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1、第四节 二阶常系数线性微分方程,一. 二阶线性微分方程解的结构,形如:,显然, y = 0 是(2)的解.,平凡解,讨论非平凡解:,定理1. 如果 是(2)的两个解,则 也是(1)的解,其中 为任意常数.,的二阶微分方程,由于方程中末知函数y及其各阶导数都以一次(线性)形式 出现,故称为二阶线性微分方程。,若,则称为二阶齐次线性微分方程。,若 则方程（1）称为二阶非齐次线性微分方程,即：,例如:,是(2)的解,则 也是(2)的解.,此时,不是通解,设 为定义在 I 上的 n 个函数,如果存在n个不全为零的常数 ,使得,注意: 不一定是通解.,定义：,则称这些函数线性相关，否则称线性无关。,例如

2、:,线性相关,在任意区间I上:,取,线性无关,要使 ,必须,对于两个函数:,如果它们之比为常数,则线性相关;否则,线性无关,例如:,是它的特解,线性无关,通解,一般形式:,二. 二阶常系数线性方程的解法,一般形式:,p,q为常数,分析,由方程特点可看出:,为同一类型函数,之间相差常数因子.,将 代入(1)得:,当 满足(2)时, 是(1)的一个特解.,特征方程,特征根,根据特征根的三种不同情形, 方程(1)的通解有三种情形.,二阶常系数齐次线性方程解法,1.特征根为相异实根 :,是(1)的两个线性无关的特解,则(1)的通解为,2.特征根为二重根 :,是(1)的一个特解,求另一个线性无关的特解.

3、,设 代入方程(1):,取,得到另一个线性无关的特解,则(1)的通解为,线性无关特解,3.特征根为共轭复根:,是(1)的两个特解,则(1)的通解为,例:,则通解为,例:,则通解为,则特解为,例:,则通解为,注:上述解法可推广到 n 阶常系数线性奇次方程:,特征方程,例:,则通解为,二阶常系数线性非齐次方程的解法,一般形式:,p,q为常数,故只要求出(4)的一个特解 .,待定系数法,1. 型,n 次多项式与 指数函数乘积,因此设,待定多项式,将 代入(4)式并整理得:,(1).当 不是特征根时:,因此取,则设,(2).当 是特征单根时:,因此 是 n 次多项式,则设,是n+1次多项式,例:求 的一个特解.,由于 不是特征根,则设,将 代入方程得:,则一个特解为,(3).当 是特征重根时:,因此 是 n 次多项式,则设,是 n+2 次多项式,由于 是特征单根,则设,将 代入方程得:,则一个特解为,因此通解为:,例:求 的通解.,则对应的奇次方程的通解为,2. 型,此时设特解为:,证明略,例:求 的一个特解.,由于 是特征根,则设,将 代入方程得:,则一个特解为,

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