超静定结构的内力计算不错的讲义

1、第六章超静定结构内力计算，返回总目录、力法、位移法、力矩分配法，本章内容，教学要求：本章要求学生理解简单超静定结构的计算原理。掌握超静定结构的应力特征，判断超静定次数。简单的超静定结构可以用力法、位移法和力矩分配法求解。力法，1，超静定结构，超静定结构，如图6.1所示，也称为超静定结构。它是工程实践中常用的一种结构。其几何组成的特点是几何不变系统有冗余约束；其静态解的特点是不能从静态平衡条件完全计算出其各截面的承载反力和内力，必须补充变形条件。图6.1超静定结构。超静定结构有几种类型。(1)超静定梁，如图6.2所示。(2)超静定刚架，如图6.3所示。(3)超静定拱，如图6.4所示。图6.2超静

2、定梁，图6.3超静定刚架，图6.4超静定拱，力法，(4)超静定桁架，如图6.5所示。(5)超静定组合结构，如图6.6所示。图6.5超静定桁架和图6.6超静定复合结构。超静定结构的计算方法有很多种，根据基本未知量的不同选择，可分为两类：一类是以多余的未知力作为未知量的力法，将在本节介绍；另一种是以节点位移为未知量的位移法。大多数其他计算方法都是从这两种方法推导出来的，如力矩分配法。第二，超静定数的确定，超静定结构的多余约束力数称为超静定数。一个结构的超静定数可以确定如下：如果该结构在去除冗余约束后变为超静定，则该结构的超静定数为。有几种方法可以解除超静定结构的多余约束：(1)拆除支柱或切断链环相

3、当于解除约束(如图6.7(a)和(b)所示)。(2)拆除固定铰链支架或切割单个铰链相当于提升两个约束(如图6.7(c)和(d)所示)。(3)拆除固定支架或切断横梁相当于提升三个约束(如图6.7(e)和(f)所示)。(4)将固定轴承改为固定铰链轴承，或将单个铰链添加到梁杆的某个部分(将刚性结改为铰链)，等同于解除约束(如图6.7(g)和(h)所示)。注：(1)必要的约束条件不能消除，使剩余的结构成为一个几何可变系统；(2)应该删除所有多余的约束，而不仅仅是其中的一些。在用这种方法确定超静定结构的超静定次数时，我们应该尽量将超静定结构去掉多余的约束，做成常见的简支梁和悬臂梁形式。图6.7消除了超静

4、定结构的冗余约束，力法例6.1确定了图6.8(a)所示结构的超静定时间。图6.8是超静定结构。拆除三根与地面连接的支柱后，桁架可视为由四根链杆连接的两个刚性件(如图6.8(b)所示)，这是一个超静定结构。为了使它成为静定结构，这四个环节中的一个可以随意拆除。所得静定结构如图6.8(c)所示，截断杆的作用力由一对多余的未知力X1代替。力法的基本原理和力法的典型方程。以一个二次超静定刚架为例，说明力法的基本原理以及如何建立多个超静定结构的力法方程；此外，它被扩展到亚静态I根据叠加原理，上述位移条件可表示为：这是二次超静定结构的力法方程。对于n次超静定结构，存在n个多余的未知力，每个多余的未知力结构

5、对应一个已知的位移条件。因此，可以建立包含n个未知量的方程组，从而可以求解n个多余的约束力。(6-1)、力法和公式(6-1)通常称为力法的典型方程，其物理意义是冗余约束的位移等于冗余未知力和载荷共同作用下原超静定结构的相应位移。在上述方程中，主对角线上未知力的系数ii(i=1，2，n)称为主系数，它表示单位未知力Xi=1单独作用于基本结构所引起的位移，其值总是正的。剩余的系数ij(ij)被称为二次系数，其表示由未知力Xj=1单独作用于未知力Xi引起的基本结构在Xi方向上的位移。自由项iP表示在外部载荷(或温度变化、支架运动)作用下，基础结构在未知力Xi方向上的位移。子系数ij(ij)和自由项i

6、P的值可以是正、负或零。根据位移等效定理，子系数有如下关系：ij=ji典型方程中的每个系数和自由项是基础结构在已知力作用下的位移计算，可以通过静定结构的位移计算得到。将得到的系数和自由项代入力法的典型方程，求解多余的未知力X1，X2，Xn。然后，将获得的多余的未知力和载荷一起作用在基本结构上，并使用平衡条件计算剩余的反作用力和内力。在绘制原结构的最终内力图时，可通过基本结构的单位内力图和荷载内力图的叠加方法，即力法(6-2)获得，其中单位未知力Xi=1分别作用于基本结构的弯矩、剪力和轴力；它们是作用在基础结构上的弯矩、剪力和外荷载的轴向力。4.用力法计算简单超静定结构和用力法计算超静定结构可以

7、按以下步骤进行：(1)确定超静定次数，去掉多余的约束，用多余的未知力代替，得到原结构的基本体系。(2)根据消除冗余约束后的基础结构在冗余未知力和载荷共同作用下的位移等于原结构相应位移的条件，建立了力法的典型方程。(3)依次绘制基本结构在各单元未知力和载荷作用下的内力图，然后用积分法(或图形乘法)计算典型方程中的系数和自由项。(4)求解典型方程，得到多余的未知力。(5)根据静定结构分析方法，利用平衡条件和叠加原理绘制结构内力图。(6)检查。力法，下面结合具体例子来说明力法的应用。例6.2图6.10(a)所示的刚架是用力法计算的，每根杆件的EI相等且不变，并画出内力图。图6.10超静定刚架，解(1

