6.4 数列的通项及数列求和.ppt

1、数列的求和,单县一中文科数学组,回扣练习,1.如果等差数列 中， ，那么,2.设an是首项为1的正项数列，且,则它的通项公式是,解（1）方法一 数列an是首项为1的正项数列, anan+10, +1=0, 令 =t,(n+1)t2+t-n=0, (n+1)t-n(t+1)=0, t= 或t=-1（舍去）， 即,方法二 由（n+1） +an+1an=0,得 n( )+an+1(an+1+an)=0, 即（an+1+an）(n+1)an+1-nan=0. an0,an+1+an0,(n+1)an+1-nan=0, 即,探究提高 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高,主要掌握由a1和递推关系先求出

2、前几项,再归纳、猜想an的方法,以及累加：an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+(a2-a1)+a1;累乘：an= 等方法.,高考目标,1掌握数列求和问题的基本解法(公式法、倒序法、错位相减法、通项展开法、裂项法、分组法)。,2帮助学生运用化归的思想方法，把特殊数列问题转化为常见的简单数列的问题。,要点梳理 1.若已知数列an，满足an+1-an=f（n），且f（1）+ f（2）+f（n）可求，则可用 求数列的 通项an. 2.若已知数列an，满足 =f（n），且f(1)f(2) f（n）可求，则可用 求数列的通项an.,累加法,累积法,基础知识 自主学习,3.等差数列前n项和S

3、n= = ， 推导方法： ； 等比数列前n项和 推导方法:乘公比，错位相减法.,Sn=,，,na1,=,q=1, q1.,，,倒序相加法,4.常见数列的前n项和 （1）1+2+3+n= ; （2）2+4+6+2n= ; （3）1+3+5+(2n-1)= ; （4）12+22+32+n2= ; （5）13+23+33+n3= .,n2+n,n2,5.（1）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. （2）拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. （3）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. （4）倒序相加：例如

4、，等差数列前n项和公式的推导.,6.常见的拆项公式有,基础自测 6.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则数列an的前n项和为（） 解析 Sn= =2n+1-2+n2.,【例1】 (2008全国文，19)在数列an中，a1=1，an+1=2an+2n. （1）设bn= .证明：数列bn是等差数列； （2）求数列an的前n项和Sn. （1）证明 an+1=2an+2n， bn= ，bn+1=bn+1，即bn+1-bn=1,b1=1, 故数列bn是首项为1，公差为1的等差数列.,题型一 错位相减法求和,(2)解 由（1）知,bn=n,an=n2n-1, 则Sn=120+221+(n-1)2

5、n-2+n2n-1 2Sn=121+222+(n-1)2n-1+n2n 两式相减，得 Sn=n2n-120-21-2n-1=n2n-2n+1.,解 前n项和为Sn=（1+1）+ = +1+4+7+(3n-2)， 设S1= 当a=1时，S1=n； 当a1时，S1=,【例3】求下列数列的前n项和：,题型三 分组转化求和,S2=1+4+7+（3n-2）= 当a=1时，Sn=S1+S2= 当a1时，Sn=S1+S2=,探究提高 先将求和式中的项进行适当分组调整，使之每一个组为等差或等比数列，然后分别求和，从而得出原数列的和.它是通过对数列通项结构特点的分析研究，将数列分解转化为若干个能求和的新数列的和

6、或差，从而求得原数列的和的一种求和方法.,方法与技巧 1.求数列通项的方法技巧：(1)通过对数列前若干项的观察、分析,找出项与项数之间的统一对应关系，猜想通项公式；(2)理解数列的项与前n项和之间满足an=Sn-Sn-1（n2）的关系，并能灵活运用它解决有关数列问题. 2.an的两种常见变形 an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）（累加法）；an=a1 （累乘法）.,思想方法 感悟提高,3.数列求和的方法技巧 （1）倒序相加：用于等差数列与二项式系数相关联的数列的求和. （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和. （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和

7、数列的求和.,失误与防范 1.直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程. 2.重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和.求和过程中同时要对项数作出准确判断. 3.含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论.,一、选择题 1.等差数列an的通项公式an=2n-1,数列bn= 其前n项和为Sn，则Sn等于（） A. B. C. D.以上都不对,定时检测,解析 an=2n-1， 答案 B,2.已知数列an的前n项和Sn=n2-4n+2，则|a1|+|a2|+|a10|等于（） A.66B.65C.61D.56 解析 当n=1时，a1=S