; S33S3; 三个切向应变： 2S23S4; 2S13S5; 2S12S6;,第二章 声子,T、S的关系在弹性限度范围内是线性的，即满足广义虎克定律：,第二章 声子,sij为弹性柔顺系数，实际是一个四阶对称张量sikjl ，单位为m2/N。 sikjl应该有81个分量，做了简化处理后， sij有36个分

4、量。 由对称性，sikjl独立的分量最多为21个,第二章 声子,上式也可简化为：,第二章 声子,广义虎克定律也可表示为：,第二章 声子,或者： cij为弹性刚度系数，单位为N/m2，分量形式与sij是一样的，其中独立的分量也是21个。,第二章 声子,例：一维连续介质中的弹性波 a）导出弹性波的波动方程，证明波速： Y是杨氏模量，为质量密度 b）证明对于一维单原子链。在长波极限下，Y和力常数k有关系： Yka a为点阵常数,第二章 声子,解 ： a)设一准连续介质，x点的位移为u(x)，x+dx的位移为u(x+dx)，应变为：,第二章 声子,因应变产生的恢复力为：,第二章 声子,考虑dx段，质量

5、为dx，运动方程为：,第二章 声子,是一维连续介质中的弹性波的波动方程,第二章 声子,有通解：,代入波动方程，有解:,第二章 声子,第二章 声子,b)一维单原子链，长波极限下的色散关系：,第二章 声子,波速为：,第二章 声子,第二章 声子,弹性动力学方程 如果体积元xyz在x方向受力，则有：,第二章 声子,当体积元趋于一个点时，方程变为：,第二章 声子,同理有：,第二章 声子,弹性动力学方程为：,第二章 声子,弹性波： 张量算符表示弹性动力学方程：,第二章 声子,由（2）式对时间求导：,第二章 声子,第二章 声子,第二章 声子,第二章 声子,设弹性波的传播方向单位矢量为I：,波矢为k的弹性波有

6、因子：,第二章 声子,第二章 声子,第二章 声子,第二章 声子,（7）为克利斯托夫（Christoffel）方程,第二章 声子,(7)式可以写成：,第二章 声子,为克利斯托夫模量,第二章 声子,例如：,第二章 声子,由（8）式可以求出三个ceff，对应于三个弹性波。 波速分别为：,第二章 声子,对于立方晶体，由对称性有：,第二章 声子,由（8）式，对于立方晶体，有：,第二章 声子,如果沿晶轴传播，则有简化式，如沿100传播，此时ly=lz=0; lx=1：,第二章 声子,方程有三个根：,对应的波速：,第二章 声子,将计算得到的c1代入（8）式，有：,表明质点位移的方向与传播方向一致，是纵波,第

7、二章 声子,将计算得到的c2或c3代入（8）式，有：,表明质点位移的方向与传播方向垂直，是横波,第二章 声子,对于：,由于质点位移在y、z方向同时存在，故合位移多为椭圆偏振的。,第二章 声子,对于沿110方向传播的弹性波，有：,第二章 声子,第二章 声子,相应的传播速度为：,第二章 声子,将计算得到的c1代入（8）式，有：,表明质点位移的方向与传播方向一致，是纵波,第二章 声子,将计算得到的c2 代入（8）式，有：,表明质点位移的方向与传播方向垂直，是横波,第二章 声子,将计算得到的c3 代入（8）式，有：,表明质点位移的方向与传播方向垂直，是横波,第二章 声子,可以看出，对于立方晶体： 沿某

8、一方向传播的弹性波，一般有三个模式。 110方向：一个纵波；两个横波 100方向：一个纵波；两个横波是简并的,第二章 声子,但对于对称性差的晶体： 在某一方向传播的弹性波，虽有三个模式；往往不是纯纵波；或纯横波。 多为纵波和横波的耦合形式，称为准纵波或准横波,第二章 声子,回到势能密度的表达式：,如果把晶体看成是弹性各向同性体（相当于连续介质），这时弹性能与取向无关。 则上式绕任意轴旋转应当不变。,第二章 声子,故弹性各向同性体的形变能密度为：,第二章 声子,长波近似下的动力矩阵为：,第二章 声子,由此可以得到长波近似下的波动方程：,第二章 声子,显然，当k0，0 利用弹性各向同性体的特点：,

9、第二章 声子,第二章 声子,由（2.5.16）: 说明有一个纵波解、 两个横波解：,第二章 声子,由于假设了：,第二章 声子,是弹性波方程,第二章 声子,当为弹性各向同性体时，有：,第二章 声子,变化为矢量形式：,是连续介质的弹性波的波动方程,第二章 声子,对弹性各向同性体，哈密顿量为：,第二章 声子,类似引入简正坐标：,第二章 声子,系统的哈密顿量的简正坐标表示：,第二章 声子,利用声子产生与湮灭算符：,有一个纵波解和两个横波解,第二章 声子,考虑到变化式：,第二章 声子,第二章 声子,弹性体的体积的相对变化为： 每一个单项，并不对应于频率为（k）的简谐振子的哈密顿量：,表明纵波导致体积变化

10、。LA声子比TA声子更重要。,第二章 声子,2.6 长波方法（二）光学模 在离子晶体中长波光学模代表原胞中正负离子的反方向运动，产生极化。 这里介绍黄昆长波方法。,第二章 声子,设每个原胞中只含有两个电荷量相等、方向相反的离子。 在各向同性连续介质模型中，长波限下各原胞中正负离子的相对位移几乎一致，,则有：,折合位移 折合质量,第二章 声子,光频支的动能密度： 势能密度：,第二章 声子,弹性能部分可以表示为：,注意：,第二章 声子,晶体中极化产生的势能：,第二章 声子,第二章 声子,由正则方程：,右边第一项代表弹性恢复力，短程作用 第二项代表极化产生的内场对离子运动的作用力， 长程作用,第二章

11、 声子,长波法优点在于用宏观内场E代替了对离子间的长程库仑力的求和。,黄昆 方程,第二章 声子,1、介电函数 待定系数与介电函数有关： 考虑平面波解，当 k=0 有：,第二章 声子,黄昆方程为：,第二章 声子,消去 W 后有：,注意：DE4PE,第二章 声子,当=0，即为静态介电常数0 当，即为高频（光频）介电常数0,第二章 声子,第二章 声子,可以得到介电函数的一般表达式：,第二章 声子,2、横波及纵波方程 光学模也可又分为纵波部分和横波部分：,第二章 声子,当无外电磁场时：,第二章 声子,横波方程为：,第二章 声子,对于纵波，考虑到离子晶体的平均电荷密度为零，,第二章 声子,考虑到：,第二

12、章 声子,第二章 声子,第二章 声子,注意到：,第二章 声子,第二章 声子,第二章 声子,是 LST(Lyddane-Sachs-Teller)关系,第二章 声子,第二章 声子,当：,说明此频段的电磁波不能在晶体内部传播，只能在边界被反射。,第二章 声子,第二章 声子,第二章 声子,第二章 声子,L为介电函数的零点频率； T为介电函数的极点。,第二章 声子,例：金属钠的离子的振动，已知离子质量 M3.841023g; 电子数密度N2.651022, 试估计金属钠中的声速 解：1）钠离子受到的恢复力主要为库仑力：,第二章 声子,第二章 声子,离子运动方程：,第二章 声子,振动频率为： 由已知条件：M3.841023g; 电子数密度N2.651022,第二章 声子,注意：,第二章 声子,频率为：,第二章 声子,3）估计声速：,第二章 声子,在金属中的声速