数学第二轮专题复习第二部分 专题十一探索性问题的解法课件

1、专题十一 探索性问题的解法,数学第二轮专题复习第二部分,1,PPT学习交流,应试策略 ,考题剖析 ,试题特点 ,03,05,07,探索性问题的解法,2,PPT学习交流,探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现规律性的东西.问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往难于下手. 近年来，探索性问题在高考试题中多次出现，主要有以下几类： (1)探索条件型问题：从给定的问题结论出发，追溯结论成立的充分条件；,试题特点,返回目录,探索性问题的解法,3,PPT学习交流,(2)探索结论型问题：从给定的题设条件

2、出发，探求相关的结论； (3)探索存在型问题：从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在； (4)探索综合型问题：从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发，探究问题的相应变化. 2007年数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型，形式上也有突破，如只猜不证，只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计，题型的创新，带来了新的理念，也必将促进教学的创新.,试题特点,返回目录,探索性问题的解法,4,PPT学习交流,应 试 策 略,返回目录,5,PPT学习交流,问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征，从探索性问题的解题过程来看，没有确定的模式，可变性多，对观察、

3、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高.探索性问题的常见解法有： (1)从最简单、最特殊的情况出发，有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格证明； (2)假设结论存在，若推证无矛盾，则结论确实存在，若推出矛盾，则结论不存在； (3)使用等价转化思想，找出命题成立的充要条件.,应试策略,返回目录,探索性问题的解法,6,PPT学习交流,考 题 剖 析,返回目录,7,PPT学习交流,.（2007上海市新中第一考试） （1）证明：当a1时，不等式a3+ a2+ 成立; （2）要使上述不等式a3+ a2+ 成立，能否将条件“a1”适当放宽？若能，

4、请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由; （3）请你根据（1）、（2）的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明.,考题剖析,返回目录,探索性问题的解法,解 析（1）证明：a3+ a2 = (a1)(a51), a1， (a1)(a51)0，原不等式成立 （2）a1与a51同号对任何a0且a1恒成立， 上述不等式的条件可放宽为a0且a1,8,PPT学习交流,考题剖析,（3）根据（1）（2）的证明，可推知： 若a0且a1，mn0，则有am+ an+ 证：左式右式=aman+ =an(amn1) (amn1) = (amn1)(am+n1) 若a1，则由mn0 amn1, am+n1

5、不等式成立； 若0a1，则由mn0 0amn1, 0am+n1 不等式成立,返回目录,探索性问题的解法,9,PPT学习交流,考题剖析,点评这是一道类比研究探索结论的问题. 阅读理解原有结论、观察规律，然后将命题增加元素、增添次数等方式进行拓展，这是从特殊到一般的研究问题的方式，也是探索型学习的一种常见方式.,返回目录,探索性问题的解法,10,PPT学习交流,考题剖析,2.（2007上海市十一所实验示范校联考）我们把数列 akn叫做数列an的k方数列（其中an0，k，n是正整数）， S（k，n）表示k方数列的前n项的和. （1）比较S（1，2）S（3，2）与S（2，2）2的大小； （2）若an的

6、1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a， 求an的k方数列通项公式； （3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列an的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列an的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程.,返回目录,探索性问题的解法,11,PPT学习交流,考题剖析,解析（1）S（1，2）=a1+a2, S (3 ，2) = , S (2 ，2) = S（1，2）S（3，2）S（2，2）2 = (a1+a2)( )( )2 = = a1a2(a1a2)2 an0,S(1,2)S(3,2)S(2,2)

7、2,返回目录,探索性问题的解法,12,PPT学习交流,考题剖析,（2）设anan1=d, 则： d(an+an1)=p d(an+1+an)=p 得 2d2=0，d=p=0 an=an1 =0 ,返回目录,探索性问题的解法,13,PPT学习交流,考题剖析,（3）当an=n时，恒等式为S（1，n）2=S（3，n） 证明：S(1, n)2=S(3, n) S(1, n1)2=S(3, n1)(n2, nN*) 相减得：anS(1, n)+S(1, n1)= S(1, n) +S(1, n1)= ，S(1, n1) +S(1, n2)= 相减得：an +an1 = , an0， anan1=1, a

