高考理科数学一轮复习 第二章 第4讲 函数的单调性与最值

1、,第4讲,函数的单调性与最值,1函数的单调性定义,f(x1)f(x2),单调增区间,设函数 yf(x)的定义域为 A，区间 IA，如果对于区间 I,内的任意两个值 x1、x2，当 x1x2 时，都有 yf(x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为 yf(x)的,，那么就说 ；,如果对于区间 I 内的任意两个值 x1、x2，当 x1x2 时，都有 ，那么就说 yf(x)在区间 I 上是单调减函数，I,称为 yf(x)的,f(x1)f(x2),单调减区间,2用导数的语言来讲函数的单调性,设函数 yf(x)，如果在某区间 I 上 间 I 上的增函数；如果在某区间 I 上,，那么 f(x)为区 ，那么

2、 f(x)为区间 I,上的减函数,f(x)0,f(x)0,3函数的最大(小)值 设函数 yf(x)的定义域为 A，如果存在定值 x0A，使得对,于任意 xA,有,恒成立，那么称 f(x0)为 yf(x)的最大,恒,值；如果存在定值 x0A，使得对于任意 xA，有 成立，那么称 f(x0)为 yf(x)的最小值,f(x)f(x0),f(x)f(x0),(xR)的值域是(,1已知函数 f(x)的值域是2,3，则函数 f(x2)的值域为,(,),D,A4,1 C4,10,5,B0,5 D2,3,2函数 f(x),1 1x,2,),B,A(0,1),B(0,1,C0,1),D0,1,),D,3函数 y

3、x26x 的减区间是( A(，2 B2，) C3，) D(，3,4二次函数 f(x)x22axb 在区间(，4)上是减函数，,你能确定的是(,),C,Aa4,Ba2,Ca4,Db2,5已知 f(x),3x x3,，x4,6则 f(x)的最大值与最小值分,别为,.,12,6,考点 1,判断函数的单调性,(1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)若 f(x)在区间2，)上是增函数，求实数 a 的取值范 围,解析：(1)当 a0 时，f(x)x2 为偶函数； 当 a0 时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2)方法一：设 x2x12，,x1x2(x1x2)a，,x1x2 x1x2,由 x2x12

4、得 x1x2(x1x2)16，x1x20. 要使 f(x)在区间2，)上是增函数，只需 f(x1)f(x2)0 恒成立，则 a16. 要使 f(x)在区间2，)上是增函数， 则 a2x316，)恒成立， 故当 a16 时，f(x)在区间2，)上是增函数,【互动探究】,1已知 f(x),x xa,(xa),(1)若 a2，试证 f(x)在(，2)内单调递增； (2)若 a0 且 f(x)在(1，)内单调递减，求 a 的取值范围,则 f(x1)f(x2),2(x1x2) (x12)(x22),.,(x12)(x22)0，x1x20，f(x1)f(x2)， f(x)在(，2)内单调递增,(1)证明：

5、任设 x1x22，,(3)y 2,(5)yx .,(2)解：任设 1x1x2，则,考点 2 函数的最值与值域 例 2：求下列函数的值域：,(1)y,3x2 x2,；,(2)yx22x3(5x2)；,x2x x x1,；,(4)yx 2x1；,4 x,x x1,0，y3.,解题思路：关于 x 的一次分式函数，这种题目可通过求关 于 x 的方程在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变 形(分离常量)，观察得出结果； 有理分式函数，去分母化成关 于 x 的二次方程，用判别式可求值域，也可把函数解析式化成 A,B,2,(A、B 是常数)的形式来求值域；用换元法将无理函,数化为有理函数或将已知等式化

6、成关于 x 的二次方程，用判别 式求函数的值域,解析：(1)方法一：y,3x2 x2,(3x6)8 3 x2,8 x2,，,由于,8 x2,(3)方法一：y 2,1 2,x x1,函数 y,3x2 x2,的值域是y|yR 且 y3,3x2 方法二：由 y ，得 x x2,2(y1) y3,，y3.,(2)yx22x3(x1)24，x5，2， 其图像是开口向下，顶点为(1,4)，在 x5，2上 对应的抛物线上的一段弧 当 x5 时，ymin12；当 x2 时，ymax3. yx22x3(5x2)的值域是12,3,x2x x x1,1,.,axb,故 x2 时，f(x)极大值f(2)4； x2 时

7、，f(x)极小值f(2)4. 所求函数的值域为(，44，),(4)反函数法： 适用于形如 y,cxd,类的函数,常用的求值域的方法有： (1)代入法：适用于定义域为有限集的函数 (2)分离系数法：若函数 yf(x)解析式中含有|x|，x2， ，sinx， cosx 等元素，又能用 y 表示出来，则利用这些元素的有界性解 出 y 的范围 (3)配方法：适用于二次函数类的函数,mx nxp,(3)y 2,(5)判别式法： 适用于形如 y,ax2bxc 2,类的函数,(6)换元法：主要处理一些根式类的函数 (7)不等式法：借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最值 (8)最值法：通过求导求出最值 【

8、互动探究】 2求下列函数的值域：,(1)y,3x2 54x,； (2)yx2x2；,3x21 x 2,.,考点 3,借助于导数判断函数的单调性,解题思路：可用分离参数的方法，再结合不等式恒成立知 识求解；也可求出整个函数的递增(减)区间，再用所给区间是所 求区间的子区间知识求解,解析：函数 f(x)的导数 f(x)x2axa1， 令 f(x)0，解得 x1 或 xa1.,当 a11 即 a2 时，函数 f(x)在(1，)上为增函数，,不合题意,当 a11，即 a2 时，函数 f(x)在(，1)上为增函 数，在(1，a1)内为减函数，在(a1，)上为增函数,依题意应有：当 x(1,4)时，f(x

9、)0； 当 x(6，)时，f(x)0.,所以 4a16，解得 5a7， 所以 a 的取值范围是5,7,在研究函数的单调性时，当函数解析式中既含有 指数函数、对数函数、又含有二次或三次函数，定义法判断单 调性较为困难，用导数来研究较为方便本题关键之处在于就 变量系数值进行分类讨论 【互动探究】 3设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x 0 时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且 g(3)0，则不等式 f(x)g(x),0 的解集是(,),D,A(3,0)(3，) C(，3)(3，),B(3,0)(0,3) D(，3)(0,3),解析：当 x0，所以函数 f(x)g

10、(x)在(，,0)上为增函数又 f(x)g(x)为奇函数， f(x)g(x)在(0，)上为增函数 且 f(3)g(3)0，f(3)g(3)0，,故 f(x)g(x)0 的解集为(，3)(0,3),错源：没有考虑定义域,误解分析：(1)忽略 x 需满足 4xx20 这个条件；(2)对复合,函数单调性的判断出错,【互动探究】 4(2014届兰州一中考试)函数：yxsinx；yxcosx； yx|cosx|；yx2x 的图像(部)如图 241，但顺序被打乱，,),C,照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是( 图 241,则按,A B C D,f(mx) mf(x)0 恒 成 立 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 _,解析：已知 f(x)为增函数且 m0，若 m0，由复合函数的 单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数，此时不符合题意当 m,本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题 通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解，属于难题 求函数值域的常用方法：有配