换元积分法和分部积分法

1、4.2 换元积分法和分部积分法,第四章,一、第一类换元积分法,三、分部积分法,（Integration by Substitution and Integration by Parts ）,二、第二类换元积分法,第二类换元法,第一类换元法,设,可导,则有,基本思路,在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”,给出了“基本积分公式表” 。,但是，,对于形如,这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表,我们就无能为力了。,为此，,一、第一类换元积分法,定理4.2.1,则有换元,公式,(也称配元法, 凑微分法),例4.2.1 1）求,2）求,补充例题1 求,解: 令,则,故,原式 =,补充例

2、题2求,答案：,补充例题3 求,答案：,例4.2.4 求,解:,例4.2.5 求,答案：,万能凑幂法,常用的几种配元形式:,解: 原式 =,补充例题4 求,自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8,例4.2.9 求,解:,例4.2.10,解:,解法2,（与课本解法不一样）,补充例题5 求,解: 原式 =,补充例题6求,或,解,补充例题7,补充例题8,解:,补充例题9,解:,解:,补充例题10,自主学习课本P141例4.2.11例4.2.13,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则用第二类换元积分法 .,难求，,是单调可导函数 , 且,具有

3、原函数 ,证明略, 详细过程可参见课本P142,则有换元公式,定理4.2.2 设,反函数,例4.2.14 计算1）,解:,补充例题11,解:,解: 令,则, 原式,补充例题12 求,自主学习课本P142例4.2.14 2）,解: 令,则, 原式,补充例题13 求,自主学习课本P142例4.2.15,解:,令,则, 原式,补充例题14 求,令,于是,自主学习课本P143例4.2.16,或,从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：,可作代换,可作代换,可作代换,解,于是,第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,第三节讲,(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换,令,2. 常用

4、基本积分公式的补充,前面，我们利用复合函数的求到法则得到了,“换元积分法” 。,但是，,对于形如,的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.,注意到，,这些积分的被积函数都有共同的特点,都是两种不同类型函数的乘积。,这就启发我们把两个,这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.,函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，,积分得:,分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,由导数乘法公式：,第四章,（Integration by Parts）,补充例题16,解: 令,则, 原式,另解: 令,则, 原式,三、分部积分法,答案,一般说来, 当被积函数为下列形式之一时, 可考虑,运用分

5、部积分法进行计算:,幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 ,指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 ,幂函数与指数函数之积 ,指数函数与对数函数之积 ,一个函数难于用其它方法积分 ,两个函数的乘积 .,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,补充例题18 求,解: 令, 则,原式 =,反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数,解题技巧:,自主学习课本P144-P145例4.2.18与例4.2.19,答案：,.,答案：,补充例题22,答案：,补充例题23,答案：,解: 令,则, 原式,补充例题24,解: 令, 则, 原式,再令,