8、1=1 an=n,返回目录,探索性问题的解法,点评本题主要考查等差数列、数列求和等数列基本知识，是一道结论型的探索问题.,14,PPT学习交流,考题剖析,3.（2007湖南省师大附中三月模拟）已知数列an 为等差数列，其前n项和为Sn. （）若a4+a5=0, 试验证:S7=S1, S6=S2, S5=S3成立， 并将其整合为一个等式； （）一般地，若存在正整数k，使ak+ak+1=0，我们可将（）中的结论作相应推广，试写出推广后的结论，并推断它是否正确.,返回目录,探索性问题的解法,15,PPT学习交流,考题剖析,解析（）an为等差数列, 且a4+a5=0. S7=S1+a2+a3+a4+a

9、5+a6+a7=S1+3(a4+a5)=S1 S6=S2+a3+a4+a5+a6=S2+2(a4+a5)=S2 S5=S3+a4+a5=S3; 又S4=S4. 对任意nN*, n8, 等式S8n=Sn恒成立.,返回目录,探索性问题的解法,16,PPT学习交流,考题剖析,（）推广：设等差数列an的前n项和为Sn，若存在正整数k，使ak+ak+1=0,则对任意nN*, 且n2k, 等式S2kn=Sn恒成立. 设an的公差为d, ak+ak+1=0, 2a1+(2k1)d=0. S2kn=a1+ (2kn) =( d+ )(2kn) = (2kn)= (2kdnd) = (d2a1nd) =na1+

10、 d=Sn. 故推广后的结论正确.,返回目录,探索性问题的解法,点评这是一个规律探索性问题.前面相当是一个特例，然后猜想、证明一般结论.,17,PPT学习交流,考题剖析,4.（2007广东江门一中）函数f(x)=x3+ax2+x+2(xR) （）若f(x)在x(，+)上是增函数,求实数a的取值范围. （）a=0时，曲线f(x)=x3+x+2的切线斜率的取值范围记为集合A，曲线f(x)=x3+x+2上不同两点P(x1, y1)，Q(x2, y2)连线斜率取值范围记为集合B，你认为集合A、B之间有怎样的关系（真子集、相等），并证明你的结论. （）a=3时，f(x)=x3+3x2+x+2的导函数f(

11、x)是二次函数，f(x)的图象关于轴对称. 你认为三次函数f(x)=x3+3x2+x+2的图象是否具有某种对称性，并证明你的结论.,返回目录,探索性问题的解法,18,PPT学习交流,考题剖析,解析（）f(x)=x3+ax2+x+2得 f(x)=3x2+2ax+1 若=4a2120 ,即 a 时,对于xR, 有f(x)0, f(x)在R上单调递增 若=4a212=0, 即a= 时, 对于xR, 有f(x)0, 当且仅当f( )=0 故f(x)在R上单调递增 若0，显然不合 综合所述，f(x)在R上是增函数, a取值范围为a , ,返回目录,探索性问题的解法,19,PPT学习交流,考题剖析,（）B

12、 A 证明：f(x)=x3+x+2有f(x)=3x2+11 故A=1,+). 设PQ斜率k， 则 k = = = = x1x2故若x2=0有x1+ =x10 若x1+ =0有x1= 0得x20 (x1+ )2+ 0 , 得k1, B=(1,+) 故B A,返回目录,探索性问题的解法,20,PPT学习交流,考题剖析,（）f(x)=x3+3x2+x+2的图象具备中心对称 证法1：由f(x)=3x2+6x+1对称轴x=1 现证f(x)图象关于点C(1, 3)中心对称 设M(x, y)是y=f(x)图象上任意一点, 且M(x, y)关于C(1, 3)对称 的点为N(x0, y0) , 则 得 f(x0

