wureverse 第4章 机械振动yhc.ppt

1、力学 振动力学,授课教师 杨宏春,力学内容结构,力学的内容结构体系,振动力学动力学方程,4.1 简谐振动的动力学方程与运动学方程,4.1.1 典型简谐振动的动力学方程,(1) 弹簧谐振子,谐振子模型,牛顿第二定律,(2) 单摆,回复力方程,牛顿第二定律,(3) 复摆,回复力矩方程,刚体转动定律,(4) LC振荡电路,线圈电动势,电容电压,讨论 各类简谐振动问题的动力学方程具有相同形式的微分方程 动力学方程中，2 包含了各典型振动的具体特征,振动力学动力学方程,例4.1.1 比重计圆筒半径为 d，液体密度为 ，不计液体粘滞阻力 证明：用力下压处于平衡的比重计，放手后比重计将作简谐振动,证明：以比

2、重计平衡位置为原点建立图示坐标系,平衡时,偏离平衡位置位移为 x 时,振动力学动力学方程,由牛顿第二定律可得比重计运动的动力学方程为,定义 得,4.1.2 简谐振动的运动学方程,振动力学运动学方程,简谐振动动力学方程的一般形式,动力学方程的解运动学方程,(1) 运动学方程,简谐振动的速度、加速度,简谐振动总能量,(2) 描述简谐振动的解析参量,振动力学运动学方程,振幅 (A) 谐振子距离平衡位置最大位移的绝对值,振幅还表示了振动系统的总能量 E A2，(E =kA2/2),全振动 谐振子从某振动状态开始，发生周而复始的一次变化 周期(T) 谐振子完成一次全振动所需时间 频率(f) 单位时间内谐

3、振子完成全振动的次数 角频率() 谐振子在 2 秒内所作的全振动的次数,振动力学运动学方程,初相位 () 振子的初始振动状态 相位 (t+) 振子 t 时刻的振动状态,课堂讨论：相位参量的双值问题及求解,运动学方程,速度方程,结论：时刻 t，相位参数的双值问题可以通过运动学方程和速度方程判定,例4.1.2 已知 A=0.12 m，T=2 s。当t=0 时，x0=0.06 m，且 vx0 求：(1) 谐振动方程 (2) 当 t=2 s 时，质点的位置、速度、加速度 (3) 由初始时刻到 x=-0.06 m 处所需的最短时间,解：(1) 因 T = 2 s,振动力学运动学方程,A=0.12 m，T

4、=2 s，x0=0.06 m,运动学方程,(2) 当 t=0.5 s 时，质点的位置、速度、加速度,x= 0.104 m， v= -0.189 m/s， a=-1.03 m/s2,(3) 当 x= -0.06 m 时，由运动学方程,由题意，质点沿 x 负方向运动到 x= -0.06 m所需时间最短,振动力学运动学方程,例4.1.3 证明匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动,证明：物体角速度 ，初始位置与 x 轴夹角为，时刻 t 在 x 轴上的位移,满足简谐振动运动学方程，匀速圆周运动在 x 轴上的分量是简谐振动,讨论： 代表物体运动的角速度，又称简谐振动的角速度或角频率 匀速圆周运动在 x

5、轴上的分量是简谐振动的物理图像 高中简谐振动的物理实验,振动力学运动学方程,(3) 简谐振动的几何描述旋转矢量法,A 物理模型,B 旋转矢量方法：用矢量作匀速圆周运动的图形来表示简谐振动,例4.1.4 如图，A=20 cm，m=10 g，T=4 s；t=0时，x0=-10 cm，此时，vx 0 求：(1) t=1 s 时的位移 (2) 何时物体第一次到达 x =10 cm (3) 经多少时间第二次到达x=10 cm，此时的速度、加速度,振动力学运动学方程,解：由题给条件和旋转矢量方法，初始时刻振幅矢量位置,(2) 第一次到达 x=10 cm时，m刚运动了半个周期,(s),(3) 物体需再旋转2

6、/3再次到达 x=10 cm，从t=0算起，需经时间间隔,T/2+ T/3=10/3 (s),将 t=10/3 s 代入速度、加速度计算公式,振动力学振动的能量,4.2简谐振动的能量,谐振子势能,谐振子动能,(1) 简谐振动的瞬时机械能,谐振子机械能,振动力学振动的能量,(2) 简谐振动的能量平均值,弹簧振子在一个周期内的平均动能、平均势能,结论 谐振子的瞬时能量守恒、且等于一个周期的平均总能量 平均动能、平均势能等于总平均能量的一半,(3) 简谐振动的能量与动力学方程,振动力学振动的能量,简谐振动的能量,简谐振动能量守恒,例4.2.1 定滑轮的半径 R，转动惯量 I，弹簧劲度系数 k，物体质

