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文档简介

1、概率论,中南大学数学院,概率统计课程组,3.5 随机变量的数字特征、 契贝晓夫不等式,一、连续型随机变量的数学期望,五、随机变量的方差 六、随机变量的矩与切比雪夫不等式,三、数学期望的性质 四、几类重要的随机变量的数学期望,二、随机变量函数的数学期望,研究随机变量的数字特征的必要性,尽管随机变量的分布函数(概率分布、概率密度)完整地描述了随机变量的统计规律性。但是这种完整的描述并不使人感到方便，而且在一些实际问题中，也不需要去全面考察随机变量的分布，而只需知道随机变量分布的某些特征，因此并不需要求出它的分布函数(概率分布、概率密度) 。,1. 在评定某一地区粮食产量时，在许多场合只需知道该地区

2、的平均产量。 2. 在研究水稻品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷粒数。 3. 在检查一批棉花的质量时，即需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。,与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都有重要的意义。 本章将介绍连续型随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和矩。,一、连续型随机变量的数学期望,则落在区间 xi, xi+1中的概率为,这时概率分布,可视为的离散近似，服从上述分布的离散型随机变量的数学期望为,(1) 连续型随机变量数学期望的定义,(2)

3、数学期望的计算,解,试验次数较大时，的观测值的算术平均值 在E()附近摆动,数学期望又可以称为期望值(Expected Value)， 均值(Mean),E()反映了随机变量X取值的“概率平均”,是的可能值以其相应概率的加权平均。,(3) 数学期望的意义,二、随机变量的函数的数学期望,定理 1：一维情形,离散型,连续型,是随机变量 的函数,设,概率密度为,因为,所以,解,定理 2：二维情形,离散型,连续型,联合概率密度为,例21 设相互独立的随机变量，的密度函数分别为:,求E（）,解,三、数学期望的性质,相互独立时,. 当随机变量,.,C 为常数,.,.,(1) 均匀分布 (2) 正态分布 (3) 指数分布,四、几类重要的随机变量的数学期望,(1) 均匀分布,概率密度,数学期望,X

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