8、)通过几何组合分析可知，结构为二次超静定，通过去掉两个冗余约束得到基本结构，如图6.10(b)所示。力法，(2)从已知点的位移条件列出力法的典型方程，(3)画出基本系统图，用图乘法求出系数和自由项，求解方程求出X1和X2。力法，将各系数和自由项代入典型方程，得到，(4)用公式计算各截面的弯矩值，并绘制弯矩图，如图6.11(a)所示。力图a5.温度变化和轴承移动时超静定结构内力的计算。对于超静定结构，即使没有载荷，如轴承运动、温度变化以及制造和装配误差，也会产生内力。用力法计算由支座移动和温度变化引起的结构内力时，其基本思想、原理和步骤与荷载作用下内力计算的基本思想、原理和步骤基本相同，但区别在

9、于力法典型方程中自由项的计算。以下仅以支架移动时的计算为例。例6.3对于图6.13(a)所示的等截面梁，已知的端支座转角为端支座的沉降位移。试求梁的弯矩图。图6.13，示例6.3，力法，解决方案(1) AB是一个主超静定梁，B轴承的冗余约束被移除，冗余约束反作用力X1被替换。基本系统如图6.13(b)所示。(2)在X1、A的共同作用下，基础体系与原结构具有相同的受力。为了使两个变形相同，有必要使基本系统在冗余约束下的位移与原始结构的位移相同，即讨论基本系统1a的点B的垂直位移，负号表示轴承位移A与X1设定的方向相反。从图6.13(c)可知11X 1 1c a:1c=1，负号表示1c和X1方向相

10、反。从基本结构图(如图6.13(d)所示)中，得到：并用力法方程代替，得到：(3)计算内力。原超静定结构的内力与基本体系的内力相同，但支座的移动不会引起基本体系(静定结构)的内力，因此最终弯矩为：力法，原结构的弯矩图如图6.13(e)所示。可以看出，在计算由支座移动引起的超静定结构内力时，力法方程的右端项应等于原结构的相应位移，而自由项则是支座移动引起的基础结构的位移，对应于多余的未知力。这两项可以直接从基本结构的变形关系中得到。结构的最终内力都是由多余的未知力引起的。6.超静定结构的位移计算超静定结构力法计算的基本思想是用静定基本系统计算多余的未知力，基本系统的内力和变形与原超静定结构完全相

11、同。因此，在求解超静定结构的位移时，仍然可以借助于基本系统将获得的多余力作为主要力。利用以前计算超静定结构位移的方法，可以计算出基本体系的位移，即原超静定结构的相应位移。单位荷载法仍可用于计算超静定结构的位移，单位力可加到原结构或任何静定基本结构上。超静定结构有一些不同于超静定结构的特点：(1)由于冗余约束，超静定结构的内力不能仅由静力平衡条件来确定，而必须同时考虑变形条件来计算。因此，超静定结构的内力与材料性质和截面尺寸有关，即与构件的刚度有关。7.超静定结构的特点，力法，(2)由于冗余约束，超静定结构一般会在温度变化和支座位移的影响下产生内力；静定结构在荷载以外的其他因素影响下不会产生内力

12、。这一特性在某些条件下对超静定结构有不利影响。例如，当连续梁的局部基础不均匀时一、位移法的基本概念。用位移法分析结构时，首先将结构离散成单个构件，并对构件进行应力分析。然后，考虑变形协调条件和平衡条件，在节点处将构件组装成整体结构。图6.14(a)所示的结构在载荷作用下变形，如图中虚线所示。因为节点是刚性节点，所以构件AB和AC在节点A处具有相同的旋转角度A。此外，如果不考虑杆的轴向变形和剪切变形，并且假设弯曲变形很小，则可以假设弯曲直杆的两端之间的距离在变形之后保持不变，因此节点A被无线移位。通过检查每根杆件的变形，可以绘制出每根杆件的变形图(如图6.14(b)所示)。AB杆相当于单跨梁，一

13、端固定，另一端铰接。除了承受载荷外，固定支架A还产生一个角部A。构件相当于具有固定端的单跨梁，固定端产生角部。这些单跨超静定梁在支座位移和荷载作用下的反力和内力可以用力法求得，但AB和AC杆的转角在这里是未知的。因此，对于整个结构来说，解决的关键是如何确定旋转角度。在图6.14中，用位移法分析结构，用位移法。在图6.15所示的结构受到外部载荷后，每个杆的变形由图中的虚线表示。除了角位移之外，在节点a和b处也有水平位移。因为变形很小，并且假设弯曲后杆两端之间的距离不变，所以可以认为节点a和b都只有水平位移，并且两点处的水平位移相等。因此，该结构具有角位移a和b以及线性位移。图6.15结构变形，以

14、上两个例子表明，只要先计算结构的一些角位移和线位移，就可以完全确定各杆件的内力。如果将节点位移视为基本未知量，则上述单杆的内力和约束反力可由这些节点位移计算出来，节点组装成原结构时，应满足节点的平衡条件，从而得到确定这些未知位移的方程。因此，在位移法分析中应解决以下问题：(1)结构的哪些节点作为基本未知数进行位移。(2)确定杆端力、杆端位移和载荷之间的关系。(3)建立了求解基本未知量的位移法方程。第二，等截面直杆的角位移方程，如上所述，用位移法计算超静定结构时，将杆视为单跨超静定梁，杆端位移可视为单跨梁的支座位移。这样，杆端内力和杆端位移之间的关系就可以用力法求得。杆端内力、杆端位移和载荷之间的关系称为角位移方程。在本节中，利用力法和叠加原理的结果，导出了位移法中常用的等截面直杆的角位移方程。1.单跨超静定梁的形状常数