7、量 m 证明：将物体拉离平衡位置后的自由振动为简谐振动 (不计体系的 摩擦),证明：以平衡位置为原点，建立坐标系，物体系的机械能为,对上式求时间一次导,(4) 微振动系统的简谐近似,系统在平衡位置作微振动，将势能函数在 x=x0 附近作级数展开,在平衡位置处，势能的一阶导数为零，忽略高阶级数项,保守力为,振动力学振动的能量,结论：作微振动的系统一般都可以看作为简谐振动的系统,振动力学振动的能量,例4.2.2 长为 L 的刚性轻杆一端连质量为 m 的小球，另一端可绕 o 点转动， 刚性轻杆中点与弹簧相连并使其在水平位置平衡，弹簧的劲度系数为 k 求：系统微振动的固有周期,解：设轻杆平衡时弹簧伸长

8、量为 y0，由力矩平衡,轻杆顺时针转过 微小角时，弹簧被拉长 y,振动力学阻尼振动,4.3 阻尼振动受迫振动共振,4.3.1 阻尼振动,(1) 阻尼振动的相关概念,阻尼振动：物体在阻尼情形下的振动 摩擦阻尼：物体在摩擦阻尼情形下的振动 辐射阻尼：物体在有能量向外辐射下的振动 阻尼振动周期：阻尼振动完成一次完全振动所需的时间,说明：阻尼振动的周期只是一种准周期 阻尼振动的周期比相应简谐振动的周期长,设阻尼振动的阻力为 ，讨论质点的振动情况,(2) 案例分析,振动力学阻尼振动,B 微分方程的解,I 小阻尼情形,A 动力学方程,对数衰减,振动力学阻尼振动,品质因素,对小阻尼情形,II 临界阻尼情形,

9、III 过阻尼情形,振动力学阻尼振动,例4.3.2 水平桌面上弹簧振子质量 m=0.5 kg，劲度系数 k=250 N/m ，与桌面 摩擦阻力为 -v，设初始振幅 A0=5.0 cm，初相位 0=3/2，2s 后振动曲 线的包络线下降到 1.0 cm 求：(1) 和 ； (2) 振动的角频率；(3) 振动的初速度,Ns/m,振动力学受迫振动,(3),(1) 受迫振动的相关概念,4.3.2 受迫振动,受迫振动：系统在持续周期外力(简谐力)作用下发生的振动 受迫力：振动系统所受的周期性外力,(2) 案例分析,设所受周期性外力为 ，阻尼振动的阻力为,A 动力学方程,令,B 动力学方程的解,讨论：受迫

10、振动特征,振动力学受迫振动,振动力学受迫振动,I 受迫振动 = 减幅振动 + 稳定振动,II 强迫力频率对稳定振动振幅的影响,稳定态运动参量,III 位移共振,振动力学受迫振动,发生位移共振时，强迫力频率始终小于系统固有振动频率 弱阻尼情况下，受迫力频率近似等于系统固有频率 无阻尼位移共振时，A,IV 速度共振,振动力学受迫振动,发生速度共振条件：强迫力频率等于系统固有振动频率 弱阻尼情形，位移共振频率近似等于速度共振频率或系统固有频率 无阻尼速度共振时，v0,V 稳定受迫振动情形的能量特征,稳定受迫情形下，时刻 t 系统机械能,稳定受迫情形下，系统一个周期的平均机械能,不同时刻 t，系统机械

11、能不守恒 系统平均机械能守恒，表明系统能量阻尼损耗与受迫力输入能量相等,VI 受迫力输入能量与系统阻尼损耗能量的相位关系,振动力学受迫振动,稳定受迫振动情形下，一个周期内受迫力输入能量,于是,在稳定受迫振动下，受迫力输入能量相位超前于阻尼损耗能量相位,稳定受迫振动情形下，一个周期内阻尼损耗能量,稳定受迫振动情形下，一个周期内系统平均能量守恒,振动力学振动的合成与分解,4.4 振动的合成与分解,4.4.1 振动的分解,解：依傅里叶级数定理，f(t) 是奇函数，故有an=0 (n=0,1,2)，可得,(1) 周期性振动分解,f(t) 的傅里叶级数为,振动力学振动的合成与分解,任何周期性非简谐振动都

12、可以视 为若干简谐振动的叠加 周期性非简谐振动频谱为分离频谱 周期性振动依傅里叶级数定理分解,振动力学振动的合成与分解,(2) 非周期性振动分解,例4.4.2 计算由 2N (N为整数)个正弦波组成的有限正弦波列的傅里叶积分,解：有限正弦波列函数可表示为,依傅里叶积分公式可得,F()在0处有一个极大值，0 称为中心频率,任何非周期性非简谐振动都可以视为若干简谐振动的叠加 非周期性非简谐振动频谱为连续频谱 周期性振动依傅里叶积分定理分解,振动力学振动的合成与分解,4.4.2 振动的合成,(1) 同偏振方向、同频率的简谐振动合成,合振动仍为简谐振动；合振幅与分振动振幅及其初相有关 当 时， 当 时，,振动力学振动的合成与分解,例4.4.3 n 个同偏振、同振幅、同频率，相位依次相差 的简谐振动 求 它们的合振动,解 n 个简谐振动的振动方程可写为,如图几何法表示,振动力学振动的合成与分解,课后思考题：定量计算光栅干涉效应在屏幕上明、暗条纹的