13、)= =(2x)3+3(2x)2+(2x)+2 =(8+12x+6x2+x3)+3(4+4x+x2)x =(x3+3x2+x+2)+6=y+6=y0 , 即y0=f(x0) 故M关于点C(1, 3)对称的点N(x0, y0)也在函数y=f(x)图象 函数y=f(x)图象关于点C(1, 3)对称,返回目录,探索性问题的解法,21,PPT学习交流,考题剖析,证法2：设y=f(x)图象的对称中心(m, n) 则把y=f(x)图象按向量b=(m,n)平移,得到 y=g(x)图象关于原点对称, 即y=g(x)是奇函数 g(x)=f(x+m)n=(x+m)3+3(x+m)2+(x+m)+2n =(x3+3

14、x2m+3xm2+m3)+3(x2+2mx+m2)+x+m+2n =x3+(3m+3)x2+(3m2+6m+1)x+m3+3m2+m+2n g(x)是奇函数的充要条件是 得 y=f(x)的图象关于点(1, 3)中心对称,返回目录,探索性问题的解法,22,PPT学习交流,考题剖析,点评本题主要是考查导数的运用、集合的关系、函数的对称性等问题，第一问实则是探索问题成立的充分条件，第二问是结论探索、第三问是是否存在性问题.,返回目录,探索性问题的解法,23,PPT学习交流,考题剖析,5.（2007山东省泰安市第一次考试）如图， 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形， PA平面ABCD，PA=AD

15、，AB= AD， E是线段PD上的点，F是线段AB上的点， 且 （）判断EF与平面PBC的关系，并证明； （）当=1时，证明DF平面PAC； （）是否存在实数，使异面直线EF与CD所成角为60？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.,返回目录,探索性问题的解法,24,PPT学习交流,考题剖析,解析（）EF平面PBC. 证明如下： 作FGBC交CD于G，连结EG，则 PCEG 又FGBC，BCPC=C，FGGE=G. 平面PBC平面EFG. 又EF 平面EFG EF平面PBC,返回目录,探索性问题的解法,25,PPT学习交流,（）=1，则F为AB的中点. 又AB= AD, AF= AB 在R

16、tFAD与RtACD中 tanAFD= = = tanCAD= = AFD=CAD ACDF 又PA平面ABCD，DF 平面ABCD PADF. DF平面PAC,考题剖析,返回目录,探索性问题的解法,26,PPT学习交流,考题剖析,（）建立如图所示空间直角坐标系，设PA=AD=1， 则A（0，0，0），B（ ，0，0），D（0，1，0）， C（ ，1，0），P（0，0，1）. 又 (0) F( ) 设E(0, y0, z0) 则 =(0, y0, z01), =(0, 1y0, z0) 又 (0)即 = (0, y0, z01)=(0, 1y0, z0) 即E(0, , ) =( ), =(

17、, 0, 0),返回目录,探索性问题的解法,27,PPT学习交流,假设存在实数，使异面直线EF与CD所成的角为60，则 cos60= 2=5 = 存在实数= 使异面直线EF与CD所成的角为60.,点评本题主要考查立体几何的空间想象能力、推理论证能力和探索问题解决问题的能力.第一问即改变常见提前方式即只要证明结论成立，而改为一种探索结论的提问方式要求先判断再证明，增大了难度.第三问是是否存在型探索问题，一般是假设存在当成条件进行论证，存 在要求说明理由，不存在或者推出矛盾或者只要能举出个反例即可.,考题剖析,探索性问题的解法,返回目录,28,PPT学习交流,6.（2007湖北地区适应考试2）三角

18、形ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件：（1）a、b、c成等差数列；（2）a、b、c成等比数列.现给出三个结论： （1）0B ; （2）acos2 +ccos2 = ; （3）1 . 请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结 论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之.,探索性问题的解法,考题剖析,返回目录,29,PPT学习交流,解析可以组建命题一：ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）0B （2）acos2 +ccos2 = ； 命题二：ABC中，若a、b、c成等差数列，求证： （1）0B （2）1 命题三：ABC中，若a、b、c成等差数列，求证： （1）acos2 +ccos2 = （2）1 命题四：ABC中，若a、b、c成等比数列，求证： （1）0B （2）1,探索性问题的解法,考题剖析,返回目录,30,PPT学习交流,下面给出命题一、二、三的证明： （1）a、b、c成等差数列2b=a+c，